ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1747
Скачиваний: 2
В
ЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЧНОСТИ ПОРОДНОГО МАССИВА С УЧЕТОМ МАКРОДЕФЕКТОВ
145
В разделе 4 показано, что чем меньше расстояние между трещинами, то
есть – чем плотнее трещиноватость, тем более несимметричное распределение
вероятностей имеет прочность структурных элементов. И если по результатам
лабораторных испытаний распределение прочности образцов можно было от-
нести к нормальному, то пересчет моментов распределения с учетом макроде-
фектов показал, что распределение прочности элементов генеральной совокуп-
ности гораздо ближе к логарифмически нормальному.
6.1.1. Границы применимости логнормального закона распределения,
его свойства и связь с другими распределениями
При нахождении параметров логарифмически нормального распределения
возможны следующие два случая:
1)
параметр
, характеризующий центр распределения – известен;
2)
параметр
, характеризующий центр распределения – неизвестен и
должен оцениваться на основе экспериментальных данных.
Поскольку
– нижний предел случайной величины, он часто бывает из-
вестен из физических соображений. Например, при анализе испытаний прочно-
сти горных пород на сжатие в грубом приближении можно считать, что
0
.
Логарифмически нормальное распределение описывает случайную вели-
чину, логарифм которой распределен по нормальному закону с параметрами
a
и
, т.е. плотность распределения случайной величины
x
z
ln
имеет вид:
2
2
2
exp
2
1
,
,
a
z
a
z
f
.
(6.6)
Параметры
a
и
2
являются здесь соответственно математическим ожида-
нием и дисперсией нормального распределения.
Если величина
неизвестна заранее и представляет существенный инте-
рес для целей исследования, возникает необходимость оценивания этого пара-
метра по экспериментальным данным.
Р
АЗДЕЛ
6
146
Математическое
ожидание
и
дисперсия
логнормального
распределения
связаны
с
параметрами
распределения
следующим
образом
:
(
)
( )
[
]
.
1
exp
2
exp
;
2
exp
2
2
2
1
−
×
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
σ
σ
σ
a
D
a
m
(6.7)
Используя
метод
моментов
,
заключающийся
в
приравнивании
теоретиче
-
ских
и
эмпирических
моментов
одного
порядка
[210],
получим
:
(
)
( )
[
]
( )
( )
[
]
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
⋅
−
=
−
⋅
+
=
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
.
2
exp
1
exp
;
1
exp
2
exp
;
2
exp
*
1
2
2
*
2
2
*
1
2
β
σ
σ
σ
σ
ε
σ
D
a
m
a
(6.8)
Здесь
символом
(*)
отмечены
эмпирические
моменты
распределения
:
сре
-
дняя
выборочная
,
выборочная
дисперсия
,
выборочный
коэффициент
асиммет
-
рии
.
Решения
уравнений
(6.8)
в
явном
виде
записываются
очень
громоздко
,
од
-
нако
можно
составить
на
ЭВМ
удобные
таблицы
,
при
помощи
которых
оценки
параметров
распределения
находятся
очень
просто
в
каждом
конкретном
слу
-
чае
.
Действительно
,
последнее
уравнение
из
(6.8)
зависит
только
от
одного
не
-
известного
–
σ
.
Путем
замены
переменной
( )
(
)
2
1
2
1
exp
−
=
σ
t
его
можно
при
-
вести
к
кубическому
уравнению
относительно
t
:
A
t
t
−
+
3
3
,
(6.9)
где
*
1
β
=
A
.
(6.10)
Это
уравнение
решается
в
явном
виде
:
3
2
3
2
1
2
2
1
2
2
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∗
A
A
A
A
t
.
(6.11)
В
ЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
ПРОЧНОСТИ
ПОРОДНОГО
МАССИВА
С
УЧЕТОМ
МАКРОДЕФЕКТОВ
147
Зная
корень
уравнения
∗
t
,
из
(6.11)
можно
определить
параметр
(
)
2
1
ln
t
+
=
σ
.
(6.12)
Параметр
смещения
определится
из
выражения
t
D
m
−
=
1
ε
.
(6.13)
Величина
а
запишется
(
)
2
ln
2
1
σ
ε
−
−
=
m
a
.
(6.14)
Для
упрощения
вычислений
,
связанных
с
оценкой
параметров
,
рассчитана
таблица
6.2
для
определения
σ
и
t
1
в
зависимости
от
величины
выборочной
асимметрии
в
интервале
(
)
200
...
05
,
0
∈
A
.
Из
(6.7)
следует
,
что
( )
2
2
exp
1
σ
η
=
+
.
(6.15)
По
таблице
5.4
рассчитаем
значения
относительной
вариации
,
соответст
-
вующих
значениям
асимметрии
(
табл
. 6.3).
Таблица
позволяет
по
значениям
асимметрии
А
определить
ту
верхнюю
границу
величины
изменчивости
η
,
при
которой
нижний
параметр
прочности
ε
не
принимает
отрицательного
значения
,
что
противоречит
физическому
смыслу
прочности
как
положительной
случайной
величины
.
Таким
образом
,
получим
границы
применимости
логнормального
распределения
по
коэффици
-
ентам
вариации
и
асимметрии
для
тех
случайных
величин
,
которые
из
физиче
-
ских
соображений
не
могут
принимать
отрицательных
значений
,
например
,
предел
прочности
на
одноосное
сжатие
.
