ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 714
Скачиваний: 1
11
квадратичная
абсолютная
погрешность
:
(
)
(
)
.
1
1
2
−
Δ
±
=
Δ
∑
=
n
n
N
N
n
i
i
квадр
(4)
Здесь
n –
число
измерений
,
а
∑
(
∆
N
i
)
2
есть
сумма
квадратов
абсолютных
ошибок
отдельных
измерений
.
Погрешности
косвенных
измерений
В
большинстве
случаев
для
получения
результата
надо
произвести
ряд
прямых
измерений
других
величин
,
связанных
между
собой
опреде
-
ленными
формулами
.
Зная
погрешности
,
допущенные
при
измерениях
этих
величин
,
входящих
в
формулу
для
определения
искомого
результата
,
необходимо
определить
и
погрешность
самого
результата
.
Для
нахождения
абсолютных
и
относительных
погрешностей
кос
-
венных
измерений
удобно
пользоваться
следующими
правилами
:
1)
средние
абсолютные
ошибки
можно
находить
по
правилам
дифференцирования
,
заменив
значок
дифференцирования
(d)
значком
ошибки
(
Δ
).
Знаки
(+
или
–)
при
этом
надо
выбирать
так
,
чтобы
абсо
-
лютная
ошибка
была
max;
2)
относительную
погрешность
результата
можно
найти
сле
-
дующим
образом
:
логарифмируем
исходное
выражение
,
а
затем
его
дифференцируем
,
заменяя
в
конечном
итоге
значки
d
на
значок
Δ
.
Знаки
+
и
–
опять
-
таки
выбираем
таким
образом
,
чтобы
абсолютная
величина
относительной
ошибки
была
бы
максимальной
.
Проиллюстрируем
нахождение
Δ
N
и
Е
косвенных
измерений
.
1.
Измеряемая
величина
находится
по
формуле
3
2
2
c
ab
N
=
.
Величины
а
, b
и
c
находятся
прямыми
измерениями
,
и
для
них
рассчитываются
Δа
,
Δ
b,
Δ
c.
Необходимо
найти
абсолютную
и
относительную
ошибки
величины
N.
Найдем
Δ
N.
Для
этого
вначале
продифференцируем
все
выраже
-
ние
для
N:
2
3
3
2
3
2
3
2
3 2
6
2
2
4
3
3
2
( )
(2
)
2
3
(2
2
2
)
( )
6
2
4
;
ab d c
c d ab
ab c dc c
da b
a
bdb
dN
c
c
ab
b
ab
dc
da
db
c
c
c
+
+
⋅
+
⋅
=
=
=
=
+
+
затем
значки
дифференцирования
заменяем
на
Δ
и
получаем
абсолютную
ошибку
Δ
N:
.
6
4
2
4
3
3
2
c
c
ab
b
c
ab
a
c
b
Δ
+
Δ
+
Δ
=
ΔΝ
Теперь
найдем
Е
,
исходя
из
значения
Δ
N.
12
.
3
2
2
6
2
4
2
2
3
2
4
2
2
3
3
2
3
3
2
c
c
b
b
a
a
c
ab
c
c
ab
ab
c
bc
ab
ab
c
ac
b
Δ
+
Δ
+
Δ
=
Δ
+
Δ
+
⋅
Δ
=
Ν
ΔΝ
=
Ε
Из
этого
примера
видно
,
что
здесь
проще
было
бы
найти
относи
-
тельную
ошибку
,
а
затем
абсолютную
.
Скажем
сразу
,
что
во
всех
тех
слу
-
чаях
,
когда
искомая
величина
есть
произведение
и
дробь
величин
,
изме
-
ренных
непосредственно
на
опыте
,
удобнее
и
легче
находить
в
первую
очередь
относительную
погрешность
,
а
затем
абсолютную
.
В
самом
деле
:
,
2
3
2
c
ab
N
=
ln
N =
ln
2 +
ln
a + 2
ln
b – 3
ln
c
,
после
дифференцирования
,
замены
значков
дифференцирования
на
Δ
и
изменения
знаков
так
,
чтобы
ошибка
была
максимальная
,
получаем
c
c
b
b
a
a
E
Δ
+
Δ
+
Δ
=
Ν
ΔΝ
=
3
2
.
А
теперь
,
если
нужно
,
можно
найти
и
Δ
N,
зная
,
что
Δ
N =
Е
· N.
1.3.
ИЗУЧЕНИЕ
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ
ПРИБОРОВ
Нониусы
Часто
при
измерении
длины
какого
-
либо
тела
длина
его
не
уклады
-
вается
в
целое
число
делений
масштаба
.
Для
того
чтобы
можно
было
по
-
ручиться
при
линейных
измерениях
и
за
десятые
доли
масштаба
(
а
иногда
и
за
сотые
),
пользуются
нониусом
.
