ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 671
Скачиваний: 2
1.1. Деформация среды
11
1.1.5
Относительное перемещение.Тензор линейного поворота. Век-
тор поворота
Вектор
d
u
называется вектором относительного перемещения частицы, распо-
ложенной первоначально в точке
Q
0
, относительно частицы, расположенной в
точке
P
0
(рис. 1.2).
Очевидно, что
du
i
=
µ
∂u
i
∂X
j
¶
P
0
dX
j
(1.22)
Вектор с компонентами
du
i
/dX
называется вектором относительного переме-
щения, отнесённым к единице длины рассматриваемого отрезка (
dX
— модуль
бесконечно малого вектора
d
X
. Пусть
ν
i
— компоненты единичного направля-
ющего вектора отрезка
d
X
(
dx
i
=
ν
i
dX
). Тогда
du
i
dX
=
∂u
i
∂X
j
∂X
j
∂X
=
∂u
i
∂X
j
ν
j
.
(1.23)
Разложим материальный градиент перемещения на симметричную и анти-
симметричную части. Тогда вектор можно записать в виде
du
i
=
·
1
2
µ
∂u
i
∂X
j
+
∂u
j
∂X
i
¶
+
1
2
µ
∂u
i
∂X
j
−
∂u
j
∂X
i
¶¸
dX
j
(1.24)
Первое слагаемое в квадратных скобках — лагранжев тензор линейной дефор-
мации
l
ij
. Втрое слагаемое в квадратных скобках называется
лагранжевым
тензором линейного поворота
:
W
ij
=
1
2
µ
∂u
i
∂X
j
−
∂u
j
∂X
i
¶
.
(1.25)
Если тензор деформации тождественно равен нулю в окрестности точки ,
то деформация окрестности этой точки будет бесконечно малым поворотом аб-
солютно твердого тела. Этот бесконечно малый поворот можно представить
лагранжевым вектором линейного поворота:
du
i
=
1
2
ε
ijk
W
kj
или
w
=
1
2
∇
X
×
u
.
(1.26)
В этом случае относительное перемещение записывается в следующем виде:
du
i
=
ε
ijk
w
i
dX
k
или
d
u
=
w
×
d
X
.
(1.27)
12
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Все рассуждения, проведённые при лагранжевом описании вектора
d
u
, мож-
но повторить для случая эйлерова описания этого вектора. Аналогами формул
(1.22) – (1.27) будут следующие.
du
i
=
µ
∂u
i
∂x
j
¶
P
0
dx
j
;
(1.28)
du
i
dx
=
∂u
i
∂x
j
∂x
j
∂x
=
∂u
i
∂x
j
µ
j
;
(1.29)
du
i
=
·
1
2
µ
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
i
¶
+
1
2
µ
∂u
i
∂x
j
−
∂u
j
∂x
i
¶¸
dx
j
(1.30)
ω
ij
=
1
2
µ
∂u
i
∂x
j
−
∂u
j
∂x
i
¶
(1.31)
du
i
=
1
2
ε
ijk
ω
kj
или
w
=
1
2
∇
x
×
u
.
(1.32)
du
i
=
ε
ijk
ω
j
dx
k
или
d
u
=
ω
×
d
x
.
(1.33)
1.1.6
Геометрический смысл компонент тензоров линейных дефор-
маций
В случае малых деформаций в равенстве (1.15) лагранжев тензор конечных
деформаций можно заменить лагранжевым тензором линейных деформаций
l
ij
:
(
dx
)
2
−
(
dX
)
2
= (
dx
−
dX
)(
dx
+
dX
) = 2
l
ij
dX
i
dX
j
При малых деформациях
dx
'
dX
. Поэтому последнее равенство можно пере-
писать в следующем виде:
dx
−
dX
dX
=
l
ij
dX
i
dX
dX
j
dX
=
l
ij
ν
i
ν
j
(1.34)
Напомним, что
ν
i
— направляющие косинусы отрезка
d
X
. Левая часть ра-
венства (1.34)— относительное удлинение (коэффициент относительного удли-
нения) линейного элемента, первоначально имевшего направляющие косинусы
dX
i
/dX
. В частности, из (1.34) следует, что диагональные элементы тензора
бесконечно малых деформаций
l
ii
представляют собой относительные удлине-
ния линейных элементов, расположенных до деформации вдоль осей
x
i
.
1.1. Деформация среды
13
Напомним геометрический смысл недиагональных элементов тензора беско-
нечно малых деформаций. Рассмотрим два линейных элемента, расположенных
до деформации вдоль осей
X
1
и
X
2
соответственно. Угол между ними равен
π/
2
. В результате деформации эти элементы повернутся, угол между ними в
деформированном состоянии обозначим через
θ
12
. С точностью до величин мно-
го меньших единицы
cos
θ
12
= 2
l
12
. Обозначим через
γ
12
=
π/
2
−
θ
12
. В случае
малых деформаций
γ
12
'
sin(
π/
2
−
θ
12
) = cos
θ
12
= 2
l
12
.
(1.35)
Аналогичный смысл имеют величины
l
23
и
l
23
.
Следовательно, недиагональные члены тензора бесконечно малых деформа-
ций представляют собой половину изменения углов между двумя первоначаль-
но ортогональными линейными элементами, расположенными вдоль коорди-
натных осей.
