ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1687
Скачиваний: 2
Р
АЗДЕЛ
6
140
ниям
несимметричное
распределение
,
более
адекватное
реальной
статистиче
-
ской
совокупности
.
Г
.
Т
.
Рубцом
[
180-183
]
изучено
129
эмпирических
распределений
прочно
-
стных
характеристик
осадочных
,
метаморфических
и
магматических
горных
пород
по
статистическим
данным
,
полученным
в
лаборатории
отдела
механики
горных
пород
ИГТМ
НАН
Украины
,
в
геологических
трестах
и
экспедициях
Министерств
геологии
и
угольной
промышленности
Украины
.
Анализ
распре
-
делений
позволил
осуществить
их
приближенную
классификацию
(
табл
. 6.1)
по
значениям
показателей
асимметрии
и
эксцесса
,
определяемых
по
выборке
в
со
-
ответствии
с
(5.20).
Таблица
6.1
Классификация
распределений
прочностных
характеристик
Асимметрия
Левоасимметричные
Симметричные
Правоасимметричные
Коэффи
-
циент
эксцесса
Сильно
(-1,25…-0,75)
Умеренно
(-0,75…-0,25)
(-0,25…0,25)
Умеренно
(0,25…0,75)
Сильно
(0,75…1,25)
Плоско
-
вершинные
(1,5…2,5)
--- ---
Равномерное
Параболическое
--- ---
Умеренно
-
вершинные
(2,5…3,5)
---
Вейбулла
Релея
Максвелла
Гамма
Гальтона
Вейбулла
Нормальное
Вейбулла
Релея
Максвелла
Гамма
Гальтона
---
Остро
-
вершинные
(3,5…6,5)
Вейбулла
Гамма
Гальтона
Берра
Бернштейна
Фреше
Гумбеля
Вейбулла
Гамма
Гальтона
Берра
Бернштейна
Логистическое
Вейбулла
Гамма
Гальтона
Берра
Бернштейна
Вейбулла
Гамма
Гальтона
Берра
Бернштейна
Фреше
Гумбеля
Обширные
испытания
по
определению
пределов
прочности
на
растяжение
образцов
горных
пород
полуправильной
формы
стальными
соосными
клиньями
для
осадочных
магнетических
и
метаморфических
пород
показали
,
что
наибо
-
лее
приемлемой
статистической
моделью
для
изменчивости
прочности
является
В
ЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
ПРОЧНОСТИ
ПОРОДНОГО
МАССИВА
С
УЧЕТОМ
МАКРОДЕФЕКТОВ
141
логарифмически
нормальное
распределение
[238].
Полученные
в
работе
[239]
данные
прочностных
испытаний
пород
Хибинских
месторождений
по
своим
статистическим
характеристикам
не
противоречат
модели
логнормального
рас
-
пределения
.
В
работе
[240]
приведены
данные
испытаний
прочности
1248
об
-
разцов
каменной
соли
.
Проверкой
было
установлено
,
что
среди
трех
предпола
-
гаемых
законов
(
нормальный
,
Пирсона
III
типа
,
логарифмически
нормальный
)
для
описания
изменчивости
прочности
каменной
соли
наиболее
подходящей
моделью
является
логарифмически
нормальный
закон
,
как
более
оправданный
физически
.
Кроме
того
,
проверка
по
критерию
Пирсона
показала
,
что
теорети
-
ческое
логнормальное
распределение
не
противоречит
эмпирическим
данным
с
высоким
уровнем
надежности
.
Проведенные
в
работе
[241]
исследования
изменчивости
физико
-
механических
свойств
горных
пород
более
45-
ти
полиметаллических
месторо
-
ждений
Казахстана
показали
,
что
основные
прочностные
характеристики
(
пре
-
дел
прочности
на
сжатие
,
растяжение
,
коэффициент
крепости
,
контактная
про
-
чность
и
сцепление
)
распределены
в
основном
по
закону
с
положительной
асимметрией
,
что
свидетельствует
о
существенном
влиянии
на
механизм
раз
-
рушения
неоднородностей
вещественного
состава
пород
,
их
структурных
осо
-
бенностей
и
закономерностей
распределения
веществ
в
пространстве
.
