ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 2124
Скачиваний: 4
230
1.
Gunzburger M.D. Perspectives in Flow Control and Optimization. Philadelphia: SIAM,
2003. 261 p.
2.
Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жид-
кости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 365 с.
3.
Алексеев Г.В. Оптимизация в стационарных задачах тепломассопереноса и магнит-
ной гидродинамики. М.: Научный мир, 2010. 412 с.
4.
Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theoret. Comput.
Fluid Dyn. 1990. Vol. 1. P. 303-325.
5.
Zabaras N., Yang G.Z. A functional optimization formulation and implementation of an
inverse natural convection problem // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1997. Vol. 144.
P. 245-274.
6.
Li S., Wang G. The time optimal control of the Boussinesq equations // Numer. Funct.
Anal. Optim. 2003. Vol. 24. P. 163-180.
7.
B¨
arwolff G., Hinze M. Optimization of semiconductor melts // Z. Angew. Math. Mech.
2006. Vol. 86. P. 423-437.
8.
Boldrini J.L., Fernandez-Cara E., Rojas-Medar M.A. An optimal control problem for a
generalized Boussinesq model: the time dependent case // Rev. Mat. Complut. 2007.
Vol. 20. P. 339-366.
9.
Hinze M., Mattes U. Optimal and model predictive control of Boussinesq approximation
// Int. Series Numer. Math. 2007. Vol. 155. P. 149-174.
10.
Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Экстремальные задачи граничного управления для ста-
ционарных уравнений тепловой конвекции // Прикл. мех. техн. физ. 2010. Т. 51, № 4.
C. 72-84.
11.
Alekseev G., Tereshko D., Pukhnachev V. Boundary control problems for Oberbeck-
Boussinesq model of heat and mass transfer // Advanced Topics in Mass Transfer /
Ed. by Mohamed El-Amin. Rijeka: Intech, 2011. P. 485-512.
12.
Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Двухпараметрические экстремальные задачи гранично-
го управления для стационарных уравнений тепловой конвекции // Журн. вычисл.
матем. матем. физ. 2011. Т. 51, № 9. C. 1645-1664.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 511.41
ТРЕХМЕРНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
ПО ВОРОНОМУ И МИНКОВСКОМУ
Устинов А.В.
Институт прикладной математики ДВО РАН (хабаровское отделение)
Россия, 680000, Хабаровск, Дзержинского 54
E-mail:
E-mail: ustinov@iam.khv.ru
Ключевые слова:
многомерные цепные дроби.
Существуют две геометрические интерпретации классических цепных дро-
бей, допускающие естественное обобщение на многомерный случай. В пер-
вой интерпретации, принадлежащей Клейну, цепная дробь отождествляет-
ся с выпуклыми оболочками (полигонами Клейна) множеств точек цело-
численной решетки, лежащих в двух смежных углах (1895–1896). Вторая
интерпретации, которая была независимо предложена Вороным и Минков-
ским, основана на понятиях локального минимума решетки, минимальной
системы векторов и экстремального параллелепипеда (1896). В двумерном
случае вершины полигонов Клейна могут быть отождествлены с локаль-
ными минимумами, однако, начиная с размерности 3, геометрические ин-
терпретации Клейна и Вороного–Минковского становятся различными. В
докладе планируется рассказать о трехмерных цепных дробях Вороного–
Минковского и о некоторых задачах, которые возникают при их изучении.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
УДК 519.248:62-192+519.176
ЭРГОДИЧНОСТЬ ЖИДКОСТНОЙ
ОДНОКАНАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ
Г.Ш. Цициашвили
Институт прикладной математики ДВО РАН
Россия, 690041, Владивосток, Радио 7
E-mail:
guram@iam.dvo.ru
Ключевые слова:
эргодичность, система массового обслуживания, жид-
костная модель, асимптотические формулы
Для вероятностных моделей систем обслуживания в случайной среде, к ко-
торым, в частности сводятся системы с гистерезисной стратегией управле-
ния, узловые вопросы эргодичности как правило получили решения в виде
только достаточных, а не необходимых и достаточных условий (критериев
эргодичности). Значимость критериев эргодичности в том, что с их помо-
щью можно вычислить пропускную способность систем массового обслу-
живания. В настоящей работе вопросы получения критериев эргодичности
решаются для жидкостной модели одноканальной системы массового обслу-
живания в случайной среде. Эти критерии основаны на редукции данной
системы к классической цепочке Линдли. Наряду с критериями эргодич-
ности приводятся асимптотические формулы и предельные теоремы для
жидкостных моделей обслуживания в случайной среде в случае большой
загрузки.
