ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.04.2021
Просмотров: 302
Скачиваний: 1
6
2.2.
М о д е
ли ро вани е
случ айно й
ве
ли ч и ны
с
би но м и альны м
распре
д е
ле
ни е
м
Бином иаль ное
распределение
определяется
соотношением
( )
(
)
m
n
m
m
n
n
p
p
C
m
P
−
−
=
1
, m=0,1,2,
…
n, (2.2.1)
где
( )
m
P
n
–
вероятность
того
,
ч то
в
n
испытаниях
случ айное
событие
появится
m
раз
,
p
-
вероятность
появления
события
в
одном
испытании
.
В ведем
случ айную
велич ину
ξ
–
ч исло
появлений
событий
в
i-
том
испыта
-
нии
.
О ч евидно
,
ч то
эта
велич ина
м ож ет
приним ать
толь ко
два
знач ения
: 1
с
ве
-
роятность ю
p
и
0
с
вероятность ю
(
)
p
−
1
.
О пределение
знач ения
случ айной
ве
-
лич ины
m -
ч исла
появлений
события
в
n
испытаниях
,
возм ож но
по
следую щ ей
процедуре
.
1.
Получ аю т
последователь ность
знач ений
n
r
r
r
,
,
,
2
1
K
случ айной
велич ины
( )
1
,
0
R
.
2.
Д ля
каж дог о
ч исла
r
i
,
n
i
,
,
2
,
1
K
=
,
проверяю т
выполняется
ли
неравенст
-
во
p
r
i
<
.
Е сли
неравенство
выполняется
,
то
полагаю т
1
=
i
ξ
,
в
противном
слу
-
ч ае
сч итаю т
0
=
i
ξ
;
3.
Н аходят
сум м у
знач ений
n
случ айных
велич ин
ξ
i
(
это
и
будет
знач ение
случ айной
велич ины
m
).
Повторяя
эту
процедуру
,
получ аю т
последователь ность
знач ений
K
,
,
2
1
m
m
случ айной
велич ины
с
бином иаль ным
законом
распределения
.
При м е
р
.
Н айдем
последователь ность
знач ений
случ айной
велич ины
m
с
би
-
ном иаль ным
законом
распределения
,
если
3
,
7
=
=
p
n
.
И з
таблицы
случ айных
ч исел
( )
1
,
0
R
берутся
7
знач ений
,
наприм ер
15
,
0
1
=
r
,
34
,
0
2
=
r
,
71
,
0
3
=
r
,
06
,
0
4
=
r
,
28
,
0
5
=
r
,
36
,
0
6
=
r
,
78
,
0
7
=
r
.
Т ри
ч исла
не
превосходят
3
,
0
=
p
.
Следователь но
,
3
=
m
.
Потом
берутся
ещ ё
7
слу
-
ч айных
ч исел
( )
1
,
0
R
и
вновь
определяется
,
сколь ко
из
них
не
превосхо
-
дит
3
,
0
p
=
;
это
дает
следую щ ее
знач ение
m
и
т
.
д
.
2.3.
М о д ели ро вани е
случ айно й
ве
ли ч и ны
,
распре
д е
ленно й
по
зак о ну
Пуассо на
Распределение
Пуассона
λ
λ
−
=
e
m
P
m
m
!
, m=0,1,2,
…
n, (2.3.1)
где
np
=
λ
–
среднее
ч исло
появления
события
в
n
испытаниях
,
исполь зую т
в
том
случ ае
,
когда
ч исло
n
независим ых
испытаний
велико
,
и
вероятность
p
по
-
явления
события
в
каж дом
испытании
м ала
.
7
О быч но
распределение
Пуассона
вм есто
бином иаль ного
прим еняю т
,
если
n
порядка
несколь ких
десятков
-
сотен
,
а
10
<
np
.
Практич ески
обыч но
за
-
дано
λ
,
а
не
n
и
p
.
А лгоритм
м оделирования
следую щ ий
:
1.
В ыбираю т
n
такое
,
ч тобы
вероятность
n
p
λ
=
была
м ала
(
)
01
,
0
<
p
.
2.