Наиболее
подходящими
статистическими
моделями
для
оценки
распределения
этих
ха
-
рактеристик
автор
предлагает
логарифмически
нормальный
закон
,
закон
Вей
-
булла
и
гамма
-
распределение
.
Логнормальное
распределение
вероятностей
является
довольно
широко
распространенной
статистической
моделью
описания
явлений
и
процессов
в
науках
о
Земле
[213].
Этому
распределению
следуют
содержание
элементов
и
минералов
в
изверженных
горных
породах
[242, 243],
размеры
частиц
осадоч
-
ных
пород
[244],
размеры
частиц
при
дроблении
твердых
тел
сосредоточенной
силой
[245, 246],
величины
предельных
разрушающих
напряжений
для
некото
-
рых
типов
пород
[240]
и
другие
горнотехнические
характеристики
.
Р
АЗДЕЛ
6
142
Исследование
законов
распределения
физических
свойств
горных
пород
,
выполненные
в
работе
[247],
привели
автора
к
выводу
об
универсальности
ло
-
гарифмически
нормального
закона
как
основного
статистического
закона
свойств
горных
пород
.
Автора
работы
[213]
распространенность
логнормальной
функции
распре
-
деления
в
исследованиях
многих
ученых
приводит
к
мысли
о
том
,
что
оно
явля
-
ется
следствием
некоторых
фундаментальных
статистико
-
термодинамических
законов
,
управляющих
распределением
веществ
.
Доказательство
этого
утвер
-
ждения
приводится
на
основе
рассмотрения
флуктуационной
модели
Больцма
-
на
.
Остановимся
на
свойствах
логнормального
распределения
,
свидетель
-
ствующих
о
его
предпочтительности
перед
другими
распределениями
.
Семей
-
ство
кривых
Джонсона
,
частным
случаем
которых
является
логарифмически
нормальное
распределение
,
получено
путем
преобразования
нормированной
нормально
распределенной
величины
.
Преимущество
такого
преобразования
заключается
в
том
,
что
оценки
процентилей
эмпирических
распределений
мож
-
но
получать
,
используя
таблицы
площадей
под
кривой
нормального
распреде
-
ления
,
имеющиеся
в
любой
справочной
литературе
.
Свойства
логарифмически
нормального
распределения
определяются
во
многом
свойствами
соответствующего
нормального
распределения
.
Кроме
то
-
го
,
это
распределение
имеет
важнейшую
особенность
:
распределение
произве
-
дения
n
независимых
положительных
случайных
величин
с
логарифмически
нормальными
распределениями
снова
подчиняется
этому
распределению
[248].
Для
него
имеет
место
аналог
центральной
предельной
теоремы
:
распределение
произведения
независимых
положительных
случайных
величин
при
некоторых
общих
условиях
стремится
в
пределе
при
неограниченном
возрастании
числа
сомножителей
к
логарифмически
нормальному
закону
.
Наличие
этих
свойств
предполагает
,
что
логарифмически
нормальное
рас
-
пределение
применяется
в
самых
различных
областях
–
от
экономики
[249]
до
В
ЕРОЯТНОСТНО
-
СТАТИСТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ
ПРОЧНОСТИ
ПОРОДНОГО
МАССИВА
С
УЧЕТОМ
МАКРОДЕФЕКТОВ
143
биологии
[250],
для
описания
процессов
,
в
которых
наблюдаемое
значение
со
-
ставляет
случайную
долю
предыдущего
значения
.
Применимость
логарифмически
нормального
распределения
для
описания
прочностных
свойств
материалов
может
быть
физически
обоснована
с
позиции
т
.
н
.
модели
Кэптейна
[251] –
пропорционального
эффекта
накопления
повреж
-
дений
в
процессе
нагружения
испытываемых
образцов
.
Пусть
значения
l
0
< l
1
<
l
2
<…. < l
n
представляют
собой
последовательность
размеров
трещины
,
обра
-
зующейся
при
нагружении
образца
,
на
различных
этапах
ее
роста
.
