ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 715
Скачиваний: 1
16
1.4.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЛОТНОСТИ
ТВЕРДЫХ
ТЕЛ
,
ИМЕЮЩИХ
ПРАВИЛЬНУЮ
ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ
ФОРМУ
Приборы
и
принадлежности
:
исследуемые
тела
,
штангенциркуль
или
микрометр
,
технические
весы
с
разновесами
.
Плотностью
вещества
ρ
называется
физическая
величина
,
измеряе
-
мая
отношением
массы
вещества
к
его
объему
,
т
.
е
.
,
V
m
=
ρ
где
m
–
масса
вещества
,
V
–
его
объем
.
Для
определения
ρ
надо
знать
эти
две
величины
.
Масса
твердого
тела
находится
при
помощи
рычажных
весов
.
Объем
тела
правильной
геометри
-
ческой
формы
вычисляется
по
формулам
геометрии
.
Измерение
линейных
размеров
тела
производится
при
помощи
штангенциркуля
или
микрометра
.
Рассмотрим
два
примера
.
1.
Тело
имеет
форму
прямоугольного
параллелепипеда
.
Пусть
a
,
b
,
c
–
длины
его
ребер
.
Тогда
объем
параллелепипеда
будет
равен
V = a · d · c
.
Измерение
линейных
размеров
тела
производится
с
помощью
штанген
-
циркуля
,
точность
которого
0,05
мм
.
Масса
тела
находится
на
технических
весах
,
точность
которых
определяется
наименьшим
разновесом
,
который
используется
при
взвешивании
(
обычно
Δ
m
= 10
мг
= 0,01
г
).
Пусть
линейные
размеры
тела
определяются
по
три
раза
в
разных
местах
,
а
масса
–
один
раз
.
Как
следует
из
теории
погрешностей
,
при
небольшом
числе
измерений
можно
ограничиться
нахождением
средней
арифметиче
-
ской
абсолютной
ошибки
измерений
и
соответствующей
ей
относительной
ошибки
.
Данные
измерений
рекомендуется
записать
в
табл
. 1.
Таблица
1
Расчет
ρ
ср
производится
по
средним
значениям
измеряемых
величин
,
т
.
е
.
по
формуле
.
abc
m
ср
=
ρ
Все
вычисления
необходимо
проводить
в
одной
системе
единиц
:
в
ед
.
СИ
(
кг
,
м
)
или
в
системе
СГС
(
г
,
см
).
Оценим
теперь
погрешности
измерений
.
В
нашем
случае
проще
сна
-
чала
вычислить
относительную
ошибку
измерений
,
а
затем
уже
абсолют
-
ную
.
Тогда
,
пользуясь
табл
. 1,
находим
%.
100
%
100
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
Δ
+
Δ
+
Δ
±
=
Δ
±
=
Ε
c
c
b
b
a
a
m
m
ср
ρ
ρ
№
п
/
п
а
,
мм
|
Δ
a
|,
мм
b
,
мм
|
Δ
b
|,
мм
с
,
мм
|
Δ
с
|,
мм
m
,
г
Δ
m
,
г
1
2
3
Ср
17
Откуда
ср
ρ
ρ
100
Ε
=
Δ
.
После
вычисления
ошибок
необходимо
сопоставить
приборные
ошибки
и
расчетную
среднюю
абсолютную
ошибку
результата
.
Результат
экспери
-
мента
следует
записать
в
виде
)
(
ρ
ρ
ρ
Δ
±
=
ср
г
/
см
3
.
2.
Тело
имеет
форму
цилиндра
,
диаметр
которого
равен
d
,
а
высота
Н
.
Тогда
объем
тела
равен
.
4
1
2
H
d
V
π
=
Измерение
линейных
размеров
ци
-
линдра
производится
с
помощью
микрометра
,
точность
которого
0,01
мм
.
Масса
цилиндра
определяется
на
технических
весах
с
точностью
0,01
г
.
Пусть
масса
тела
определяется
один
раз
,
а
размеры
не
менее
пяти
раз
.
Для
такого
количества
измерений
,
как
следует
из
теории
погрешностей
,
целе
-
сообразнее
вычислить
средние
квадратичные
ошибки
измерений
σ
.
Дан
-
ные
измерений
записываются
в
табл
. 2.
Таблица
2
№
п
/
п
d
,
мм
|
Δ
d
|,
мм
(
Δ
d
)
2
,
мм
Н
,
мм
|
Δ
Н
|,
мм
(
Δ
Н
)
2
,
мм
m
,
г
Δ
m
,
г
1
2
3
4
5
Ср
Расчет
ρ
ср
производится
по
средним
значениям
измеряемых
величин
по
формуле
.