Получ аю т
последователь ность
знач ений
n
r
r
r
,
,
,
2
1
K
случ айной
велич ины
( )
1
,
0
R
.
3.
Д ля
каж дого
ч исла
n
i
r
i
,
,
2
,
1
,
K
=
,
проверяю т
,
выполняется
ли
неравен
-
ство
p
r
i
<
,
если
это
неравенство
выполняется
,
то
полагаю т
1
=
i
ξ
,
в
противном
случ ае
сч итаю т
0
=
i
ξ
.
4.
В ыч исляю т
∑
=
n
i
i
1
ξ
–
это
и
есть
знач ение
случ айной
велич ины
,
распределен
-
ной
по
закону
Пуассона
.
2.4.
М о д ели ро вани е
случ айно й
ве
ли ч и ны
,
распре
д е
ле
нно й
по
ге
о м е
три ч е
ск о м у
зак о ну
[2]
Рассм отрим
алгоритм
м оделирования
дискретной
случ айной
велич ины
ξ
,
распределенной
по
геом етрич еском у
закону
:
{
}
(
)
{
}
∈
−
=
=
.
,
0
....
,
2
,
1
,
0
,
1
сл у ча е
прот ивном
в
x
е сл и
x
p
p
x
P
ξ
, (2.4.1)
где
( )
1
,
0
∈
p
-
заданный
парам етр
распределения
.
Распределение
(2.4.1)
ч асто
встреч ается
в
прилож ениях
:
ξ
описывает
ч исло
безуспешных
попыток
,
предшествую щ их
первой
успешной
попытке
в
схем е
независим ых
испытаний
,
при
условии
,
ч то
вероятность
успеха
в
отдель ном
ис
-
пытании
равна
p
.
Рассм отрим
два
основных
м етода
м оделирования
случ айной
велич ины
ξ
.
Первый
м етод
заклю ч ается
в
м оделировании
полной
сч етной
систем ы
слу
-
ч айных
событий
:
{
} {
} {
}
.
,
x
,
,
,
K
K
=
=
=
ξ
ξ
ξ
1
0
В торой
м етод
основан
на
следую щ ем
утверж дении
.
Е сли
( )
1
,
0
R
~
α
,
т
.
е
.
α
–
БСВ
,
то
случ айная
велич ина
(
)
[
]
p
1
ln
ln
−
=
α
ξ
, (2.4.2)
где
[ ]
z
–
целая
ч асть
z
им еет
распределение
(2.4.1).
Ф орм ула
(2.4.2)
определяет
м оделирую щ ий
алгоритм
второго
м етода
.
8
3.
М о д ели ро вани е
непреры вны х
случ айны х
вели ч и н
[2]
3.1.
М о д е
ли ро вани е
не
преры вно й
случ айно й
ве
ли ч и ны
м е
то д о м
о братно й
ф унк ци и
Д ля
м оделирования
непрерывной
случ айной
велич ины
ξ
с
ф иксированной
плотность ю
распределения
( )
x
f
0
м етодом
обратной
ф ункции
определим
ф унк
-
цию
распределения
непрерывной
случ айной
велич ины
ξ
( )
( )
∫
∞
−
=
x
dy
y
f
x
F
0
0
, (3.1.1)
которую
будем
предполагать
строго
м онотонно
возрастаю щ ей
.
Ч ерез
( )
y
F
1
0
−
обознач им
обратную
ф ункцию
;
она
находится
при
решении
уравнения
( )
y
x
F
=
0
(3.1.2)
относитель но
x
:
( )
y
F
x
1
0
−
=
.
Е сли
α
-
БСВ
,
то
случ айная
велич ина
( )
α
ξ
1
0
−
=
F
(3.1.3)
им еет
ф ункцию
распределения
( )
( )
.
x
F
x
F
0
≡
ξ
Ф орм ула
(3.1.3)
определяет
м оделирую щ ий
алг оритм
.
Н едостатком
описан
-
ног о
м етода
являю тся
аналитич еские
трудности
при
выч ислениях
(3.1.1),
(3.1.2).