Введение
Математическим моделям систем и сетей массового обслуживания в случайной
среде уделяется большое внимание в теории массового обслуживания (см., напри-
мер, [1, с. 76] и содержащиеся в статье ссылки) в связи с обилием разнообразных
приложений к транспортным моделям [2, с. 430-432, 438], системам с гистерезис-
ной стратегией управления [3], [4с. 24, 25]. Детерминированные модели технических
систем с гистерезисной стратегией управления (периодические системы близкие к
разрывным) рассмотрены в теории обыкновенных дифференциальных уравнений
с малым параметром при старших производных [5-7]. Однако наличие малого па-
раметра в этих моделях не позволяет получать обозримые формулы для решений
возникающих уравнений. Это связано с достаточно сложным поведением решений
(наличием нескольких погранслоев) в окрестностях точек с разрывами. В то же
время для вероятностных моделей систем обслуживания в случайной среде узловые
вопросы эргодичности как правило получили решения в виде только достаточных,
а не необходимых и достаточных условий (критериев эргодичности) [1, теорема 1,
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
233
формула (2)]. Значимость критериев эргодичности в том, что с их помощью можно
вычислить пропускную способность систем массового обслуживания [8]. Поэтому
работа в данном направлении остается актуальной, несмотря на обилие результатов
в которых даются формулы и алгоритмы вычисления предельных распределений в
данных системах. В настоящей работе вопросы получения критериев эргодичности
решаются не усилением известных результатов по расчету предельных распределе-
ний для систем обслуживания в случайной среде, а построением достаточно общих
стохастических моделей этих систем обслуживания, которые удобно сводить к из-
вестным теоремам эргодичности для одноканальных моделей обслуживания типа
цепочки Линдли [9, с. 20-36]. В рамках этого подхода рассматриваются жидкостные
модели обслуживания [10, с. 3-5], [11, с. 8-12], для которых определяется количество
жидкости в системе в моменты изменения режима ее функционирования. Наряду с
критериями эргодичности приводятся асимптотические формулы и предельные тео-
ремы для жидкостных моделей обслуживания в случайной среде в случае большой
загрузки.
1.
Жидкостная одноканальная модель
обслуживания в случайной среде
Рассмотрим следующую жидкостную модель одноканальной системы массо-
вого обслуживания. Разобьем неотрицательную полуось
t
>
0
на полуинтервалы
[
T
0
, T
1
)
, T
0
= 0
, T
1
=
T
0
+
t
0
,
[
T
1
, T
2
)
, T
2
=
T
1
+
t
1
, . . .
Здесь независимые случайные
величины
t
0
, t
1
, . . . ,
имеют распределение
G
(
t
) =
P
(
t
n
< t
)
, t
>
0
, n
>
0
,
сосре-
доточенное на положительной полуоси, причем
M t
n
<
∞
.
Предположим, что на
полуинтервале
[
T
n
−
1
, T
n
)
, n >
0
,
в некий резервуар закачивается жидкость с интен-
сивностью
a
n
>
0
и выкачивается жидкость с интенсивностью
b
n
>
0
,
если объем
жидкости больше нуля. Если объем жидкости равен нулю, то при
a
n
< b
n
интен-
сивность оттока жидкости становится равной интенсивности ее притока
a
n
,
причем
начальное количество жидкости в системе равно
w
0
>
0
.
Далее будем предпола-
гать, что разности
(
a
n
−
b
n
)
, n
>
0
,
характеризующие случайное поведение среды, в
которой находится одноканальная система обслуживания, образуют последователь-
ность независимых и одинаково распределенных случайных величин (п.н.о.р.с.в.),
имеющих конечное математическое ожидание:
M
|
a
n
−
b
n
|
<
∞
,
причем случай-
ные последовательности
(
a
n
−
b
n
)
, n
>
0
,
и
t
n
, n
>
0
,
независимы. Обозначим
W
(
t
)
, t
>
0
,
объем жидкости, содержащийся в емкости в момент времени
t.
Функ-
ция
W
(
t
)
является ломаной с точками перегиба
T
n
, n
>
0
.
