ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 716
Скачиваний: 1
21
С
другой
стороны
,
из
рис
. 3
видно
,
что
угол
α
можно
записать
через
длину
дуги
x
и
радиус
ℓ
:
α
= x/
ℓ
,
т
.
е
.
сила
,
возвращающая
маятник
в
положение
равновесия
,
является
квазиупругой
:
x
mg
Р
t
A
−
=
,
где
A
mg
k
=
–
коэффици
-
ент
квазиупругой
силы
.
Второй
закон
Ньютона
в
этом
случае
будет
иметь
следующий
вид
:
0
2
2
=
+
x
l
mg
dt
x
d
m
.
(7)
С
учетом
(4),
можно
записать
,
что
A
g
=
2
ω
,
откуда
g
A
π
2
=
Τ
. (8)
Период
колебаний
математического
маятника
при
малых
углах
отклонения
не
зависит
от
амплитуды
колебания
и
от
его
массы
,
а
определяется
длиной
маятника
и
ускорением
свободного
падения
g.
Физический
маятник
Физическим
маятником
называется
абсолютно
твердое
тело
,
которое
может
совершать
колебания
под
действием
силы
тяжести
вокруг
горизонтальной
оси
О
,
перпендикулярной
плоско
-
сти
рисунка
и
не
проходящей
через
его
центр
тяжести
.
На
рис
.4
изображено
сечение
физического
маятника
плос
-
костью
,
перпендикулярной
к
его
оси
вращения
О
и
прохо
-
дящей
через
его
центр
тяжести
С
.
Запишем
в
общем
виде
уравнение
движения
маят
-
ника
,
т
.
е
.
основное
уравнение
динамики
вращательного
движения
M = J
β
,
(9)
где
J
–
момент
инерции
маятника
относительно
горизон
-
тальной
оси
О
,
β
–
угловое
ускорение
,
М
–
момент
внеш
-
них
сил
.
В
нашем
случае
момент
внешних
сил
обусловлен
действием
силы
тяжести
.
Очевидно
,
что
на
каждый
элемент
массы
Δ
m
i
маятника
действует
сила
тяжести
Δ
m
i
g
,
создающая
определенный
момент
относительно
оси
О
.
Сумма
моментов
этих
силы
равна
моменту
равнодействующей
сил
тяже
-
сти
,
которая
приложена
к
центру
тяжести
маятника
(
точка
С
).
Докажем
,
что
маятник
,
выведенный
из
положения
равновесия
на
ма
-
лый
угол
φ
,
будет
совершать
гармонические
колебания
.
Для
этого
равно
-
действующую
сил
тяжести
P = mg
разложим
на
две
составляющие
,
одна
из
которых
P
2
уравновешивается
реакцией
опоры
,
а
под
действием
другой
со
-
ставляющей
P
1
=Psin
φ
маятник
приходит
в
движение
.
Обозначим
расстоя
-
ние
от
точки
подвеса
О
до
центра
тяжести
С
через
a
.
Тогда
уравнение
дви
-
жения
маятника
(9)
запишется
в
виде
J
β
= –P
1
·
a = –P
·
a
·
sin
φ
. (10)
0
а
С
1
P
G
2
P
G
P
G
ϕ
Рис
.4
22
Знак
минус
показывает
,
что
сила
P
1
направлена
к
положению
равновесия
и
приводит
к
уменьшению
угла
отклонения
φ
.
Так
как
2
2
dt
d
ϕ
β
=
,
а
для
малых
углов
φ
можно
принять
sin
φ
≈
φ
,
то
уравнение
(10)
будет
иметь
вид
:
0
2
2
=
+
ϕ
ϕ
mga
dt
d
J
,
или
0
2
2
=
+
ϕ
ϕ
J
mga
dt
d
. (11)
Частным
решением
этого
дифференциального
уравнения
является
уравнение
cos
,
t
φ
ω
= Α
где
J
mga
=
ω
.
Исходя
из
полученного
выражения
для
ω
,
на
-
ходим
выражение
для
периода
колебаний
физического
маятника
g
mga
J
пр
A
π
π
2
2
=
=
Τ
. (12)
Величина
ma
J
np
=
A
называется
приведенной
длиной
физического
маятни
-
ка
,
это
есть
длина
эквивалентного
математического
маятника
,
имеющего
тот
же
период
колебаний
,
что
и
данный
физический
маятник
.
Физическим
маятником
также
можно
воспользоваться
для
определе
-
ния
ускорения
свободного
падения
.
Любой
физический
маятник
обладает
свойством
сопряженности
,
ко
-
торое
заключается
в
том
,
что
в
нем
можно
найти
такие
две
точки
,
что
при
последовательном
подвешивании
маятника
за
ту
или
иную
из
них
период
колебаний
его
остается
одним
и
тем
же
.
Расстояние
между
этими
точками
определяет
собой
приведенную
длину
физического
маятника
.
Разновидностью
физического
маятника
является
оборотный
маят
-
ник
,
который
обладает
свойством
сопряженности
центра
качания
и
точки
подвеса
.