Кривая
,
представляющая
логнормальную
модель
на
графике
Пирсона
,
вы
-
ходит
из
точки
для
нормального
распределения
.
Отсюда
следует
,
что
распреде
-
ление
Гаусса
с
точностью
до
моментов
4-
го
порядка
является
частным
случаем
Р
АЗДЕЛ
6
148
Таблица
6.2
Коэффициенты
для
оценки
параметров
логарифмически
нормального
распре
-
деления
по
большим
выборкам
Асиммет
-
рия
А
Параметр
формы
σ
Коэффициент
1/
t
Асимметрия
А
Параметр
формы
σ
Коэффици
-
ент
1/
t
0,05 0,017 59,88
1,05 0,328 2,97
0,10 0,031 30,03
1,10 0,342 2,84
0,15 0,050 20,04
1,15 0,355 2,73
0,20 0,066 15,04
1,20 0,368 2,62
0,25 0,083 12,06
1,25 0,381 2,53
0,30 0,100 10,01
1,30 0,394 2,44
0,35 0,116 8,61
1,35 0,407 3,26
0,40 0,132 7,55
1,40 0,419 2,28
0,45 0,148 6,72
1,45 0,431 2,21
0,50 0,163 6,07
1,50 0,443 2,15
0,55 0,180 5,52
1,55 0,455 2,09
0,60 0,195 5,07
1,60 0,466 2,03
0,65 0,211 4,69
1,65 0,478 1,97
0,70 0,227 4,36
1,70 0,489 1,92
0,75 0,241 4,09
1,75 0,500 1,88
0,80 0,256 3,84
1,80 0,510 1,84
0,85 0,271 3,62
1,85 0,521 1,79
0,90 0,286 3,43
1,90 0,531 1,75
0,95 0,300 3,26
1,95 0,541 1,71
1,00 0,314 3,11
2,00 0,551 1,68
логнормального
закона
,
а
при
вариации
η
<0,3
они
становятся
практически
идентичными
.
Точки
,
представляющие
распределения
минимальных
и
макси
-
мальных
значений
Гумбеля
,
лежат
на
кривой
,
представляющей
логнормальный
закон
.
Именно
поэтому
для
задач
,
в
которых
закон
распределения
экстремаль
-
ных
значений
четко
выражен
с
физической
точки
зрения
,
широкое
применение
находил
логнормальный
закон
распределения
[229, 237].
Это
следует
из
того
,
что
с
точностью
до
моментов
4-
го
порядка
распределение
Гумбеля
является
ча
-
стным
случаем
логнормального
закона
с
отрицательной
или
положительной
асимметрией
.
Кроме
того
,
логнормальный
закон
близок
к
экспоненциальному
,
что
позволяет
использовать
его
для
описания
величин
,
распределение
которых
отвечает
экспоненциальному
закону
.
В
области
асимметрии
А
=1,0
он
близок
к
В
ЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
ПРОЧНОСТИ
ПОРОДНОГО
МАССИВА
С
УЧЕТОМ
МАКРОДЕФЕКТОВ
149
обобщенному
логистическому
распределению
,
которое
в
последнее
время
ши
-
роко
используется
для
анализа
прочностных
свойств
материалов
,
и
,
в
частно
-
сти
,
углей
и
некоторых
типов
горных
пород
[90].
Таблица
6.3
Зависимость
коэффициентов
вариации
η
от
асимметрии
А
А
0,25
0,5
0,75
1,00
1,25
1,50
η
0,08
0,16
0,24
0,32
0,40
0,47
Логнормальное
распределение
для
одной
и
той
же
асимметрии
всегда
бо
-
лее
островершинно
,
чем
гамма
-
распределение
и
распределение
Вейбулла
.
При
одних
и
тех
же
коэффициентах
эксцесса
положительная
скошенность
этих
ти
-
пов
распределений
всегда
больше
,
чем
у
логнормального
[238].
Но
поскольку
кривые
,
представляющие
гамма
-
распределение
и
распределение
Вейбулла
,
близки
друг
к
другу
,
то
при
небольшом
объеме
статистического
материала
они
в
равной
степени
будут
аппроксимировать
эмпирические
гистограммы
и
прак
-
тически
будут
идентичны
[239].
Логнормальное
распределение
рекомендуется
применять
для
описания
умеренно
(0,25<
1
β
<0,75)
и
сильно
(0,75<
1
β
<1,25)
асимметричных
эмпириче
-
ских
распределений
прочности
горных
пород
с
коэффициентами
эксцесса
(2,5<
2
β
<3,5)
и
(3,5<
2
β
< 6,5)
соответственно
.
Логнормальный
закон
обладает
рядом
полезных
свойств
[240],
которые
играют
важную
роль
при
оценке
надежности
механических
конструкций
,
сис
-
тем
и
подземных
сооружений
.
Во
многих
задачах
надежности
приходится
рас
-
сматривать
отношение
положительных
случайных
величин
– «
обобщенных
»
значений
прочности
и
напряжений
в
условиях
моделей
«
нагрузка
-
прочность
»
и
применения
так
называемого
недифференцированного
коэффициента
запаса
прочности
.
Если
рассматриваемые
случайные
величины
имеют
двухпараметри
-
ческие
логнормальные
распределения
,
то
отношение
их
будет
распределено