ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1494
Скачиваний: 1
§
19.1.
Кратный интеграл и критерий интегрируемости
21
и функцию
f
:
E
→
R
,
f
(
x, y
) =
(
1
y
при
0
< y
6
1
,
0
при
y >
1
.
Ясно
,
что
f
неограничена на
E
,
но
∃
R
E
f
(
x
)
dx
= 0.
Однако если функция интегрируема на множестве
E
⊂
R
n
,
то она заведомо ограничена на внутренности
E
(int
E
) (
в част
-
ности
,
интегрируемая на открытом множестве функция огра
-
ничена на нем
).
Это утверждение вытекает из следующей те
-
оремы
,
в которой в качестве
E
∗
можно взять
,
например
,
E
∗
=
= int
E
.
Теорема
1.
Пусть множество
E
измеримо
,
E
∗
⊂
E
.
Пусть
для множества
E
∗
существует такая последовательность раз
-
биений
{
τ
k
}
∞
1
с
|
τ
k
| →
0
при
k
→ ∞
,
для которой все элементы
всех разбиений имеют положительную меру
.
Пусть функция
f
интегрируема на
E
.
Тогда она ограни
-
чена на
E
∗
.
В частности
,
она ограничена на
int
E
.
Д о к а з а т е л ь с т в о по существу такое же
,
как в одно
-
мерном случае для
E
=
E
∗
= [
a, b
].
Заметим лишь
,
что всякое
разбиение множества
E
∗
можно дополнить до разбиения мно
-
жества
E
той же мелкости
.
Упражнение
1.
Пусть измеримое множество
E
⊂
int
E
.
Доказать
,
что всякая интегрируемая на
E
функция ограничена
на
E
.
Напомним
,
что колебанием функции
f
на множестве
D
⊂
⊂
R
n
называется
w
(
f
;
D
) = sup
x,y
∈
D
|
f
(
x
)
−
f
(
y
)
|
= sup
D
f
−
inf
D
f.
Теорема
2 (
критерий интегрируемости
).
Для ин
-
тегрируемости функции
f
на измеримом множестве
E
⊂
R
n
необходимо и достаточно
,
чтобы для
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
ε
>
0 :
X
1
6
i
6
iτ
µEi>
0
w
i
(
f
)
µE
i
∀
τ
:
|
τ
|
< δ,
(1)
где
w
i
(
f
)
B
w
(
f
;
E
i
)
.
22
Глава
19.
Кратные интегралы
Д о к а з а т е л ь с т в о то же
,
что для случая
E
= [
a, b
].
Критерий интегрируемости кратко можно записать так
:
lim
|
τ
|→
0
X
1
6
i
6
iτ
µEi>
0
w
i
(
f
)
µE
i
= 0
,
(2)
вкладывая в понятие предела тот смысл
,
который выражен в
ε
,
δ
-
терминах в
(1).
Определение
5.
Пусть функция
f
ограничена на измери
-
мом множестве
E
⊂
R
n
и
τ
=
{
E
i
}
i
τ
1
—
разбиение
E
.
Пусть
M
i
B
sup
E
i
f,
m
i
B
inf
E
i
f.
Тогда суммы
S
τ
(
f
)
B
i
τ
X
i
=1
m
i
µE
i
,
S
τ
(
f
)
B
i
τ
X
i
=1
M
i
µE
i
называют соответственно
нижней
и
верхней интегральными
суммами Дарбу
функции
f
,
соответствующими разбиению
τ
.
Ясно
,
что для любой интегральной суммы Римана
S
τ
(
f
)
ограниченной функции
f
S
τ
(
f
)
6
S
τ
(
f
)
6
S
τ
(
f
)
.
Легко видеть
,
что
S
τ
(
f
)
−
S
τ
(
f
) =
i
τ
X
i
=1
w
i
(
f
)
µE
i
.
С помощью последнего равенства и критерия интегрируемо
-
сти
(19.2.1)
можно сформулировать критерий интегрируемо
-
сти в терминах сумм Дарбу
:
Теорема
3.
Для интегрируемости ограниченной функции
f
на измеримом множестве
E
⊂
R
n
необходимо и достаточно
,
чтобы
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
(
ε
)
>
0 :
S
τ
(
f
)
−
S
τ
(
f
)
< ε
∀
τ
:
|
τ
|
< δ.
