ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1496
Скачиваний: 1
186
Глава
26.
Интегралы
,
зависящие от параметра
Интеграл
(10)
рассматриваем как несобственный с двумя
особенностями
:
на нижнем и на верхнем пределах
.
Представим
Γ(
s
)
в виде
Γ(
s
) =
Z
1
0
x
s
−
1
e
−
x
dx
+
Z
+
∞
1
x
s
−
1
e
−
x
dx.
(11)
Легко видеть
,
что первый интеграл сходится при
s >
0
и
расходится при
s
6
0,
а второй сходится при
∀
s >
0.
Следова
-
тельно
,
интеграл
(10)
сходится при
∀
s >
0.
Интеграл
(10)
сходится равномерно на
∀
[
s
0
, s
1
]
⊂
(0
,
+
∞
),
т
.
к
.
на таком отрезке равномерно сходятся оба инте
-
грала в
(11),
что устанавливается с помощью признака Вей
-
ерштрасса с мажорантами соответственно
ϕ
0
(
x
) =
x
s
0
−
1
,
ϕ
1
(
x
) =
x
s
1
−
1
e
−
x
.
Следовательно
,
гамма
-
функция
Γ(
s
)
непре
-
рывна при
s >
0
по теореме
4.
С помощью интегрирования по частям имеем при
s >
0
Γ(
s
+1) =
Z
+
∞
0
x
s
e
−
x
dx
=
−
x
s
e
−
x
+
∞
0
+
s
Z
+
∞
0
x
s
−
1
e
−
x
dx
=
s
Γ(
s
)
.
Последовательно применяя полученное соотношение при
s >
0
имеем
Γ(
s
+
n
) = (
s
+
n
−
1)
. . .
(
s
+ 1)
s
Γ(
s
)
.
Из этой формулы видно
,
что по значениям гамма
-
функции на
полуинтервале
(0
,
1]
можно вычислить ее значения для любого
аргумента
s >
1.
Поскольку
Γ(1) = 1,
из последнего соотношения получаем
,
что
Γ(
n
+ 1) =
n
!
,
n
∈
N
,
т
.
е
.
что функция
Γ(
s
+ 1)
является продолжением функции
s
!
с множества целых неотрицательных чисел
n
на полуось
{
s
:
s >
−
1
}
.
Пример
4.
(
Бета
-
функция Эйлера
).
B
(
p, q
) =
Z
1
0
x
p
−
1
(1
−
x
)
q
−
1
dx,
(12)
зависящая от двух параметров
p
,
q
.
Интеграл
(12)
рассматри
-
ваем как несобственный с двумя особенностями
:
на нижнем и
§
26.3.
Несобственные интегралы
,
зависящие от параметра
187
на верхнем пределах интегрирования
.
Представим его поэтому
в виде
B
(
p, q
) =
Z
1
/
2
0
x
p
−
1
(1
−
x
)
q
−
1
dx
+
Z
1
1
/
2
x
p
−
1
(1
−
x
)
q
−
1
dx.
(13)
Первый из интегралов в
(13)
сходится при
p >
0
и расхо
-
дится при
p
6
0,
а второй сходится при
q >
0
и расходится при
q
6
0.
Следовательно
,
бета
-
функция
B
(
p, q
) (12)
определена на
первом квадранте
(0
,
+
∞
)
×
(0
,
+
∞
).
Интеграл
B
(
p, q
) (12)
равномерно сходится на
{
(
p, q
) :
p
>
p
0
,
q
>
q
0
}
при
p
0
, q
0
>
1
,
т
.
к
.
на этом множестве равномерно сходится каждый из инте
-
гралов
(13),
что легко установить
,
применив признак Вейер
-
штрасса с мажорантой
ϕ
(
x
) =
x
p
0
−
1
(1
−
x
)
q
0
−
1
.
Следовательно
,
по теореме
4
бета
-
функция
B
(
p, q
)
непрерывна на первом ква
-
дранте
:
{
(
p, q
) :
p >
0
,
q >
0
}
= (0
,
+
∞
)
×
(0
,
+
∞
)
.
Функции
B
(
p, q
)
и
Γ(
s
)
связаны между собой формулой Эй
-
лера
:
B
(
p, q
) =
Γ(
p
)Γ(
q
)
Γ(
p
+
q
)
,
p >
0
,
q >
0
.
Для функций
Γ(
s
),
B
(
p, q
)
составлены таблицы значений
.
Они используются при численном вычислении интегралов
,
сво
-
дящихся к этим функциям
.
Глава
27
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§
27.1.
Интеграл Фурье
Напомним определение
14.8.2.
При
−∞
6
a < b
6
+
∞
функция
f
называется
абсолютно
интегрируемой
на интервале
(
a, b
)
,
если существует конечное
число точек
{
c
i
}
,
a
=
c
0
< c
1
< . . . < c
k
=
b
таких
,
что
1.
◦
функция
f
интегрируема по Риману на любом отрезке
[
α, β
]
⊂
(
a, b
)
,
не содержащем точек
c
i
;
2.
◦
сходится несобственный интеграл
R
b
a
|
f
(
x
)
|
dx
,
понима
-
емый как несобственный интеграл с особенностями в
точках
c
0
,
c
1
, . . . ,
c
k
.
Множество всех абсолютно интегрируемых на
(
a, b
)
функ
-
ций образует полунормированное пространство
RL
((
a, b
))
с по
-
лунормой
R
b
a
|
f
(
x
)
|
dx
,
см
.
пример
25.2.5.
Лемма
1.
Пусть функция
f
абсолютно интегрируема на
(
a, b
)
,
функция
ϕ
непрерывна и ограничена на
(
a, b
)
×
[
c, d
]
.