4
2
H
d
m
ср
π
ρ
=
Средние
квадратичные
ошибки
σ
d
и
σ
Н
находятся
по
формуле
(5).
В
данном
примере
,
как
и
в
предыдущем
,
удобнее
сначала
вычислить
отно
-
сительную
ошибку
результата
.
Пользуясь
табл
. 2,
находим
%.
100
2
%
100
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Δ
±
=
±
=
Ε
H
d
m
m
H
d
ср
σ
σ
ρ
σ
ρ
Отсюда
средняя
квадратичная
погрешность
измерения
плотности
.
100
ср
ρ
σ
ρ
Ε
=
Окончательный
результат
вычисления
плотности
тела
записывается
в
виде
ρ
= (
ρ
ср
±
σ
ρ
)
г
/
см
3
.
18
2.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ
КОЛЕБАНИЯ
Колебательным
движением
(
колебанием
)
называется
процесс
,
при
котором
система
,
многократно
отклоняясь
от
своего
состояния
равновесия
,
каждый
раз
вновь
возвращается
к
нему
.
Если
этот
процесс
совершается
через
равные
промежутки
времени
,
то
колебание
называется
периодиче
-
ским
.
Несмотря
на
большое
разнообразие
колебательных
процессов
как
по
физической
природе
,
так
и
по
степени
сложности
,
все
они
совершаются
по
некоторым
общим
закономерностям
и
могут
быть
сведены
к
совокупности
простейших
периодических
колебаний
,
называемых
гармоническими
,
ко
-
торые
совершаются
по
закону
синуса
(
или
косинуса
).
Предположим
,
что
они
описываются
законом
0
cos
cos(
),
x
t
φ
ω φ
= Α
= Α
+
(1)
здесь
x
–
смещение
(
отклонение
)
колеблющейся
системы
от
положения
равновесия
;
А
–
амплитуда
,
т
.
е
.
максимальное
смещение
от
положения
равновесия
,
(
)
0
ϕ
ω
+
t
–
фаза
колебаний
.
Физический
смысл
фазы
в
том
,
что
она
определяет
смещение
х
в
данный
момент
времени
,
φ
о
–
начальная
фаза
колебания
(
при
t = 0);
t
–
время
колебаний
;
ω
–
круговая
частота
(
или
угловая
скорость
)
колебаний
.
ω
связана
с
частотой
колебания
ν
и
перио
-
дом
колебания
Т
:
Τ
=
=
π
πν
ω
2
2
, (2)
Т
–
период
-
время
одного
полного
колебания
.
Если
в
уравнении
(1)
положить
начальную
фазу
φ
о
= 0,
то
график
зависи
-
мости
смещения
х
от
времени
или
график
гармонического
колебания
будет
иметь
вид
,
представленный
на
рис
. 1.
Систему
,
закон
движения
которой
имеет
вид
(1),
называют
одномерным
классическим
гармоническим
осцилля
-
тором
.
Хорошо
известным
примером
гар
-
монического
осциллятора
является
тело
(
шарик
),
подвешенное
на
упругой
пружи
-
не
.
По
закону
Гука
при
растяжении
или
сжатии
пружины
возникает
противодей
-
ствующая
сила
,
пропорциональная
растяжению
или
сжатию
х
,
т
.
е
.
тело
будет
совершать
гармонические
колебания
под
действием
силы
упругости
пружины
F = –kx
.
Однако
гармонические
колебания
возникают
под
дейст
-
вием
не
только
упругих
,
но
и
других
сил
,
по
природе
не
упругих
,
но
для
которых
остается
справедливым
закон
F = –kx
.
Такие
силы
получили
на
-
звание
квазиупругих
.
x
T
A
Рис
.1
t
19
Как
известно
,
движение
системы
под
действием
силы
описывается
вторым
законом
Ньютона
:
ma = F,
где
a
–
ускорение
колеблющейся
системы
.
Для
гармонических
колебаний
F = –kx
.
Тогда
второй
закон
Ньютона
будет
иметь
вид
неполного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
0
2
2
=
+
kx
dt
x
d
m
, (3)
или
уравнение
движения
классического
осциллятора
,
где
2
2
dt
x
d
a
=
.
Решением
данного
уравнения
(3)
является
выражение
(1),
что
не
-
трудно
проверить
,
дифференцируя
дважды
(1)
по
времени
и
подставляя
в
уравнение
(3).
При
этом
получим
,
что
.