Нониус
–
это
дополнительная
шкала
к
основному
масштабу
(
линей
-
ному
или
круговому
),
позволяющая
повысить
точность
измерения
с
дан
-
ным
масштабом
в
10, 20
и
более
число
раз
.
Нониусы
бывают
линейные
и
круговые
,
прямые
и
обратные
,
нерас
-
тянутые
и
растянутые
.
Линейный
нониус
пред
-
ставляет
собой
небольшую
ли
-
нейку
(
шкалу
),
скользящую
вдоль
большей
масштабной
линейки
(
рис
.2).
Как
видно
из
рис
.1, 10
де
-
лений
нониуса
соответствуют
9
делениям
основного
масштаба
.
В
случае
прямого
нерастянутого
нониуса
,
который
мы
рассматриваем
,
од
-
но
деление
нониуса
короче
одного
деления
масштаба
на
величину
Δ
,
кото
-
рая
называется
точностью
нониуса
.
Точность
нониуса
Δ
является
разно
-
стью
длин
делений
основного
масштаба
и
нониуса
и
легко
может
быть
оп
-
ределена
,
если
мы
знаем
число
делений
нониуса
n
и
длину
наименьшего
деления
масштаба
α
m
m
n
α
1
=
Δ
.
0
10
20
30
Рис
. 2
13
Длина
отрезка
,
измеряемая
при
помощи
нониуса
,
будет
равна
числу
целых
делений
масштаба
до
нуля
нониуса
плюс
точность
нониуса
,
умно
-
женная
на
номер
его
деления
,
совпадающего
с
некоторым
де
-
лением
масштаба
.
На
рис
. 3
длина
тела
равна
13,3,
так
как
совпадает
с
делениями
мас
-
штаба
3-
е
деление
нониуса
.
Погрешность
,
которая
может
возникнуть
при
таком
методе
отсчета
,
будет
обуславливаться
неточным
совпадение
деления
но
-
ниуса
с
одним
из
делений
масштаба
,
и
величина
ее
не
будет
превышать
,
очевидно
,
Δ
2
1
.
Таким
образом
,
можно
сказать
,
что
погрешность
нониуса
равна
половине
его
точности
.
Чтобы
легче
было
заметить
,
какое
деление
нониуса
совпадает
с
ка
-
ким
-
либо
делением
основной
шкалы
,
на
практике
делают
нониусы
растя
-
нутыми
.
Прямой
растянутый
нониус
получится
,
если
длина
одного
деле
-
ния
нониуса
будет
короче
не
одного
наименьшего
деления
масштаба
(
как
мы
полагали
до
сих
пор
),
а
двух
,
трех
и
т
.
д
.
наименьших
делений
его
.
Точность
нониуса
в
этом
случае
определяется
по
той
же
формуле
.
Круговой
нониус
в
принципе
ничем
не
отличается
от
линейного
.
Он
представляет
собой
небольшую
дуговую
линейку
,
скользящую
вдоль
круга
лимба
,
разделенного
на
градусы
или
на
доли
градуса
(
рис
. 4).
Точ
-
ность
кругового
нониуса
обычно
выражается
в
минутах
.
Часто
круговые
нониусы
в
приборах
,
в
которых
не
-
обходимо
отсчитать
углы
в
обоих
направлениях
(
по
часовой
стрелке
или
против
нее
),
состоят
из
двух
совершенно
одинаковых
шкал
,
рас
-
положенных
по
обе
стороны
от
нуля
.
Очень
часто
в
круговых
но
-
ниусах
α
м
= 0,5
о
= 30
минут
,
а
n
рав
-
но
15
или
30,
в
таком
случае
точ
-
ность
нониуса
,
соответственно
равна
двум
минутам
или
одной
минуте
.
В
лабораторной
практике
для
измерения
длин
,
площадей
и
объемов
наиболее
распространенными
приборами
являются
штангенциркуль
и
микрометр
.
Рис
.
4
170
0
170
10 20 30
175
180
185
0 10 20 30
Рис
. 3
0 5 10
14
Штангенциркуль
Штангенциркуль
(
рис
. 5)
служит
для
линейных
измерений
,
не
тре
-
бующих
высокой
точности
.
Отсчетным
приспособлением
у
всех
конструкций
штангенциркулей
служит
основная
масштабная
шкала
штанги
1,
цена
деления
которой
1
мм
,
и
линейный
нониус
на
подвижной
рамке
2.
Он
представляет
собой
не
-
большую
линейку
,
скользящую
вдоль
основного
масштаба
.
На
этой
ли
-
нейке
нанесена
маленькая
шкала
,
состоящая
из
m
делений
.
