ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 992
Скачиваний: 2
5
Определители
46
Следовательно,
rk A
= 1
.
Контрольное упражнение 5.4.
Найти ранги матриц, определители
которых сосчитаны в предыдущем подразделе.
6
Приложения определителей
47
6
Приложения определителей
Необходимо pазвивать и тренировать свои ум-
ственные способности, как мы paзвиваем физи-
ческие; для этого ecть только один путь - упраж-
нение и работа, работа и работа.
С. И. Поварнин, русский логик.
6.1
Вычисление обратной матрицы
В разделе 4 мы определили понятие обратной матрицы и указали на
то, что не всякая квадратная матрица обратима. Теперь мы выведем
формулы для вычисления обратной матрицы.
Пусть
A
= (
a
ij
)
i,j
=1
...n
, и
det A
6
= 0
.
Запишем формулу разложения
определителя по
k
-й строке:
n
X
j
=1
a
kj
A
kj
=
|
A
|
.
(17)
Определим вспомогательную матрицу
Q
= (
q
ij
)
i,j
=1
...n
:
q
ij
=
(
a
ij
,
если
i
6
=
k,
a
lj
,
если
i
=
k
(
l
6
=
k
)
.
Матрица
Q
получается из матрицы
A
, если вырезать
k
-ю строку и на
ее место вставить
l
-ю строку. Таким образом, матрица
Q
содержит две
одинаковые строки, и ее определитель равен 0. Разложим этот опреде-
литель по
k
-й строке (поскольку все строки, кроме
k
-й, у матриц
A
и
Q
одинаковы, алгебраические дополнения к элементам
a
kj
и
q
kj
совпадают,
и мы сохраним обозначение
A
kj
):
n
X
j
=1
q
kj
A
kj
= 0
,
или, поскольку
q
kj
=
a
lj
,
n
X
j
=1
a
lj
A
kj
= 0
,
l
6
=
k.
(18)
Формула (18) называется разложением определителя матрицы
A
по
чужой строке. Формулы (17) и (18) можно объединить в одну:
n
X
j
=1
a
lj
A
kj
=
δ
lk
· |
A
|
6
Приложения определителей
48
(напомним, что
δ
lk
— символ Кронекера; его определение смотри в раз-
деле 4).
Разделим обе части последнего равенства на
|
A
|
:
n
X
j
=1
a
lj
A
kj
|
A
|
=
δ
lk
.
Теперь введем обозначение
e
a
jk
=
A
kj
|
A
|
,
k, j
= 1
, . . . , n.
Формула
n
X
j
=1
a
lj
e
a
jk
=
δ
lk
означает, что матрица
e
A
:= (
e
a
jk
)
j,k
=1
,...,n
обратна к матрице
A
, поскольку
в левой части этой формулы находится результат умножения
l
-й строки
матрицы
A
на
k
-й столбец матрицы
e
A
, а в правой части — элемент
δ
lk
единичной матрицы порядка
n
.
Итак, если
A
= (
a
ij
)
i,j
=1
...n
,
то обратная матрица
A
−
1
вычисляется
так:
A
−
1
= (
e
a
ij
)
i,j
=1
...n
,
e
a
ij
=
A
ji
det A
.
(19)
Контрольное упражнение 6.1.
Используя результат задачи 5.2, до-
казать, что квадратная матрица обратима в том и только том слу-
чае, когда ее определитель не равен 0.
Контрольное упражнение 6.2.
Матрица
A
∈
M
(
n
)
обратима тогда
и только тогда, когда
rk A
=
n
.
Практически обратную матрицу к
A
∈
M
(
n
)
находят в три этапа:
1. Вычисляется
det A.
Если
det A
= 0
,
то обратной матрицы нет;
иначе следует считать дальше.
2. Ко всем элементам матрицы
A
находятся алгебраические допол-
нения
A
ij
, и из них составляется матрица
A
11
A
12
. . .
A
1
n
A
21
A
22
. . .
A
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
A
n
1
A
n
2
. . .
A
nn
,
которую затем надо транспонировать:
A
11
A
12
. . .
A
1
n
A
21
A
22
. . .
A
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
A
n
1
A
n
2
. . .
A
nn
T
=
A
11
A
21
. . .
A
n
1
A
12
A
22
. . .
A
n
2
. . .
. . .
. . .
. . .
A
1
n
A
2
n
. . .
A
nn
=
A
∗
.
6
Приложения определителей
49
Обозначение
A
∗
мы ввели потому, что у этой матрицы есть специальное
название: она именуется
ассоциированной
к
A
матрицей.