2
m
k
=
ω
(4)
Для
упрощения
записи
в
дальнейшем
можно
положить
начальную
фа
-
зу
нулю
(
φ
о
= 0),
тогда
уравнение
(1)
будет
иметь
вид
cos
.
x
t
ω
= Α
(1
΄
)
Скорость
гармонически
колеблющегося
тела
можно
найти
,
дифференци
-
руя
по
времени
уравнение
(1
΄
):
t
dt
dx
ω
ω
υ
sin
Α
−
=
=
или
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
Α
=
2
cos
π
ω
ω
υ
t
.
(5)
Видно
,
что
скорость
при
гармонических
колебаниях
тоже
изменяется
по
гармоническому
закону
,
но
опережает
смещение
по
фазе
на
2
π
(
по
времени
на
Т
/4).
Ускорение
тела
при
гармонических
колебаниях
равно
:
(
)
t
dt
d
dt
x
d
dt
d
a
ω
ω
υ
sin
2
2
Α
=
=
=
,
или
(
)
π
ω
ω
ω
ω
+
Α
+
=
Α
−
=
t
t
a
cos
cos
2
2
. (6)
Сравнение
этого
выражения
(6)
с
(1)
показывает
,
что
ускорение
и
смеще
-
ние
находятся
в
противофазе
(
рис
. 2).
Это
означает
,
что
в
тот
момент
,
ко
-
гда
смещение
достигает
наибольшего
положительного
значения
,
ускоре
-
ние
достигает
наибольшего
по
величине
отрицательного
значения
,
и
на
-
оборот
.
x,v,a
t
x
a
v
Рис
.2
Рис
. 2
20
Кинетическая
энергия
осциллятора
при
гармоническом
колебании
с
учетом
(4)
и
(5)
имеет
вид
.
sin
2
1
2
2
2
2
2
t
mA
m
k
ω
ω
υ
=
=
Ε
Потенциальная
энергия
:
t
kA
kx
n
ω
2
2
2
cos
2
1
2
1
=
=
Ε
,
а
так
как
«k»
связано
с
собственной
частотой
колебания
осциллятора
(
m
k
=
2
ω
),
то
.
2
cos
2
2
2
1
t
mA
n
ω
ω
=
Ε
Полная
энергия
гармонического
осциллятора
в
процессе
колебаний
не
меняется
.
Действительно
:
(
)
.
2
1
cos
sin
2
1
2
2
2
2
2
2
const
mA
t
t
mA
n
k
=
=
+
=
Ε
+
Ε
=
Ε
ω
ω
ω
ω
Из
последнего
выражения
видно
,
что
полная
механическая
энергия
осциллятора
пропорциональна
квадрату
амплитуды
и
не
зависит
от
време
-
ни
.
Кинетическая
и
потенциальная
энергии
изменяются
по
гармоническо
-
му
закону
,
как
( )
2
sin
t
ω
и
( )
2
cos
t
ω
,
но
когда
одна
из
них
увеличивается
,
дру
-
гая
уменьшается
.
Это
означает
,
что
процесс
колебаний
связан
с
периоди
-
ческим
переходом
энергии
из
потенциальной
в
кинетическую
и
обратно
.
Рассмотрим
некоторые
из
классических
гармонических
осцилляторов
.
Математический
маятник
Математическим
маятником
называют
систему
,
состоящую
из
неве
-
сомой
и
нерастяжимой
нити
,
на
которой
подвешен
ша
-
рик
,
масса
шарика
сосредоточена
в
одной
точке
(
рис
. 3).
В
положении
равновесия
на
шарик
действуют
две
силы
:
сила
тяжести
P=mg
и
сила
натяжения
нити
N
–
равные
по
величине
и
направленные
в
противопо
-
ложные
стороны
.
Если
маятник
отклонить
от
положения
равнове
-
сия
на
небольшой
угол
α
,
то
он
начнет
совершать
коле
-
бания
в
вертикальной
плоскости
под
действием
состав
-
ляющей
силы
тяжести
P
t
,
которую
называют
тангенци
-
альной
составляющей
(
нормальная
составляющая
силы
тяжести
P
n
будет
уравновешиваться
силой
натяжения
нити
N
).
Из
рис
. 3
видно
,
что
тангенциальная
составляющая
силы
тяжести
α
sin
Ρ
−
=
Ρ
t
.
Знак
минус
показывает
,
что
сила
,
вызывающая
колебательное
движение
,
направлена
в
сторону
уменьшения
угла
α
.
Если
угол
α
мал
,
то
синус
можно
заменить
самим
углом
,
тогда
α
α
mg
t
−
=
Ρ
−
=
Ρ
.
Рис
.3
n
P
G
A
P
G
N
G
α
α
N
G
t
P
G
P
G