ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 654
Скачиваний: 2
2.4. Экстремальные свойства предельных состояний текучести
61
•
оно удовлетворяет всюду в теле уравнениям равновесия:
σ
∗
ij,j
= 0
,
•
удовлетворяет граничным условиям на части поверхности
S
T
:
σ
∗
ij
n
j
= ˆ
T
i
•
и всюду в теле выполняется неравенство
f
(
σ
∗
ij
)
≤
0
.
Теорема 1
( о нижней оценке несущей способности). Пусть
σ
ij
, ε
ij
, v
i
— ис-
тинное решение задачи о предельном состоянии тела, на которое на части по-
верхности
S
T
действуют поверхностные нагрузки
ˆ
T
i
;
σ
∗
ij
— статически допусти-
мое напряженное состояние, которому на части поверхности
S
v
соответствуют
поверхностные силы
T
∗
i
. Тогда выполняется неравенство
Z
S
v
T
i
v
i
dS
≥
Z
S
v
T
∗
i
v
i
dS.
Доказательство.
Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа как
для истинного, так и для статически допустимого полей напряжений. За вир-
туальное (возможное) поле скоростей примем истинное поле скоростей:
Z
V
σ
ij
ε
ij
dV
=
Z
S
v
T
i
v
i
dS
+
Z
S
T
ˆ
T
i
v
i
dS,
Z
V
σ
∗
ij
ε
ij
dV
=
Z
S
v
T
∗
i
v
i
dS
+
Z
S
T
ˆ
T
i
v
i
dS,
В этих равенствах
T
i
=
σ
ij
n
j
,
T
∗
i
=
σ
∗
ij
n
j
.
Вычитая из второго равенства первое, получим
Z
S
v
T
i
v
i
dS
−
Z
S
v
T
∗
i
v
i
dS
=
Z
V
(
σ
ij
−
σ
∗
ij
)
ε
ij
dV.
Но в силу принципа максимума диссипации механической энергии
(
σ
ij
−
σ
∗
ij
)
ε
ij
≥
0
всюду в объёме
V.
Следовательно,
Z
S
v
T
i
v
i
dS
≥
Z
S
v
T
∗
i
v
i
dS.
62
Глава 2. Пластичность
ч.т.д. Доказанное неравенство можно использовать для получения нижней оцен-
ки предельной (несущей) нагрузки.
Пусть внешняя нагрузка сводится к одной обобщенной силе, т.е.
R
S
v
T
i
v
i
dS
=
Q
˙
q
. В этом случае
R
S
v
T
∗
i
v
i
dS
=
Q
∗
˙
q
и, следовательно,
Q
≥
Q
∗
.
Пусть на части поверхности
S
T
нагрузки заданы в виде
µT
0
i
, где
µ
— неопре-
делённый множитель и статически допустимое напряженное состояние удовле-
творяет на части поверхности
S
T
условиям
σ
ij
∗
n
j
=
µ
∗
T
i
. Тогда множитель
µ
можно принять за обобщённую силу. В
этом случае обобщённая скорость будет равна
R
S
T
T
0
i
v
i
dS
. И неравенство при-
нимает вид
µ
≥
µ
∗
.
Коэффициентом запаса, соответствующим некоторой системе нагрузок
T
i
,
не превышающих предельного значения, назовем число
µ
, если нагрузки
µT
i
являются предельными. Число
µ
∗
назовём статически допустимым множите-
лем.
Тогда доказанное выше неравенство можно эквивалентно следующему утвер-
ждению.
Коэффициент запаса является наибольшим допустимым множителем
µ
∗
≤
µ
.
Или
Статически допустимый множитель является нижней оценкой коэффи-
циента запаса
.
2.4.2
Теорема о верхней оценке несущей способности
Теорема 2
( о верхней оценке несущей способности). Пусть
σ
ij
, ε
ij
, v
i
— истинное
решение задачи о предельном состоянии тела, на которое на части поверхности
S
T
действуют поверхностные нагрузки
ˆ
T
i
;
Пусть
v
∗
i
, ε
ij
∗
— произвольное кинематически допустимое поле скоростей и
скоростей деформации, т.е.
v
∗
i
=
v
i
на части поверхности
S
V
. По скоростям
деформаций
ε
∗
ij
однозначно определяются напряжения
sigma
∗
ij
(если поверхность текучести выпуклая).
2.5. Плоская задача теории идеальной пластичности
63
Тогда выполняется неравенство
Z
S
T
i
v
∗
i
dS
≤
Z
V
σ
∗
ij
ε
∗
ij
dV.
Доказательство.
Составим уравнения равновесия в форме Лагранжа, при-
няв за поле возможных перемещений
v
∗
i
Z
S
T
i
v
∗
i
dS
=
Z
V
σ
ij
ε
∗
ij
dV.
Прибавим и вычтем в правой части этого равенства мощность пластического
формоизменения, соответствующего кинематически допустимому полю скоро-
стей, т.е.
R
V
σ
∗
ij
ε
∗
ij
dV
.
В результате получим
Z
S
T
i
v
∗
i
dS
=
Z
V
σ
∗
ij
ε
∗
ij
−
Z
V
(
σ
∗
ij
−
σ
ij
)
ε
∗
ij
dV.
В силу принципа максимума второе слагаемое в правой части неотрицатель-
ное и, следовательно, имеет место требуемое неравенство
Z
S
T
i
v
∗
i
dS
≤
Z
V
σ
∗
ij
ε
∗
ij
dV.
