ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 303
Скачиваний: 1
16
3.7.
М о д е
ли ро вани е
случ айно й
ве
ли ч и ны
с
эк спо ненци альны м
распре
д е
ле
ни е
м
Рассм отрим
прим енение
м етодов
обратной
ф ункции
,
ф ункциональ ног о
пре
-
образования
и
суперпозиции
для
м оделирования
случ айной
велич ины
ξ
с
экс
-
поненциаль ным
распределением
( )
0
,
0
≥
=
−
x
e
x
f
x
λ
λ
, (3.7.1)
где
0
>
λ
–
парам етр
распределения
.
В ведем
в
рассм отрение
стандартную
экспоненциаль ную
случ айную
велич и
-
ну
∗
ξ
,
с
плотность ю
( )
0
x
,
e
x
f
x
≥
=
−
∗
ξ
, (3.7.2)
получ аю щ ейся
из
(3.7.1)
при
1
=
λ
.
Л егко
проверить
,
ч то
случ айная
велич ина
λ
ξ
ξ
∗
=
(3.7.3)
им еет
распределение
(3.7.1).
И споль зуя
(3.7.3)
при
м оделировании
ξ
,
обратим ся
к
задач е
м оделирования
∗
ξ
.
И сследуем
три
м етода
м оделирования
∗
ξ
.
Первый
м етод
есть
ч астный
случ ай
м етода
обратной
ф ункции
α
ξ
ln
−
=
∗
. (3.7.4).
В торой
м етод
(
м етод
ф ункциональ ног о
преобразования
)
основан
на
сле
-
дую щ ем
утверж дении
.
Пусть
1
2
1
2
1
,
,
,
,
,
,
−
+
N
N
N
α
α
α
α
α
K
K
–
независим ые
БСВ
,
′
′
>
−
1
1
,
,
;
1
N
N
α
α
K
-
велич ины
1
2
1
,
,
−
+
N
N
α
α
K
,
расставленные
в
порядке
возрастания
;
1
,
0
0
=
′
=
′
N
α
α
.
Т ог да
случ айные
велич ины
(
)
(
)
N
k
N
k
k
k
,
1
,
ln
1
1
=
′
−
′
=
−
∗
α
α
α
α
ξ
K
(3.7.5)
независим ы
и
распределены
по
закону
(3.7.2).
Т ретий
м етод
является
ч астным
случ аем
м етода
суперпозиции
и
основан
на
следую щ ем
утверж дении
.
Е сли
K
,
,
2
1
α
α
–
независим ые
БСВ
,
ν
и
θ
-
не
зависящ ие
от
K
,
,
2
1
α
α
целоч ис
-
ленные
полож итель ные
случ айные
велич ины
с
распределениям и
{
} (
)
{
} (
)
(
)
K
,
2
,
1
,
,
!
1
,
1
1
=
−
=
=
−
=
=
−
−
j
i
j
e
j
P
e
e
i
P
i
θ
ν
, (3.7.6)
то
случ айная
велич ина
{
}
θ
α
α
α
ν
ξ
,
,
,
max
2
1
K
−
=
∗
(3.7.7)
им еет
плотность
(3.7.2).
Ф орм ула
(3.7.7)
определяет
м оделирую щ ий
алг оритм
.
3.8.
М о д ели ро вани е
случ айно й
ве
ли ч и ны
с
гам м а
-
распре
д е
ле
ни ем
Д ля
м оделирования
с
луч айной
велич ины
ξ
,
им ею щ ей
гам м а
-p
аспределение
с
плотность ю
17
( )
( )
0
,
;
1
0
≥
Γ
=
−
−
x
e
x
x
f
x
ν
ν
ν
,
(3.8.1)
где
0
>
ν
–
парам етр
распределения
,
м ог ут
быть
исполь зованы
три
основных
м етода
м оделирования
ξ
.
Первый
м етод
«работает»
при
целом
1
≥
ν
и
исполь зует
свойство
безгранич
-
ной
делим ости
закона
(3.8.1).
Д ействитель но
,
характеристич еская
ф ункция
( )
( )
(
)
ν
ξ
ν
ϕ
−
∞
∞
−
−
=
=
∫
it
dx
e
x
f
t
itx
1
;
0
(3.8.2)
обладает
свойством
,
определяю щ им
безгранич ную
делим ость
:
( ) (
)
(
)
.
,
3
,
2
,
;
1
;
K
=
=
−
=
−
m
m
t
it
t
m
m
ν
ϕ
ν
ϕ
ξ
ν
ξ
М ож но
показать
,
ч то
если
ν
η
η
η
,
,
,
2
1
K
–
независим ые
стандартные
экспонен
-
циаль но
распределенные
случ айные
велич ины
,
то
∑
=
=
ν
η
ξ
1
j
j
(3.8.3)
им еет
плотность
(3.8.1).