Когда
трещина
достигает
критического
значения
l
n
,
образец
разрушается
.
Будем
считать
,
что
увеличение
размера
трещины
на
каждом
шаге
l
i
– l
i-1
про
-
порционально
размеру
l
i-1
предыдущей
трещины
,
т
.
е
.
l
i
– l
i-1
=
δ
i
l
i-1,
i=0, 1, 2,…..n ,
где
l
0
–
первоначальная
величина
трещины
в
образце
(
нарушения
структуры
,
пустоты
,
породные
включения
и
т
.
п
.);
δ
1
,
δ
2
,…,
δ
n
–
независимые
положи
-
тельные
случайные
величины
.
Из
предыдущей
формулы
имеем
:
(
)(
) (
)
.
1
1
1
0
1
l
l
i
i
i
i
δ
δ
δ
+
⋅⋅
⋅
+
+
=
−
Распределение
окончательных
размеров
трещин
l
n
представляется
в
виде
произведения
независимых
положительных
случайных
величин
;
если
положить
в
предыдущем
равенстве
i=n,
то
получим
,
что
(
)(
) (
)
.
1
1
1
0
1
l
l
i
n
n
n
δ
δ
δ
+
⋅
⋅
⋅
+
+
=
−
(6.2)
Прологарифмировав
это
выражение
,
будем
иметь
(
)
(
)
(
)
).
ln(
1
ln
1
ln
1
ln
)
ln(
0
1
l
l
i
n
n
n
+
+
+
⋅
⋅
⋅
+
+
+
=
−
δ
δ
δ
(6.3)
При
больших
n,
согласно
центральной
предельной
теореме
,
величина
ln(l
n
)
имеет
нормальное
распределение
,
тогда
конечные
размеры
трещин
l
n
распреде
-
лены
логарифмически
нормально
с
плотностью
:
Р
АЗДЕЛ
6
144
(
)
0
,
ln
2
1
exp
2
1
)
(
2
2
≥
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
=
l
a
l
l
l
f
l
l
l
σ
π
σ
,
(6.4)
где
l
l
a
,
σ
–
параметры
логнормального
распределения
.
Положим
,
что
разру
-
шающее
напряжение
R
связано
в
первом
приближении
линейной
зависимостью
с
размером
трещины
,
предшествующей
разрушению
:
ε
ξ
+
=
l
R
,
где
ε
ξ
, –
постоянные
.
Выразим
l
через
R
и
подставим
в
выражение
для
плотности
распределения
.
Получим
:
(
)
0
,
)
ln(
2
1
exp
2
)
(
1
)
(
2
2
≥
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
=
R
a
R
R
R
f
R
R
R
ε
σ
π
ε
σ
, (6.5)
где
l
R
a
a
+
=
ξ
ln
и
l
R
σ
σ
=
.
Выражение
(6.5)
есть
плотность
распределения
логарифмически
нормаль
-
ного
закона
с
тремя
параметрами
R
a
,
R
σ
и
ε
.
Аналогичный
результат
будет
справедлив
,
если
в
качестве
параметров
{ }
i
l
рассматривать
накопленную
по
-
врежденность
,
развивающуюся
в
процессе
нагружения
материала
от
начального
ее
состояния
l
0
до
финального
l
n
.
Это
может
быть
,
например
,
количество
разру
-
шенных
связей
данной
прочности
в
материале
,
рассматриваемых
как
случайные
величины
,
и
другие
параметры
процесса
разрушения
,
представляемого
как
сто
-
хастический
процесс
деформирования
,
разрушения
связей
,
перераспределения
напряжений
на
уцелевшие
связи
и
окончательного
исчерпания
образцом
не
-
сущей
способности
.
Таким
образом
,
в
ситуациях
близких
к
изложенным
,
с
полным
основанием
можно
использовать
для
оценки
разброса
прочностных
характеристик
материа
-
лов
модель
логарифмически
нормального
распределения
,
как
наиболее
общую
в
теоретическом
плане
и
подтвержденную
эмпирически
.