§
19.1.
Кратный интеграл и критерий интегрируемости
23
Следствие
1.
Пусть ограниченная функция
f
интегриру
-
ема на множестве
E
⊂
R
n
.
Тогда
∀
ε >
0
∃
δ
=
δ
(
ε
)
>
0 : 0
6
Z
E
f
(
x
)
dx
−
S
τ
(
f
)
< ε,
0
6
S
τ
−
Z
E
f
(
x
)
dx < ε
∀
τ
:
|
τ
|
< δ.
Покажем
,
что
функция
,
интегрируемая на отрезке
[
a, b
]
в
смысле определения
14.1.2
,
интегрируема на этом отрезке и
в смысле определения
4 (
n
= 1,
E
= [
a, b
]),
так что эти два
различных определения интегрируемости на отрезке эквива
-
лентны
.
Пусть функция
f
интегрируема на отрезке
[
a, b
]
в смысле
определения
14.1.2.
Тогда она ограничена
(
по теореме
14.1.1)
и в силу критерия интегрируемости
14.2.1
для заданного
ε >
0
существует разбиение
{
[
x
j
−
1
, x
j
]
}
k
1
отрезка
[
a, b
]
такое
,
что
k
X
j
=1
w
(
f,
[
x
j
−
1
, x
j
])∆
x
j
< ε.
Пусть
τ
=
{
E
i
}
i
τ
1
—
произвольное разбиение отрезка
[
a, b
].
τ
0
—
совокупность тех множеств
E
i
∈
τ
,
которые имеют не
-
пустое пересечение больше
,
чем с одним отрезком
[
x
j
−
1
, x
j
].
Если
E
i
∈
τ
0
,
то по лемме
18.2.1
E
i
⊂
U
2
|
τ
|
(
E
0
),
где
E
0
=
{
x
i
}
k
0
,
µE
0
= 0.
Теперь имеем
,
считая
,
что
|
f
|
6
M
на
[
a, b
],
i
τ
X
i
=1
w
(
f, E
i
)
µE
i
=
X
i
:
E
i
∈
τ
\
τ
0
w
(
f, E
i
)
µE
i
+
X
i
:
E
i
∈
τ
0
w
(
f, E
i
)
µE
i
6
6
k
X
j
=1
w
(
f,
[
x
j
−
1
, x
j
])∆
x
j
+ 2
M µ
∗
U
2
|
τ
|
(
E
0
)
< ε
+ 2
M ,
причем последняя оценка имеет место для всех
τ
с достаточно
малой мелкостью
|
τ
|
в силу леммы
18.2.3.
В силу критерия
интегрируемости
(
теорема
2)
функция
f
интегрируема на
[
a, b
]
в смысле определения
4.
Установим интегрируемость непрерывных функций
.
24
Глава
19.
Кратные интегралы
Теорема
4.
Пусть функция
f
непрерывна на измеримом
компакте
E
⊂
R
n
.
Тогда
f
интегрируема на
E
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Функция
f
в силу теорем Вейер
-
штрасса и Кантора ограничена и равномерно непрерывна на
E
.
Тогда ее модуль непрерывности на
E w
(
δ, f
)
→
0
при
δ
→
→
0.
Следовательно
,
i
τ
X
i
=1
w
i
(
f
)
µE
i
6
i
τ
X
i
=1
w
(
|
τ
|
, f
)
µE
i
=
w
(
|
τ
|
, f
)
µE
→
0
при
|
τ
| →
0
.
В силу критерия интегрируемости
f
интегрируема на
E
.
Упражнение
2.
Обобщить теорему
3
на случай ограни
-
ченных на измеримом компакте функций и непрерывных почти
в каждой точке компакта
(
т
.
е
.
в каждой точке компакта
,
за
исключением
,
быть может
,
точек множества меры нуль
).
У к а з а н и е
.
Воспользоваться леммой
18.2.3.
Показать
,
что функция
,
непрерывная и ограниченная на
открытом измеримом множестве
,
интегрируема на нем
.
§
19.2.
Свойства кратного интеграла
1
◦
.
Пусть
E
—
измеримое множество
.
Тогда
Z
E
dx
B
Z
E
1
dx
=
µE.
2
◦
.