Центром
качания
называется
точка
,
находящаяся
на
расстоянии
приведенной
длины
np
A
от
оси
вращения
.
Приведенная
длина
всегда
больше
величины
a (
см
.
рис
. 4),
т
.
е
.
центр
качания
всегда
лежит
ниже
цен
-
тра
тяжести
.
Действительно
,
по
теореме
Штейнера
момент
инерции
маят
-
ника
относительно
оси
вращения
равен
J = J
o
+ ma
2
,
где
J
o
–
момент
инер
-
ции
маятника
относительно
оси
,
проходящей
через
центр
тяжести
.
Тогда
приведенная
длина
ℓ
пр
равна
ma
J
a
ma
ma
J
ma
J
o
np
+
=
+
=
=
2
0
A
,
т
.
е
.
np
A
> a
.
23
РАБОТА
№
2–1
ИССЛЕДОВАНИЕ
ЗАКОНОВ
КОЛЕБАТЕЛЬНОГО
ДВИЖЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
И
ОБОРОТНОГО
МАЯТНИКА
НА
УСТАНОВКЕС
ЭЛЕКТРОННЫМ
СЕКУНДОМЕРОМ
Приборы
и
принадлежности
:
установка
,
состоящая
из
двух
маятни
-
ков
–
математического
и
оборотного
,
масштабная
линейка
.
Описание
экспериментальной
установки
Общий
вид
установки
представлен
на
рис
. 5.
Основание
1
оснащено
регулируемыми
ножками
2,
которые
позволяют
провести
выравнивание
прибора
.
В
основании
закреплена
колонка
3,
на
которой
зафиксирован
верхний
кронштейн
4
и
нижний
кронштейн
5
с
фотоэлектрическим
датчи
-
ком
6.
После
отвинчивания
винта
11
верхний
кронштейн
можно
поворачи
-
вать
вокруг
колонки
.
Затягивание
винта
11
фиксирует
кронштейн
в
любом
,
произвольно
избранном
положении
.
С
одной
стороны
кронштейна
4
нахо
-
дится
математический
маятник
7,
с
другой
–
оборотный
маятник
8.
Длину
математического
маятника
можно
регулировать
при
помощи
винта
9,
ее
величину
определять
при
помощи
шкалы
на
колонке
3.
Оборотный
маятник
выполнен
в
виде
стального
стержня
8,
на
кото
-
ром
могут
перемещаться
и
закрепляться
в
различных
положения
две
опор
-
ные
призмы
П
1
и
П
2
и
тяжелые
чечевицы
А
1
и
А
2
.
Используемый
в
работе
маятник
позволяет
перемещать
опорную
призму
только
через
10
мм
.
На
таком
расстоянии
друг
от
друга
на
стержне
нанесены
кольцевые
ка
-
навки
.
С
их
помощью
положение
чечевиц
и
опорных
призм
фиксируется
на
стержне
зажимными
винтами
.
Так
как
расстояние
между
призмами
из
-
меняется
не
непрерывно
,
а
через
10
мм
,
то
при
определении
приведенной
длины
маятника
добиться
совпадения
периодов
маятника
Т
1
и
Т
2
(
см
.
ниже
)
невозможно
.
Нижний
кронштейн
5
вместе
с
фо
-
тоэлектрическим
датчиком
6
можно
перемещать
вдоль
колонки
и
фиксиро
-
вать
в
произвольно
выбранном
поло
-
жении
.
Когда
колеблющийся
маятник
(
ма
-
тематический
или
оборотный
)
пересе
-
кает
световой
луч
,
падающий
на
фото
-
транзистор
,
то
в
цепи
фототранзистора
генерируются
электрические
импуль
-
сы
.
Специальная
электронная
схема
считает
число
импульсов
и
выдает
на
световой
индикатор
информацию
о
числе
полных
колебаний
маятника
.
Одновременно
электронный
секундомер
10
ведет
отсчет
времени
и
резуль
-
1
2
10
П
1
3
4
5
6
7
8
9
1
А
П
2
Рис
. 5
24
тат
фиксируется
на
световом
индикаторе
.
Схема
управления
осуществляет
синхронное
включение
и
выключение
счетчика
колебаний
и
секундомера
.
Зная
число
колебаний
маятника
и
время
,
за
которое
они
совершаются
,
можно
определить
период
колебания
маятника
.
Выполнение
работы
Проверьте
,
заземлен
ли
прибор
.
Включите
сетевой
шнур
в
сеть
220
В
.
Нажмите
выключатель
«
СЕТЬ
»,
при
этом
индикаторы
измерителя
показы
-
вают
нуль
и
горит
лампочка
фотоэлектрического
датчика
.
Прибор
готов
к
работе
.
Упражнение
1
.
Изучение
законов
колебательного
движения
математического
маятника
и
определение
ускорения
свободного
падения
Нижний
кронштейн
вместе
с
фотоэлектрическим
датчиком
устано
-
вите
на
отметке
50
см
.
Затяните
винт
,
фиксируя
фотоэлектрический
датчик
в
избранном
положении
.
С
помощью
верхнего
кронштейна
поместите
над
датчиком
математический
маятник
.