При
нулевом
показании
инструмента
нуль
нониуса
совпадает
с
ну
-
левым
штрихом
основной
шкалы
.
При
измерении
подвижная
рамка
с
но
-
ниусом
смещается
и
предмет
зажимается
губками
3
штангенциркуля
.
Так
как
цена
деления
нониуса
не
равна
цене
деления
масштаба
,
то
обязательно
найдется
на
нем
такое
деление
,
которое
будет
ближе
всего
подходить
к
ка
-
кому
-
то
делению
масштаба
.
Правило
отсчета
можно
сформулировать
следующим
образом
:
длина
предмета
,
измеряемого
при
помощи
нониуса
,
равна
числу
целых
делений
масштаба
плюс
точность
нониуса
,
умноженная
на
номер
деления
нониуса
,
совпадающего
с
некоторым
делением
масштаба
.
В
лабораторной
практике
обычно
используются
штангенциркули
с
точностью
0,1
и
0,05
мм
,
которая
указывается
на
приборе
.
Для
измерения
внутренних
размеров
тел
служат
обычно
верхние
за
-
остренные
ножки
4.
Если
же
штангенциркуль
не
имеет
верхних
ножек
,
то
измерение
внутренних
размеров
производится
теми
же
ножками
,
которые
служат
для
обмера
наружных
размеров
тела
;
в
этом
случае
необходимо
учитывать
толщину
ножек
штангенциркуля
,
которая
указывается
на
самом
инструменте
.
Некоторые
штангенциркули
снабжаются
линейкой
5,
слу
-
жащей
для
измерения
глубин
.
В
лабораторной
практике
широко
используются
также
круговые
но
-
ниусы
в
различных
приборах
для
измерения
углов
.
0
1
2
0.1
мм
15
1
4
2
3
5
Рис
. 5
15
Микрометр
Микрометр
(
рис
. 6)
служит
для
измерений
диаметров
проволок
,
не
-
больших
толщин
пластинок
и
т
.
п
.
Он
имеет
вид
тисков
и
при
измерении
пред
-
мет
зажимается
между
неподвижным
стержнем
1
и
подвижным
торцом
микрометрического
винта
2.
Микровинт
вращают
,
держась
за
трещетку
3.
На
стержне
микровинта
ук
-
реплен
барабан
4,
с
нане
-
сенной
на
нем
шкалой
,
имеющей
50
делений
.
Отсчет
ведется
по
горизонтальной
шкале
5
и
по
шкале
барабана
.
Ход
винта
(
поступательное
перемещение
барабана
и
стержня
2
при
совершении
одного
оборота
винта
)
равен
0,5
мм
.
Это
означает
,
что
цена
деле
-
ния
барабана
0,01
мм
.
Следует
обратить
внимание
,
что
выше
основной
мил
-
лиметровой
шкалы
имеется
дополнительная
линейная
шкала
,
смещенная
от
-
носительно
основной
на
0,5
мм
.
Прежде
чем
пользоваться
микрометром
,
необходимо
убедиться
,
что
микрометр
исправлен
–
нули
его
шкал
совпадают
.
Измеряемый
предмет
помещают
между
стержнем
1
и
винтом
2.
Затем
,
вращая
винт
за
головку
3,
доводят
его
до
соприкосновения
с
предметом
.
Момент
зажатия
фиксируется
треском
.
После
этого
треска
дальнейшее
вращение
головки
3
бесполезно
,
а
барабана
4
недопустимо
.
Отсчет
произ
-
водят
по
шкалам
:
миллиметры
по
основной
линейной
шкале
,
доли
милли
-
метра
по
шкале
на
барабане
.
При
отсчете
необходимо
учитывать
,
появи
-
лась
ли
половинка
деления
верхней
шкалы
после
последнего
перед
краем
барабана
деления
нижней
основной
шкалы
или
нет
.
На
рис
. 7
крупным
планом
показаны
шкалы
микрометра
.
Как
видно
из
рис
. 7 (
слева
),
когда
край
барабана
перешел
нижнюю
риску
,
соответствующую
6,00
мм
,
а
риска
верхней
шкалы
не
видна
,
то
длина
измеряемого
предмета
равна
6,15
мм
.
Когда
же
край
барабана
перешел
верхнюю
риску
(
рис
. 7,
справа
),
соответ
-
ствующую
6,50
мм
,
то
длина
измеряемого
предмета
равна
6,65
мм
.
Не
-
трудно
понять
,
что
цена
деления
барабана
,
равная
0,01
мм
,
и
является
точ
-
ностью
прибора
,
которая
указывается
на
микрометре
.
1 2
5
4 3
0
0.01
мм
0 –
Рис
.6
0 5
20
15
10
0 5
20
15
10
Рис
. 7