3. Все элементы ассоциированной матрицы делятся на
det A
:
резуль-
татом является обратная матрица
A
−
1
:
A
−
1
=
1
det A
A
∗
=
A
11
det A
A
21
det A
. . .
A
n
1
det A
A
12
det A
A
22
det A
. . .
A
n
2
det A
. . .
. . .
. . .
. . .
A
1
n
det A
A
2
n
det A
. . .
A
nn
det A
.
Пример.
A
=
7 3
4 2
.
det A
= 2
6
= 0
.
A
11
= 2
,
A
12
=
−
4
,
A
21
=
−
3
,
A
22
= 7
.
A
∗
=
A
11
A
21
A
12
A
22
=
2
−
3
−
4
7
.
A
−
1
=
1
−
3
/
2
−
2
7
/
2
.
Контрольное упражнение 6.3.
Проверить, что полученная матри-
ца действительно обратна к
A
.
Контрольное упражнение 6.4.
Найти
2 7
1 3
−
1
.
Задача 6.1.
Пусть все элементы квадратной матрицы
A
являются
целыми числами. Доказать, что обратная матрица состоит из целых
чисел тогда и только тогда, когда
det A
= 1
.
6.2
Формулы Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
· · ·
+
a
1
n
x
n
=
b
1
. . .
a
n
1
x
1
+
a
n
2
x
2
+
· · ·
+
a
nn
x
n
=
b
n
,
(20)
Ее можно записать в
матричном виде
Ax
=
b.
(21)
Здесь
A
=
a
11
. . .
a
1
n
. . .
. . .
. . .
a
n
1
. . .
a
nn
∈
M
(
n
)
,
6
Приложения определителей
50
x
=
x
1
..
.
x
n
∈
R
n
, b
=
b
1
..
.
b
n
∈
R
n
.
Матрица
A
называется матрицей системы,
x
— вектором неизвест-
ных,
b
— вектором правой части.
Решением
системы (20) = (21) является целый вектор
(
x
1
. . . x
n
)
T
,
для которого (21) обращается в верное равенство. Хотя вектор и состоит
из
n
компонент, но эти
n
чисел образуют
одно
решение.
Теорема 6.1.
Если
A
— квадратная обратимая матрица, то система
(20) = (21) имеет единственное решение
x
=
A
−
1
b.
Доказательство.
Вектор
A
−
1
b
∈
R
n
(по условию,
n
=
m
) является
решением системы (21), поскольку
A
·
(
A
−
1
b
) = (
A
·
A
−
1
)
b
=
I
·
b
=
b
. Требуется доказать еще единственность. Пусть
x
∗
, x
∗
∈
R
n
— два
решения, то есть
Ax
∗
=
Ax
∗
=
b
. Тогда
Ax
∗
−
Ax
∗
=
θ
. Умножим обе
части последнего равенства слева на
A
−
1
:
A
−
1
(
Ax
∗
−
Ax
∗
) =
A
−
1
θ
⇔
⇔
A
−
1
Ax
∗
−
A
−
1
Ax
∗
=
θ
⇔
Ix
∗
−
Ix
∗
=
θ
⇔
x
∗
=
x
∗
.
Теорема доказана.
Применим теперь наше умение вычислять обратную матрицу к ре-
шению системы. Обозначим
k
-ю компоненту вектора
A
−
1
b
через
x
k
. В
силу формул (19),
x
k
=
n
X
j
=1
A
jk
det A
b
j
=
P
n
j
=1
b
j
A
jk
det A
.
Выражение
P
n
j
=1
b
j
A
jk
можно понимать как разложение по
k
-му столб-
цу определителя матрицы, которая получается из матрицы
A
заменой
k
-го столбца столбцом
b
:
n
X
j
=1
b
j
A
jk
=
a
11
. . .
a
1
,k
−
1
b
1
a
1
,k
+1
. . .
a
1
,n
a
21
. . .
a
2
,k
−
1
b
2
a
2
,k
+1
. . .
a
2
,n
· · · · · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
a
n
1
. . .
a
n,k
−
1
b
n
a
n,k
+1
. . .
a
n,n
.
Эту величину обозначим
∆
k
, а определитель
det A
, для красоты, обозна-
чим через
∆
. В этих обозначениях решение системы
Ax
=
b
запишется
так:
x
= (
∆
1
∆
,
∆
2
∆
, . . . ,
∆
n
∆
)
T
.