ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1735
Скачиваний: 2
З
АКОНОМЕРНОСТИ
РАЗРУШЕНИЯ
ГОРНЫХ
ПОРОД
ЗА
ПРЕДЕЛОМ
ПРОЧНОСТИ
45
Для
выяснения
вида
функции
снижения
прочности
поступим
следующим
образом
.
Запишем
в
полярной
системе
координат
исходные
соотношения
.
Уравнения
равновесия
и
совместности
деформаций
имеют
вид
[
11
]
0
1
=
−
+
∂
∂
+
∂
∂
r
r
r
r
r
r
θ
θ
σ
σ
θ
τ
σ
,
(2.4)
0
2
1
=
+
∂
∂
+
∂
∂
r
r
r
r
r
θ
θ
θ
τ
τ
θ
σ
,
(2.5)
(
)
0
1
1
2
2
2
2
=
+
⋅
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
r
r
r
r
r
σ
σ
θ
θ
, (2.6)
где
θ
,
r
–
полярные
координаты
.
Здесь
и
далее
все
величины
,
имеющие
размер
-
ность
длины
,
отнесены
к
величине
радиуса
выработки
0
R
.
Условие
прочности
в
достаточно
общей
форме
может
быть
представлено
в
виде
(
)
( )
r
f
k
r
r
2
2
2
2
4
4
=
+
−
θ
θ
τ
σ
σ
,
(2.7)
где
k
–
некоторая
константа
,
зависящая
от
исходных
физических
предпосылок
,
заложенных
в
условие
прочности
.
Введем
функцию
напряжений
таким
образом
,
чтобы
в
пластической
облас
-
ти
выполнялись
следующие
соотношения
dr
dF
r
r
1
=
σ
;
2
2
dr
F
d
=
θ
σ
; 0
=
θ
τ
r
. (2.8)
Очевидно
,
что
в
таком
виде
функция
напряжений
всегда
удовлетворяет
уравнениям
равновесия
.
Для
определения
аналитического
выражения
функции
снижения
прочно
-
сти
подставим
выражения
(2.8)
в
(2.6)
и
(2.7).
Получим
систему
уравнений
:
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
∇∇
±
=
−
,
0
,
2
1
2
2
F
r
kf
dr
F
d
dr
dF
r
(2.9)
(2.10)
Р
АЗДЕЛ
2
46
где
∇
–
оператор
Лапласа
.
Решая
уравнение
(2.9)
методом
вариации
постоянной
,
получим
следующее
выражение
для
функции
напряжений
( )
( )
( )
∫
∫
+
+
−
⋅
=
−
2
2
1
1
2
C
r
C
dr
r
rf
k
dr
r
r
f
k
r
r
F
,
(2.11)
где
С
1
и
С
2
–
произвольные
постоянные
интегрирования
.
Применим
к
функции
напряжений
( )
r
F
дважды
оператор
Лапласа
,
при
-
равняем
,
согласно
(2.10),
полученное
выражение
нулю
и
получим
уравнение
для
определения
функции
( )
r
f
:
0
3
2
2
=
−
dr
df
r
dr
f
d
.
(2.12)
Его
решение
имеет
вид
( )
B
r
A
r
f
−
=
2
.
(2.13)
Константы
А
и
В
определяются
из
условия
равенства
значения
функции
( )
r
f
предельным
значениям
прочности
породной
среды
на
контуре
выработки
и
на
границе
L
раздела
упругой
и
пластической
областей
:
ост
r
c
k
R
=
=
∗
1
и
1
=
=
∗
L
r
r
c
R
.
(2.14)
С
учетом
условия
(2.14)
получим
(
)
ост
L
L
k
r
r
А
−
−
=
1
1
2
2
;
2
2
1
L
ост
L
r
k
r
B
−
−
=
,
(2.15)
где
L
r
–
безразмерный
радиус
области
неупругих
деформаций
.
С
учетом
значений
постоянных
интегрирования
(2.15)
функция
снижения
прочности
имеет
вид
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
L
ост
L
ост
L
L
ост
L
L
r
r
k
r
r
k
r
k
r
r
k
r
r
r
f
−
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
=
. (2.16)
З
АКОНОМЕРНОСТИ
РАЗРУШЕНИЯ
ГОРНЫХ
ПОРОД
ЗА
ПРЕДЕЛОМ
ПРОЧНОСТИ
47
Для
хрупких
пород
величина
ост
k
=0,1
и
ею
без
существенного
ущерба
для
точности
можно
пренебречь
,
тогда
выражение
(2.16)
примет
более
простой
вид
( )
1
1
2
2
2
2
−
−
=
L
L
r
r
r
r
r
f
.