О тм етим
,
ч то
в
«ч истом
виде»
м етод
обратной
ф ункции
редко
исполь
-
зуется
на
практике
,
так
как
для
м ног их
распределений
(
наприм ер
,
норм аль ного
)
даж е
( )
x
F
0
(
не
г оворя
уж е
о
( )
y
F
1
0
−
)
не
выраж ается
ч ерез
элем ентарные
ф унк
-
ции
,
а
табулирование
( )
y
F
1
0
−
сущ ественно
услож няет
м оделирование
.
Н а
прак
-
тике
м етод
обратной
ф ункции
дополняю т
аппроксим ацией
( )
y
F
0
или
соч етаю т
с
друг им и
м етодам и
.
При м е
р
.
Рассм отрим
прим енение
м етода
обратной
ф ункции
для
м оделиро
-
вания
случ айной
велич ины
с
равном ерным
распределением
на
отрезке
[ ]
b
,
a
.
Д ля
такой
случ айной
велич ины
ф ункция
распределения
:
( )
[ ]
,
.
b
x
,
1
b
,
a
x
,
a
b
a
x
,
a
x
,
0
x
F
>
∈
−
−
<
=
ξ
(3.1.4)
9
Полаг ая
( )
r
x
F
=
ξ
,
им еем
r
a
b
a
x
=
−
−
.
О тсю да
(
)
a
b
r
a
x
−
+
=
.
Последователь ности
знач ений
K
,
2
1
r
r
случ айной
велич ины
( )
1
,
0
R
соответствует
последователь ность
знач ений
(
)
(
)
K
,
,
2
2
1
1
a
b
r
a
x
a
b
r
a
x
−
+
=
−
+
=
велич ины
ξ
,
равном ерно
распределенной
на
отрезке
[ ]
b
a
,
.
3.2.
М о д ели ро вани е
случ айно й
ве
ли ч и ны
с
зад анно й
ги сто грам м о й
В
прилож ениях
ч асто
возникает
задач а
м оделирования
непрерывной
случ ай
-
ной
велич ины
ξ
в
условиях
априорной
неопределенности
:
плотность
распреде
-
ления
неизвестна
.
В
такой
ситуации
проводится
серия
наблю дений
(
экспери
-
м ентов
)
над
ξ
,
по
резуль татам
которых
выч исляется
гистограм м а
–
оценка
не
-
известной
плотности
.
О бщ ий
вид
г истог рам м ы
с
К
яч ейкам и
( )
( )
∑
=
−
=
K
1
i
)
z
,
z
[
i
0
x
I
c
x
f
i
1
i
, (3.2.1)
где
)
z
,
z
[
i
1
i
−
- i-
я
яч ейка
,
i
c
-
знач ение
гистограм м ы
в
i
-
й
яч ейке
.
Д ля
м оделирования
случ айной
велич ины
ξ
,
плотность
распределения
которой
полагается
совпадаю щ ей
с
гистограм м ой
( )
x
f
0
,
прим еним
м етод
обратной
ф ункции
.
О бознач им
{
}
.
K
,
1
j
,
p
b
,
0
b
,
)
z
,
z
[
P
p
j
1
i
i
j
0
i
1
i
i
=
=
=
∈
=
∑
=
−
ξ
(3.2.2)
И з
(3.2.1)
и
условия
норм ировки
следует
,
ч то
(
)
1
1
1
=
=
−
=
−
K
i
i
i
i
b
,
K
,
i
,
z
z
c
p
. (3.2.3)
Согласно
(3.1.1), (3.2.1)
–
(3.2.3)
выч ислим
ф ункцию
распределения
( )
(
)
≥
=
<
≤
−
+
≤
=
−
−
−
,
z
x
есл и
,
1
,
K
,
1
j
,
z
x
z
есл и
,
z
x
c
b
,
z
x
есл и
,
0
x
F
K
j
1
j
1
j
j
1
j
0
0
прич ем
)
( )
[
)
[
j
j
j
j
b
,
b
x
F
z
,
z
x
1
0
1
−
−
∈
⇔
∈
.