В частности, если внешняя нагрузка сводится к одной обобщённой силе, то
из последнего неравенства следует неравенство
Q
≤
1
˙
q
Z
V
σ
∗
ij
ε
∗
ij
dV.
2.5
Плоская задача теории идеальной пластичности
Пусть
x
1
, x
2
, x
3
— декартовая система координат.
Под "плоской " будем понимать задачу, в которой выполняются следующие
условия:
64
Глава 2. Пластичность
•
неизвестными являются три компоненты тензора напряжений
σ
11
, σ
22
, σ
12
,
три компоненты тензора деформаций
ε
11
, ε
22
, ε
12
и две компоненты вектора
скорости
v
1
, v
2
как функции двух независимых переменных
x
1
, x
2
•
остальные компоненты тензора напряжений, тензора деформаций и век-
тора перемещений не обязательно равны нулю, но могут быть определены
после решения "плоской " задачи.
•
условие пластичности может быть выражено в виде соотношения между
главными напряжениями
σ
1
и
σ
2
в плоскости
x
1
и
x
2
. Напряжение
σ
3
предполагается либо вообще не входящим в условие пластичности, либо
исключенным из этого условия.
Итак, пусть
σ
1
и
σ
2
— главные напряжения в плоскости
x
1
и
x
2
.
Вместо
σ
1
и
σ
2
введем величины
p
=
1
2
(
σ
1
+
σ
2
)
,
τ
=
1
2
(
σ
1
−
σ
2
)
.
(2.6)
Тогда условие пластичности может быть записано в виде:
τ
=
τ
(
p
)
.
(2.7)
Обозначим через
ψ
угол между первым главным направлением и осью
x
1
.
Выразим компоненты тензора напряжений
σ
11
, σ
22
, σ
12
через
p, τ, ψ
:
σ
11
=
p
+
τ
(
p
) cos 2
ψ,
σ
22
=
p
−
τ
(
p
) cos 2
ψ,
σ
12
=
τ
(
p
) sin 2
ψ,
(2.8)
Подставим эти выражения в уравнения равновесия
∂σ
11
∂x
1
+
∂σ
12
∂x
2
= 0
,
∂σ
12
∂x
1
+
∂σ
22
∂x
2
= 0
(2.9)
В результате получим систему двух квазилинейных уравнений в частных про-
изводных относительно величин
p
и
τ
:
(1 +
τ
0
cos 2
ψ
)
p
,
1
−
2
τ
(sin 2
ψ
)
ψ
,
1
+
τ
0
p
,
2
sin 2
ψ
+ 2
τ
(cos 2
ψ
)
ψ
,
2
= 0
,
(2.10)
(1
−
τ
0
cos 2
ψ
)
p
,
2
+ 2
τ
(sin 2
ψ
)
ψ
,
2
+
τ
0
p
,
1
sin 2
ψ
+ 2
τ
(cos 2
ψ
)
ψ
,
1
= 0
,
(2.11)
где
τ
0
=
dτ
dp
.
2.5. Плоская задача теории идеальной пластичности
65
2.5.1
Характеристики поля напряжений
Для интегрирования квазилинейной системы (2.10), (2.11) используем метод
характеристик. Добавим к уравнениям (2.10), (2.11)тождества
p
,
1
dx
1
+
p
,
2
dx
2
= 0
,
ψ
,
1
dx
1
+
ψ
,
2
dx
2
= 0
(2.12)
Определитель матрицы системы (2.10), (2.11), (2.12) относительно производ-
ных
p
,
1
, ψ
,
1
, p
,
2
, ψ
,
2
равен:
4
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 +
τ
0
cos 2
ψ
−
2
τ
sin 2
ψ
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
1
−
τ
0
cos 2
ψ
2
τ
sin 2
ψ
dx
1
0
dx
2
0
0
dx
1
0
dx
2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Определитель расширенной матрицы равен:
D
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
1 +
τ
0
cos 2
ψ
−
2
τ
sin 2
ψ
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
0
τ
0
sin 2
ψ
2
τ
cos 2
ψ
1
−
τ
0
cos 2
ψ
2
τ
sin 2
ψ
0
dx
1
0
dx
2
0
dp
0
dx
1
0
dx
2
dψ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
Характеристическое направление
(
dx
1
, dx
2
)
определяется из уравнения
4
=
dx
2
1
(cos 2
ψ
+
τ
0
) + 2
dx
1
dx
2
sin 2
ψ
+ (cos 2
ψ
−
τ
0
)
dx
2
2
= 0
Следовательно,
tg
ϕ
=
dx
2
dx
1
=
sin 2
ψ
±
√
1
−
τ
0
2
cos 2
ψ
+
τ
0
(2.13)
Если
|
τ
0
|
<
1
—
система гиперболическая
Если
|
τ
0
|
= 1
—
система параболическая
Если
|
τ
0
|
<
1
—
система эллиптическая
Рассмотрим случай
|
τ
0
|
<
1
. В этом случае система является гиперболиче-
ской и имеется два семейства вещественных характеристик.
Будем называть семейство характеристик
tg
ϕ
=
dx
2
dx
1
=
sin 2
ψ
−
√
1
−
τ
0
2
cos 2
ψ
+
τ
0
(2.14)