(2.17)
Подставив
соотношение
(2.13)
в
(2.11),
получим
выражение
для
функции
напряжений
в
пластической
области
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
1
2
2
ln
2
1
C
B
r
A
r
k
r
r
F
. (2.18)
По
аналогии
с
функцией
сни
-
жения
прочности
введем
в
рас
-
смотрение
функцию
разрыхления
( )
r
f
′
.
Если
особенности
потери
прочности
приконтурного
массива
отражаются
на
размерах
зоны
не
-
упругих
деформаций
,
то
возни
-
кающее
при
этом
разрыхление
оп
-
ределяет
величину
перемещений
на
контуре
выработке
.
Исследова
-
ния
,
приведенные
выше
,
показы
-
вают
,
что
разупрочнение
и
раз
-
рыхление
протекают
одновремен
-
но
и
имеют
линейную
связь
вида
(2.1),
в
соответствии
с
чем
функ
-
ция
разрыхления
должна
быть
оп
-
ределена
следующей
зависимостью
:
( )
2
1
−
−
+
=
′
Ar
B
r
f
.
(2.19)
На
рис
. 2.13
показана
степень
соответствия
аналитической
зависимости
(2.17)
данным
результатов
натурных
измерений
,
выполненных
Б
.
А
.
Карто
-
Рис
. 2.13.
Сравнение
вида
функции
сни
-
жения
прочности
с
результатами
на
-
турных
измерений
: 1 –
аналитическая
зависимость
; 2 –
данные
Б
.
А
.
Картозии
[83]
; 3 –
данные
В
.
В
.
Виноградова
[6]
Р
АЗДЕЛ
2
48
зия
[120]
и
В
.
В
.
Виноградовым
[121].
Сравнение
выполнено
при
следующих
данных
: ,
2
=
L
r
1
,
0
=
ост
k
.
Как
следует
из
рис
. 2.13,
совпадение
достаточно
близ
-
кое
.
Аналогичную
картину
дают
измерения
сцепления
,
выполненные
В
.
В
.
Смирняковым
[122]
и
группой
авторов
[123].
Изменение
модуля
деформа
-
ции
в
окрестности
выработки
[124]
также
в
известной
мере
подчиняются
зави
-
симости
(2.16).
Таким
образом
,
функция
снижения
прочности
(2.16),
а
,
следовательно
,
и
функция
разрыхления
(2.19),
могут
быть
в
таком
виде
рекомендованы
для
ис
-
пользования
в
механике
горных
пород
при
решении
упругопластических
задач
с
бигармоническим
пластическим
состоянием
.
К
РИТЕРИИ
ПРОЧНОСТИ
В
ГЕОМЕХАНИКЕ
49
3.
КРИТЕРИИ
ПРОЧНОСТИ
В
ГЕОМЕХАНИКЕ
Предпосылка
о
малом
влиянии
промежуточного
по
величине
напряжения
на
разрушение
горных
пород
является
единственной
в
теории
Мора
,
которая
в
остальном
не
требует
проверки
,
поскольку
полностью
основывается
на
экспе
-
риментальных
данных
.
Однако
аналитический
критерий
прочности
получается
путем
подбора
соответствующего
эмпирического
выражения
и
его
применение
ограничивается
по
существу
той
областью
напряженных
состояний
,
для
кото
-
рой
выполнены
эксперименты
.
Таким
образом
,
экспериментальный
характер
обеспечивает
достаточно
точ
-
ное
описание
предельного
состояния
материала
,
эмпирический
же
подбор
усло
-
вия
прочности
не
дает
возможности
в
полной
мере
воспользоваться
этим
пре
-
имуществом
.
Поэтому
представляется
интересным
вывод
аналитического
крите
-
рия
теории
на
основе
анализа
процесса
разрушения
в
локальной
области
твердо
-
го
тела
,
который
может
быть
представлен
следующим
образом
.
Касательные
на
-
пряжения
,
величина
которых
достаточно
полно
характеризуется
интенсивностью
напряжений
σ
i
,
разрыхляют
материал
путем
сдвига
,
а
под
действием
нормальных
напряжений
,
уровень
которых
определяется
шаровым
тензором
I
,
происходит
раскрытие
трещин
.
Совместное
действие
двух
видов
разрушения
(
сдвиг
и
отрыв
)
приводит
,
как
было
уже
отмечено
выше
,
к
потере
прочности
материала
.
Подоб
-
ная
схема
разрушения
находится
в
хорошем
соответствии
с
дислокационной
и
дилатонной
теориями
возникновения
хрупкой
трещины
.
3.1.
Аналитический
критерий
прочности
Ряд
теорий
прочности
был
получен
на
основе
отмеченной
модели
разру
-
шения
твердых
тел
из
общей
функциональной
зависимости
[73],
объединяющей
в
одно
соотношение
интенсивность
напряжений
i
σ
и
компоненты
шарового
тензора
I
:
c
bI
aI
i
=
+
+
2
2
σ
,
(3.1)