Т огда
получ аем
м оделирую щ ий
алг оритм
:
(
)
j
1
j
1
j
c
b
z
−
−
−
+
=
α
ξ
,
если
K
j
,
b
b
j
j
≤
≤
<
≤
−
1
1
α
(3.2.4)
И ногда
гистограм м а
строится
так
,
ч то
K
const
b
b
p
i
i
i
1
1
=
=
−
=
−
.
При
этом
выч исления
по
(3.2.4)
упрощ аю тся
,
так
как
для
j
им еется
явное
выраж ение
[ ]
1
+
=
α
K
j
.
10
3.3.
М о д е
ли ро вани е
не
преры вно й
случ айно й
ве
ли ч и ны
станд артны м
м е
то д о м
и ск люч е
ни я
Рассм отрим
алгоритм
м оделирования
непрерывной
случ айной
велич ины
ξ
с
ф иксированной
плотность ю
распределения
( )
x
f
0
.
М етод
исклю ч ения
(
м етод
реж екции
,
м етод
Д ж
.
Н ейм ана
)
основан
на
трех
следую щ их
теорем ах
.
1.
Е сли
( )
η
ξ
,
-
двум ерный
случ айный
вектор
,
равном ерно
распределенный
в
области
( )
( )
{
}
x
f
y
y
x
F
0
0
0
:
,
≤
≤
=
2.
( )
( )
y
,
x
I
y
,
x
p
F
,
0
=
η
ξ
, (3.3.1),
то
ком понента
ξ
этог о
вектора
им еет
плотность
распределения
( )
x
f
0
.
О пределим
теперь
м аж орирую щ ую
ф ункцию
( )
x
g
y
=
:
( )
( )
0
0
≥
≥
x
f
x
g
(3.3.2)
и
область
( )
( )
{
}
0
0
F
x
g
y
:
y
,
x
G
⊃
≤
≤
=
.
2.
Е сли
( )( )
K
,
,
,
,
′
′
′
′
2
2
1
1
η
ξ
η
ξ
–
независим ые
случ айные
векторы
,
равном ерно
распределенные
в
G
,
то
случ айный
вектор
( )
η
ξ
,
:
′
=
k
ξ
ξ
,
′
=
k
η
η
,
где
(
)
{
}
0
F
,
:
N
min
k
N
N
∈
′
′
=
η
ξ
, (3.3.3)
распределен
равном ерно
в
0
F
.
В екторы
( ) (
)
′
′
′
′
−
−
1
k
1
k
1
1
,
,...,
,
η
ξ
η
ξ
,
не
попавшие
в
0
F
,
называю тся
исклю ч енны
-
м и
,
а
процедура
нахож дения
( )
′
′
k
k
,
η
ξ
-
исклю ч ением
.
О тсю да
и
название
м ето
-
да
.
3.
Пусть
случ айная
велич ина
ξ
′
им еет
плотность
( )
( )
G
mes
/
x
g
,
а
случ айная
велич ина
η
′
при
условии
x
=
′
ξ
им еет
плотность
распределения
( )
( )
[
]
( ) ( )
x
g
/
y
I
x
y
p
x
g
,
0
=
′
′
ξ
η
.
Т огда
случ айный
вектор
(
)
η
ξ
′
′
,
распределен
равно
-
м ерно
в
G
.
М оделирую щ ий
алгоритм
заклю ч ается
в
последователь ности
шагов
.
1.
Подбирается
м аж орирую щ ая
ф ункция
( )
x
g
(3.3.2).
2.
При
пом ощ и
п
.3
каким
-
либо
м етодом
м оделируется
случ айный
вектор
(
)
G
,
∈
′
′
η
ξ
;
реализация
(
)
η
ξ
′
′
,
обознач ается
( )
y
,
x
.
3.
Е сли
( )
x
f
y
0
>
,
то
( )
y
,
x
исклю ч ается
и
вновь
повторяется
шаг
2;
если
ж е
( )
x
f
y
0
≤
,
то
знач ение
x
приним ается
в
кач естве
реализации
ξ
.
Повторяя
алгоритм
n
-
кратно
,
м ож но
получ ить
n
реализаций
ξ
,
м оделирую
-
щ их
резуль таты
наблю дений
над
ξ
в
n
эксперим ентах
.