Для деформаций, для которых справедливо предположение
l
ij
=
ε
ij
разли-
чия между эйлеровым и лагранжевым подходами нет.
В случае конечных деформаций такого наглядного геометрического смысла
компоненты тензора конечных деформаций не имеют. Можно показать, что в
случае конечных деформаций имеют место следующие соотношения. Относи-
тельное удлинение
L
(
i
)
волокон, направленных до деформации вдоль коорди-
натных осей
X
i
вычисляется по формуле:
L
(
i
)
=
p
1 + 2
L
ii
−
1
.
(1.36)
Изменения углов
γ
ij
между двумя первоначально ортогональными линейны-
ми элементами, расположенными вдоль координатных осей, связаны с компо-
нентами тензора конечных деформаций соотношениями:
sin
γ
ij
=
2
L
ij
√
1 + 2
L
ii
p
1 + 2
L
jj
(1.37)
1.1.7
Преобразование компонент тензоров деформаций при поворо-
те системы координат
Введённые выше тензоры
L
ij
, E
ij
, l
ij
, ε
ij
являются декартовыми тензорами вто-
рого ранга.
14
Глава 1. Основные уравнения теории упругости
Если оси
X
0
i
получены из осей
X
i
поворотом с ортогональной матрицей
[
b
ij
]
,
то компоненты лагранжевых тензоров в соответствующих системах координат
связаны соотношениями:
L
0
ij
=
b
ip
b
jq
L
pq
,
l
0
ij
=
b
ip
b
jq
l
pq
.
Если оси
x
0
i
получены из осей
x
i
поворотом с ортогональной матрицей
[
a
ij
]
, то
компоненты эйлеровых тензоров в соответствующих системах координат свя-
заны соотношениями:
E
0
ij
=
a
ip
a
jq
E
pq
,
ε
0
ij
=
a
ip
a
jq
ε
pq
.
1.1.8
Главные деформации. Инварианты тензоров деформаций.
Лагранжев и эйлеров тензоры бесконечно малых деформаций являются сим-
метричными декартовыми тензорами второго ранга. Их главные направления
и главные значения находятся стандартными методами. Эти тензоры имеют три
главных направления, три главных значения и три независимых инварианта.
Так, главные значения лагранжева тензора бесконечно малых деформаций
определяются как корни кубического уравнения
|
l
ij
−
δ
ij
l
|
= 0
,
или
l
3
−
I
L
l
2
+
II
L
l
−
III
L
= 0
.
Это уравнение имеет три вещественных корня
l
(1)
, l
(2)
, l
(3)
. Направляющие ко-
синусы
n
i
главных направлений определяются из решения системы
(
l
ij
−
δ
ij
l
(
k
)
)
n
i
= 0
.
Коэффициенты характеристического уравнения являются соответственно пер-
вым, вторым и третьим инвариантами лагранжева тензора бесконечно малых
деформаций:
I
L
=
l
ii
=
tr
L
,
II
L
=
1
2
(
l
ii
l
jj
−
l
ij
l
ij
)
,
III
L
=
|
l
ij
|
=
det
L
.
Первый инвариант является суммой главных деформаций
I
L
=
l
(1)
+
l
(2)
+
l
(3)
.
Его физический смысл заключается в следующем. Рассмотрим элементарный
прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны главным направ-
лениям деформации. Изменение этого объема (на единицу первоначального
1.1. Деформация среды
15
объема) в результате деформации вычисляется по формуле
D
0
=
4
V
0
V
0
=
dX
1
(1 +
l
(1)
)
dX
2
(1 +
l
(2)
)
dX
3
(1 +
l
(3)
)
−
dX
1
dX
2
dX
3
dX
1
dX
2
dX
3
При малых деформациях с точностью до величин малых по сравнению с еди-
ницей получаем
D
0
=
l
(1)
+
l
(2)
+
l
(3)
=
I
L
.
Величина
D
0
называется коэффициентом объемного (кубического) расшире-
ния.
Для эйлерова тензора деформаций инварианты выражаются через главные
деформации следующим образом:
I
E
=
ε
(1)
+
ε
(2)
+
ε
(3)
,
II
E
=
ε
(1)
ε
(2)
+
ε
(2)
ε
(3)
+
ε
(3)
ε
(1)
,
II
E
=
ε
(1)
ε
(2)
ε
(3)
.
Коэффициент объемного расширения при эйлеровом описании вычисляется по
формуле:
D
=
4
V
V
=
ε
(1)
+
ε
(2)
+
ε
(3)
.
1.1.9
Шаровой тензор и девиатор деформаций.
Как лагранжев так эйлеров тензоры деформаций можно разложить на шаровой
тензор и девиатор:
l
ij
=
d
ij
+
δ
ij
l
kk
/
3
,
ε
ij
=
e
ij
+
δ
ij
ε
kk
/
3
.
Первые инварианты
d
ii
и
e
ii
девиаторов деформаций тождественно равны ну-
лю. Поэтому девиаторы описывают деформацию сдвига, для которой объемное
расширение равно нулю.
1.1.10
Уравнения совместности деформаций.
Компоненты тензора деформаций
ε
ij
выражаются через три компоненты век-
тора перемещений:
ε
ij
=
1
2
µ
∂u
i
∂x
j
+
∂u
j
∂x
j
¶
.
(1.38)