Эта функция напоминает
виртуальное время ожидания в одноканальной системе обслуживания, но не иден-
тична ей. Пусть
w
n
=
W
(
T
n
)
, n
>
0
,
тогда в силу сделанных предположений объем
жидкости
w
n
+1
=
W
(
T
n
+1
)
в резервуаре в момент
T
n
+1
удовлетворяет равенству
w
n
+1
= (
w
n
+
ξ
n
)
+
, n
>
0
,
где
d
+
= max(0
, d
)
.
(1)
В силу теоремы эргодичности для цепочки Линдли
w
n
, n
>
0
,
[9,
§
3, теорема 7]
необходимым и достаточным условием ее эргодичности является неравенство
M ξ
n
=
M t
n
M
(
a
n
−
b
n
)
<
0
.
(2)
Замечание 1. Приведенный выше критерий эргодичности справедлив и при более
общем предположении о стационарности в узком смысле случайной последователь-
ности
ξ
n
, n
>
0
.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.
234
2.
Асимптотический анализ жидкостной
одноканальной системы обслуживания при
большой загрузке
Приведенные выше результаты позволяют перенести известные асимптотиче-
ские формулы для системы Линдли на жидкостную одноканальную модель обслу-
живания в случайной среде. Так, если
c
=
|
M ξ
n
| →
0
, d
=
Dξ
n
=
const,
то при перечисленных выше условиях на случайные величины
t
n
, a
n
−
b
n
(см., также
[9, гл. 1, формулы (57), (58)], [13]) имеем следующую асимптотическую формулу для
предельного распределения цепи Маркова
w
n
, n >
0 :
для любого
x >
0
lim
n
→∞
P
(
w
n
> x/
|
c
|
)
∼
exp(
−
2
x/d
)
,
|
c
| →
0
.
С уточнениями этих результатов можно ознакомиться в работах [9, с. 65-67], [14,
гл. III]. Указанные результаты основаны на диффузионной аппроксимации последо-
вательности времен ожидания
w
n
, n >
0
,
в одноканальной системе обслуживания.
В заключение остановимся на случае, когда
c
→
0
, d
=
d
(
c
)
.
Предположим, что
случайные величины
ξ
n
удовлетворяют следующим условиям. Имеется последова-
тельность независимых и одинаково распределенных случайных величин
∆
n
, n
>
0
,
M
∆
n
= 0
, D
∆
n
=
f, M
|
∆
n
|
3
<
∞
,
такая, что
ξ
n
=
−
ε
+
ε
γ
∆
n
, n
>
0
и значит
c
=
−
ε, d
=
f ε
2
γ
=
f
|
c
|
2
γ
.
Определим
случайную величину
W
γ
=
W
γ
(
ε
)
равенством
lim
n
→∞
P
(
w
n
> x
) =
P
(
W
γ
> x
)
, x >
0
.
Тогда в силу [15, теорема 1] при
ε
→
0
справедливы следующие соотношения:
W
γ
→
+
∞
,
0
6
γ<
1
/
2;
W
γ
→
0
, γ >
1
/
2;
P
(
W
γ
> x
)
→
exp(
−
2
x/f
)
, γ
= 1
/
2
.
Список литературы
1.
Дудин А.Н., Клименок В.И. Расчет характеристик однолинейной системы обслужи-
вания, функционирующей в синхронной случайной среде// Автоматика и телемеха-
ника. 1997. Вып. 1. С. 74-84.
2.
Афанасьева Л.Г., Руденко И.В. Системы обслуживания
GI
|
G
|∞
и их приложения к
анализу транспортных моделей// Теория вероятностей и ее применения. 2012. Вып.
3. С. 427-452.
3.
Гайдамака Ю.В., Зарипова Э.Р., Самуйлов К.Е. Модели обслуживания вызовов в
сети сотовой подвижной связи. Учебно-методическое пособие. М.: РУДН. 2008.
4.
Самочернова Л.С, Петров Е.И. Оптимизация системы массового обслуживания с
гистерезисной стратегией управления однотипным резервным прибором// Известия
Томского политехнического университета. 2011. Т. 319. Вып. 5.
5.
Мищенко Е.Ф., Понтрягин Л.С. Периодические решения систем дифференциальных
уравнений, близкие к разрывным// 1955. ДАН СССР. Т. 102, вып. 5. С. 889-891.
6.
Понтрягин Л.С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных
уравнений с малым параметром при высших производных// 1957. Изв. АН СССР.
Сер. мат. Т. 21, вып 5. С. 605-626.
Сборник материалов XXXVII Дальневосточной Математической Школы-Семинара
имени академика Е.В. Золотова, Владивосток, 8 – 14 сентября 2013 г.