М оделирование
ν
η
η
,
,
1
K
легко
осущ ествляется
рассм отренным и
ранее
м ето
-
дам и
.
В
ч астности
,
согласно
(3.7.4)
ν
α
η
,
1
,
ln
=
−
=
j
j
j
, (3.9.5)
где
ν
α
α
,
,
1
K
–
независим ые
БСВ
.
О бъединяя
(3.8.3)
и
(3.8.4),
получ аем
ф орм улу
−
=
∏
=
ν
α
ξ
1
ln
j
j
,
определяю щ ую
м оделирую щ ий
алгоритм
.
В торой
м етод
прим еним
,
когда
5
,
0
+
=
N
ν
;
K
,
1
,
0
=
N
.
У ч итывая
(3.8.2),
(3.8.4),
представим
характеристич ескую
ф ункцию
случ айной
велич ины
ξ
в
ви
-
де
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )
t
t
it
t
N
t
N
j
N
j
0
1
2
1
1
1
;
5
,
0
;
η
η
ξ
ξ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
−
=
+
∏
=
−
, (3.8.6)
где
0
η
–случ айная
велич ина
с
плотность ю
18
( )
( )
(
)
0
,
5
,
0
0
≥
Γ
=
−
z
z
e
z
p
z
η
.
Е ё
легко
получ ить
ф ункциональ ным
преобразованием
стандартной
гауссов
-
ской
велич ины
∗
ξ
,
не
зависящ ей
от
N
η
η
,
,
1
K
:
2
2
*
0
ξ
η
=
. (3.8.7)
И з
(3.8.5), (3.8.6)
и
(3.8.7)
получ аем
ф орм улу
2
ln
2
*
N
1
j
j
ξ
α
ξ
+
−
=
∏
=
, (3.8.8)
определяю щ ую
м оделирую щ ий
алгоритм
.
М оделирование
∗
ξ
осущ ествляется
ранее
рассм отренным и
м етодам и
.
Н априм ер
,
согласно
(3.6.1)
(
)
(
)
2
N
2
1
N
2
*
2
cos
ln
2
+
+
−
=
πα
α
ξ
. .
Т ретий
м етод
есть
ч астный
случ ай
м етода
исклю ч ения
и
прим еним
для
лю
-
бог о
ν
.
О бознач им
[ ]
1
0
,
<
≤
−
=
∗
∗
ν
ν
ν
ν
и
восполь зуем ся
представлением
,
аналогич ным
(3.8.6), (3.8.8):
[ ]
∗
=
+
−
=
∏
ξ
α
ξ
ν
1
ln
j
j
,
прич ем
∗
ξ
p
совпадает
с
(3.8.1),
если
парам етр
приним ает
знач ение
∗
ν
.
Д ля
м о
-
делирования
∗
ξ
,
прим еним
м етод
исклю ч ения
с
м аж орирую щ ей
ф ункцией
( )
x
g
:
( ) ( )
≥
<
≤
=
≤
−
−
∗
∗
.
1
x
есл и
,
e
,
1
x
0
есл и
,
x
x
g
x
p
x
1
ν
ξ
О тм етим
: 1)
велич ину
′
∗
ξ
,
с
плотность ю
( )
mesG
x
g
удобно
м оделировать
м етодом
обратной
ф ункции
:
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
(
)
(
)
+
−
−
+
<
≤
+
=
′
−
−
∗
+
∗
+
+
∗
∗
∗
,
сл у ча е
прот ивном
в
,
e
1
ln
,
e
1
1
0
е сл и
,
e
1
1
1
1
1
1
1
ν
α
ν
α
α
ν
ξ
ν
ν
ν
ν
2)
велич ина
∗
′
η
при
условии
x
=
′
∗
ξ
м оделируется
так
:
( )
[ ]
2
+
∗
=
′
ν
α
η
x
g
.
19
3.9.
М о д е
ли ро вани е
случ айны х
вели ч и н
с
распреде
ле
ни ям и
2
χ
,
С тьюд е
нта
,
Ф и ше
ра
Рассм отрим
м оделирование
случ айной
велич ины
m
ξ
с
2
χ
–распределением
с
m
степеням и
свободы
:
( )
( )
0
,
2
2
;
2
2
1
2
1
≥
Γ
=
−
−
x
m
e
x
m
x
f
m
x
m
, (3.9.1)
случ айной
велич ины
m
η
с
t
–распределением
Сть ю дента
с
m
степеням и
свобо
-
ды
:
(
)
( )
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
;
+
+
Γ
+
Γ
=
m
m
y
m
m
m
m
y
f
π
; (3.9.2)
и
случ айной
велич ины
lm
ς
с
распределением
Ф ишера
(
l
,
m
-
ч исла
степеней
сво
-
боды
):
(
)
( )
(
)
0
,
1
2
2
2
,
;
2
2
1
2
3
≥
+
Γ
Γ
+
Γ
=
+
−
z
z
m
l
m
l
m
l
z
m
l
m
l
z
f
m
l
l
l
, (3.9.3)
где
m
l
,
–
натураль ные
ч исла
–
парам етры
распределений
.