Вращая
винт
на
верхнем
кронштейне
,
опустите
шарик
математического
маятника
до
нижнего
кронштейна
,
об
-
ращая
внимание
на
то
,
чтобы
черта
на
шарике
была
продолжением
черты
на
корпусе
фотоэлектрического
датчика
.
Таким
образом
устанавливается
длина
математического
маятника
.
1.
Проверка
зависимости
периода
колебаний
от
его
длины
и
ам
-
плитуды
.
Для
этого
приведите
маятник
в
колебательное
движение
,
отклонив
шарик
от
положения
равновесия
на
4–5
0
.
Нажмите
кнопку
«
СБРОС
».
По
-
сле
отсчета
измерителем
15–20
полных
колебаний
нажмите
кнопку
«
СТОП
».
Определите
период
колебаний
маятника
по
формуле
T = t/n,
где
n
–
число
колебаний
,
t
–
показание
электронного
секундомера
.
Измерения
периода
проводятся
не
менее
трех
раз
.
Изменяя
длину
маятника
на
2–3
см
в
одну
и
другую
сторону
,
проведите
аналогичные
измерения
для
других
длин
маятника
.
Данные
измерений
занесите
в
таблицу
.
l
1
= ....
l
2 = ....
l
3
= ....
№
п
/
п
n t,
c T
1
, c
T
1
,c
n t,c T
1
,c
T
1
,
c
n t,c T
1
,c
T
1
,c
1
2
3
C
p
Не
меняя
длину
маятника
,
определите
периоды
колебания
маятника
при
разных
амплитудах
колебания
А
.
Измерения
также
проводятся
не
ме
-
25
нее
трех
раз
для
каждой
амплитуды
.
Составьте
таблицу
,
аналогичную
пре
-
дыдущей
,
и
все
данные
занесите
в
эту
таблицу
.
Сделайте
вывод
,
как
зависит
период
колебаний
математического
ма
-
ятника
от
его
длины
и
амплитуды
.
2.
Используя
имеющиеся
усредненные
данные
для
периода
колеба
-
ний
,
по
формуле
(8)
определите
ускорение
свободного
падения
g.
С
целью
оценки
погрешности
g
выведите
формулу
для
расчета
абсо
-
лютной
и
относительной
ошибки
измерения
и
определите
их
(
l = 2
мм
,
а
Т
берется
из
эксперимента
).
Упражнение
2
.
Определение
ускорения
свободного
падения
при
помощи
оборотного
маятника
Положение
на
стержне
физического
маятника
чечевиц
и
одной
из
опорных
призм
П
2
указывается
преподавателем
.
Крепление
всех
деталей
на
стержне
следует
производить
очень
тщательно
,
добиваясь
,
чтобы
за
-
жимные
винты
входили
в
канавки
на
стержне
.
При
изменении
положения
чечевицы
или
опорных
призм
маятник
надо
снять
с
кронштейна
,
положить
на
стол
и
провести
перемещения
чечевиц
или
призмы
.
Установите
маятник
на
призму
П
1
.
Нижний
кронштейн
вместе
с
фо
-
тоэлектрическим
датчиком
переместите
таким
образом
,
чтобы
стержень
маятника
пересекал
оптическую
ось
датчика
.
Отклоните
маятник
на
4–5
0
от
положения
равновесия
и
дайте
воз
-
можность
ему
совершать
колебания
.
Нажмите
кнопку
«
СБРОС
»
и
после
подсчета
измерителем
15–20
пол
-
ных
колебаний
нажмите
кнопку
«
СТОП
».
Определите
период
колебаний
оборотного
маятника
по
формуле
T
1
= t
1
/n
1
,
где
n
1
–
число
колебаний
,
t
1
–
показание
электронного
секундомера
.
Результаты
заносятся
в
таблицу
.
n
1
t
1
, c
T
1
, c
l, c
м
n
2
t
2.
,
с
T
2
,
с
L
пр
g,
см
/
с
2
Затем
маятник
снимается
с
кронштейна
,
переворачивается
и
устанавлива
-
ется
на
призму
П
2
.
Снова
определяются
значения
n
2
,
t
2
и
вычисляются
значения
T
2
.
Измеряется
и
вносится
в
таблицу
расстояние
l
между
опор
-
ными
призмами
маятника
.
Переместите
призму
П
2
на
соседнее
деление
в
таком
направлении
,
чтобы
Т
2
по
своему
значению
приближался
к
значению
Т
1
.
Определяют
и
заносят
в
таблицу
новые
значения
l, n
2
,
t
2
,
T
2
.
Эти
измерения
повторяются
до
4–5
раз
,
пока
значение
периода
Т
1
не
попадет
в
«
вилку
»
полученных
значений
Т
2
(
значения
Т
1
и
Т
2
не
должны
отличаться
более
чем
0,5 %).
При
равенстве
Т
1
и
Т
2
определите
приведенную
длину
маятника
как
расстояние
между
ребрами
опорных
призм
и
вычислите
ускорение
сво
-
бодного
падения
по
формуле
(12).