Пусть
E
и
E
∗
—
измеримые множества
,
E
∗
⊂
E
,
и
функция
f
интегрируема на
E
.
Тогда она интегрируема и на
E
∗
.
Пусть
τ
∗
=
{
E
i
}
i
τ
∗
1
—
разбиение множества
E
мелкости
|
τ
∗
|
.
Дополним его до разбиения
τ
=
{
E
i
}
i
τ
1
множества
E
мел
-
кости
|
τ
|
=
|
τ
∗
|
.
Это можно сделать
,
присоединив к
{
E
i
}
i
τ
∗
1
все
элементы разбиения множества
E
\
E
∗
не превосходящей
|
τ
∗
|
мелкости
.
Тогда
X
1
6
i
6
iτ
∗
µEi>
0
w
i
(
f
)
µE
i
6
X
1
6
i
6
iτ
µEi>
0
w
i
(
f
)
µE
i
.
В силу интегрируемости
f
на
E
и критерия интегрируе
-
мости правая часть последнего неравенства стремится к нулю
при
|
τ
| →
0.
Следовательно
,
и левая часть стремится к нулю
§
19.2.
Свойства кратного интеграла
25
при
|
τ
∗
| →
0.
В силу критерия интегрируемости
f
интегриру
-
ема на
E
∗
.
3
◦
. (
Аддитивность интеграла по множествам
).
Пусть из
-
меримые множества
F
,
G
⊂
R
n
,
F
∩
G
=
∅
,
E
=
F
∪
G
.
Пусть
f
:
E
→
R
ограничена и интегрируема на
F
и на
G
.
Тогда
f
интегрируема на
E
и
Z
E
f
(
x
)
dx
=
Z
F
f
(
x
)
dx
+
Z
G
f
(
x
)
dx.
Д о к а з а т е л ь с т в о
.
Пусть
τ
=
{
E
i
}
,
τ
0
—
множество
тех
E
i
∈
τ
,
для которых
E
i
∩
F
6
=
∅
,
E
i
∩
G
6
=
∅
,
τ
(
F
) =
{
E
i
∩
F
:
E
i
∈
τ, E
i
∩
F
6
=
∅
}
,
τ
(
G
) =
{
E
i
∩
G
:
E
i
∈
τ, E
i
∩
G
6
=
∅
}
.
Пусть
S
τ
(
f
) =
P
f
(
x
(
i
)
)
µE
i
—
произвольная интегральная
сумма Римана для функции
f
и разбиения
τ
множества
E
с
отмеченными точками
x
(
i
)
,
i
= 1,
. . . ,
i
τ
.
Пусть
S
τ
(
F
)
(
f
),
S
τ
(
G
)
(
f
) —
интегральные суммы для сужений функции
f
со
-
ответственно на множества
F
и
G
,
построенные по разбиениям
τ
(
F
)
и
τ
(
G
)
и
(
по возможности
)
по тем же отмеченным точ
-
кам
,
что и
S
τ
(
f
).
Тогда
,
считая
,
что
|
f
(
x
)
|
6
M
при
x
∈
E
,
имеем
S
τ
(
f
)
−
S
τ
(
F
)
(
f
)
−
S
τ
(
G
)
(
f
)
6
2
M
X
E
i
∈
τ
0
µE
i
.
(1)
Заметим
,
что если
E
i
∈
τ
0
,
то
E
i
⊂
U
2
|
τ
|
(
∂F
)
.
(2)
В самом деле
,
пусть
x
∈
E
i
∩
F
,
y
∈
E
i
∩
G
.
Тогда на отрезке
,
соединяющем точки
x
и
y
,
по лемме
18.2.1
найдется точка
z
∈
∈
∂F
.
Тогда
|
x
−
z
|
6
|
x
−
y
|
6
|
τ
|
.
Поскольку
µ∂F
= 0
в силу критерия измеримости
,
из
(2)
и
леммы
18.2.3
следует
,
что правая часть
(1)
стремится к нулю
при
|
τ
| →
0.
Тогда и левая часть
(1)
стремится к нулю
.
По
-
скольку в ней
S
τ
(
F
)
(
f
)
→
Z
F
f
(
x
)
dx,
S
τ
(
G
)
(
f
)
→
Z
G
f
(
x
)
dx,