М ож но
доказать
,
ч то
,
если
m
γ
γ
γ
,
,
,
2
1
K
–
независим ые
стандартные
гауссов
-
ские
случ айные
велич ины
,
то
случ айная
велич ина
∑
=
=
m
j
j
m
1
2
γ
ξ
(3.9.4)
им еет
плотность
(3.9.1).
Ф орм ула
(3.9.4)
и
определяет
м оделирую щ ий
алгоритм
для
случ айной
вели
-
ч ины
m
ξ
с
2
χ
–распределением
с
m
степеням и
свободы
.
А лгоритм
для
м оделирования
случ айной
велич ины
m
η
с
t
–распределением
Сть ю дента
с
m
степеням и
свободы
,
им ею щ ей
плотность
(3.9.2),
основывается
на
следую щ ем
соотношении
m
m
m
ξ
γ
η
=
, (3.9.5)
где
γ
–
стандартная
г ауссовская
случ айная
велич ина
,
а
m
ξ
-
не
зависящ ая
от
γ
случ айная
велич ина
с
распределением
(3.9.1).
Д ля
м оделирования
случ айной
велич ины
lm
ς
с
распределением
Ф ишера
(
l
,
m
-
ч исла
степеней
свободы
)
с
плотность ю
(3.9.3)
м ож ет
быть
исполь зовано
соот
-
ношение
( ) (
)
m
l
m
l
lm
ξ
ξ
ζ
=
, (3.9.6)
где
m
l
ξ
ξ
,
–
независим ые
случ айные
велич ины
с
2
χ
–распределениям и
(3.9.1).
20
Зад ани е
на
вы по лнени е
лабо рато рны х
рабо т
по
к о м пьютерно м у
м о д ели ро вани ю
случ айны х
вели ч и н
И споль зуя
среду
автом атизации
выч ислений
MATHCAD,
сф орм ировать
вы
-
борки
знач ений
случ айных
велич ин
со
следую щ им и
законам и
распределения
.
Д ля
дискретных
случ айных
велич ин
:
1.
Геом етрич еский
закон
распределения
.
2.
Бином иналь ный
закон
распределения
.
3.
Закон
распределения
Пуассона
.
Д ля
непрерывных
случ айных
велич ин
:
1.
Закон
равном ерной
плотности
на
отрезке
[a,b] (
исполь зуя
м етод
обратной
ф ункции
).
2.
Э кспоненциаль ное
распределение
(
исполь зуя
м етод
обратной
ф ункции
);
3.
Н орм аль ное
(
г ауссовское
)
распределение
,
исполь зуя
а
)
м етод
обратной
ф ункции
,
б
)
м етод
сум м ирования
,
в
)
м етод
ф ункциональ ног о
преобразования
,
г
)
м етод
исклю ч ения
и
суперпозиции
.
4.
Гам м а
–
распределение
.
5.
Распределение
Сть ю дента
.
6.
Распределение
χ
2
.
7.
Распределение
Ф ишера
.
Д ля
каж дог о
закона
распределения
с
заданным и
парам етрам и
распределения
долж ны
быть
выполнены
следую щ ие
задания
:
1.
Построение
при
различ ных
знач ениях
парам етров
г раф иков
теоретич еской
плотности
распределения
(
для
непрерывных
случ айных
велич ин
)
или
вероят
-
ности
(
для
дискретных
случ айных
велич ин
)
и
теоретич еской
ф ункции
распре
-
деления
.
2.
Ф орм ирование
случ айной
выборки
заданного
объем а
.
3.
Построение
граф ика
выборки
(
зависим ость
выбороч ног о
знач ения
от
его
ном ера
).
4.
О пределение
основных
ч исловых
характеристик
выборки
:
выбороч ного
среднего
,
выбороч ной
дисперсии
,
выбороч ног о
среднеквадратич еского
откло
-
нения
,
м аксим аль ног о
и
м иним аль ного
выбороч ных
знач ений
.
5.
Построение
г истог рам м ы
и
ее
сравнение
с
г раф иком
теоретич еской
плот
-
ности
распределения
(
для
непрерывных
случ айных
велич ин
)
или
вероятности
(
для
дискретных
случ айных
велич ин
).
6.
Построение
эм пирич еской
ф ункции
распределения
и
ее
сравнение
с
теоретич еской
ф ункцией
распределения
.
7.
И сследование
зависим ости
вида
гистограм м ы
от
объем а
выборки
(
при
ф иксированном
ч исле
интервалов
разбиения
)
и
от
ч исла
интервалов
разбиения
(
при
ф иксированном
объем е
выборки
).
Задания
долж ны
быть
выполнены
для
различ ных
знач ений
парам етров
распределений
.