Тогда
1.
◦
несобственный интеграл
I
(
y
) =
Z
b
a
f
(
x
)
ϕ
(
x, y
)
dx
непрерывен на
[
c, d
]
,
2.
◦
Z
d
c
Z
b
a
f
(
x
)
ϕ
(
x, y
)
dx dy
=
Z
b
a
Z
d
c
f
(
x
)
ϕ
(
x, y
)
dy dx
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
. 1
◦
.
Пусть
|
ϕ
(
x, y
)
|
6
M
при
(
x, y
)
∈
(
a, b
)
×
[
c, d
].
Пусть
ε >
0,
a < ξ < η < b
,
причем
ξ
=
ξ
(
ε
)
и
η
=
η
(
ε
)
таковы
,
что
Z
ξ
a
|
f
(
x
)
|
dx < ε,
Z
b
η
|
f
(
x
)
|
dx < ε.
§
27.1.
Интеграл Фурье
189
Тогда при
y
,
y
×
∆
y
∈
[
c, d
]
∆
I
B
I
(
y
+ ∆
y
)
−
I
(
y
) =
=
Z
ξ
a
+
Z
η
ξ
+
Z
b
η
f
(
x
)[
ϕ
(
x, y
+ ∆
y
)
−
ϕ
(
x, y
)]
dx,
|
∆
I
|
6
2
M ε
+
ω
(∆
y, ϕ,
Π)
Z
b
a
|
f
(
x
)
|
dx
+ 2
M ε,
(1)
где
ω
(
δ, ϕ,
Π) —
модуль непрерывности функции
ϕ
на замкну
-
том прямоугольнике
Π = [
ξ, η
]
×
[
c, d
].
Поскольку
ϕ
равномерно непрерывна на
Π,
то можно ука
-
зать
δ
=
δ
(
ε
)
>
0
такое
,
что
ω
(
δ
ε
, ϕ,
Π)
< ε
.
Тогда из
(1)
получаем
,
что
|
∆
I
|
6
4
M ε
+
ε
Z
b
a
|
f
(
x
)
|
dx.
Следовательно
,
интеграл
I
(
y
)
непрерывен на
[
c, d
].
2
◦
.
При
ε >
0
обозначим через
f
ε
: (
a, b
)
→
R
непрерывную
финитную
(
т
.
е
.
равную нулю вне некоторого отрезка
[
α, β
])
функцию такую
,
что
Z
b
a
|
f
(
x
)
−
f
ε
(
x
)
|
dx < ε.
Для каждого
ε >
0
такая функция
f
ε
существует в силу
следствия
14.8.1.
Тогда
Z
d
c
Z
b
a
f
ε
(
x
)
ϕ
(
x, y
)
dx dy
=
Z
b
a
f
ε
(
x
)
Z
d
c
ϕ
(
x, y
)
dy dx.
(2)
Переходя в этом равенстве к пределу при
ε
→
0,
получим
утверждение
2
◦
теоремы
.
Предельный переход в левой части равенства
(2)
обосновы
-
вается с помощью оценок
:
Z
d
c
Z
b
a
[
f
(
x
)
−
f
ε
(
x
)]
ϕ
(
x, y
)
dx dy
6
6
M
(
d
−
c
)
Z
b
a
|
f
(
x
)
−
f
ε
(
x
)
|
dx
6
M
(
d
−
c
)
ε.
190
Глава
27.
Интеграл Фурье и преобразование Фурье
Обоснование предельного перехода в правой части
(2)
ана
-
логично
.
Определение
1.
Пусть
f
абсолютно интегрируема на
(
−∞
,
+
∞
).
Интегралом Фурье
функции
f
называется инте
-
грал
S
(
x
) =
S
(
x, f
)
B
Z
+
∞
0
[
a
(
y
) cos
xy
+
b
(
y
) sin
xy
]
dy,
(3)
где
(
a
(
y
)
b
(
y
)
)
=
1
π
Z
+
∞
−∞
f
(
t
)
(
cos
yt
sin
yt
)
dt.
(4)
Лемма
2.
Пусть
f
абсолютно интегрируема на
(
−∞
,
+
∞
)
.
Тогда функции
a
(
y
)
,
b
(
y
)
из
(4)
1.
◦
непрерывны на
(
−∞
,
+
∞
)
;
2.
◦
a
(
y
)
,
b
(
y
)
→
0
при
y
→ ±∞
.
Д о к а з а т е л ь с т в о
следует из леммы
1
и тео
-
ремы
24.1.1
Римана об осцилляции
.
Из леммы
2
следует
,
что интеграл
S
(
x
)
из
(3)
является
несобственным интегралом с одной особенностью на верхнем
пределе
.
Как видим
,
правая часть
(3)
является аналогом ряда Фурье
,
а
a
(
y
),
b
(
y
)
из
(4) —
аналогами коэффициентов Фурье
.
Перепишем
S
(
x, f
)
в виде
S
(
x
) =
1
π
Z
+
∞
0
Z
+
∞
−∞
f
(
t
)(cos
ty
cos
xy
+ sin
ty
sin
xy
)
dt dy
=
=
1
π
Z
∞
0
Z
+
∞
−∞
f
(
t
) cos
y
(
x
−
t
)
dt dy.
Изучим сходимость интеграла Фурье
(
т
.
е
.
внешнего инте
-
грала в правой части последнего равенства
).
Рассмотрим для
этого интеграл
S
η
(
x
)
B
1
π
Z
η
0
Z
+
∞
−∞
f
(
t
) cos
y
(
x
−
t
)
dt dy,
η >
0
,
(
являющийся аналогом суммы Фурье
).