ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 993
Скачиваний: 2
6
Приложения определителей
51
Итак, для решения линейной системы с квадратной обратимой мат-
рицей
n
-го порядка достаточно вычислить
n
+ 1
определитель. Этот ме-
тод решения систем линейных уравнений называется
методом Крамера
,
а формулы для вычисления
k
-й компоненты решения
x
k
=
∆
k
∆
(22)
обычно называют
формулами Крамера
.
Пример.
Решим систему
−
2
x
+ 3
y
+ 2
z
=
−
1
2
x
−
2
y
+
z
= 6
y
+ 4
z
= 7
∆ =
−
2
3
2
2
−
2
1
0
1
4
=
−
2;
∆
1
=
−
1
3
2
6
−
2
1
7
1
4
=
−
2;
∆
2
=
−
2
−
1
2
2
6
1
0
7
4
=
2;
∆
3
=
−
2
3
−
1
2
−
2
6
0
1
7
=
−
4
.
x
=
∆
1
∆
= 1;
y
=
∆
2
∆
=
−
1;
z
=
∆
3
∆
= 2
.
7
Линейные пространства и линейные операторы
52
7
Линейные пространства и линейные операто-
ры: основные определения и примеры
Нельзя схватить сразу и без труда то, до чего че-
ловечество доходило трудами десятилетий.
С. И. Поварнин.
Начиная с этого раздела, особенное внимание уделяется теоретиче-
ским элементам
линейной алгебры
(предыдущие три раздела также
относятся к линейной алгебре, но в них более важную роль игра-
ла вычислительная, техническая сторона дела). Из учебников по
линейной алгебре хороши [2], [5], [7], [11], [13], [14], но эти книги на-
писаны для математиков, а для студентов технических специаль-
ностей слишком сложны. Поэтому можно обратиться к учебникам
[1], [3], [8], [9], [10].
7.1
Пространство
R
n
. Определение линейного простран-
ства
В разделе 4 мы определили множества
R
n
матриц-столбцов. С элемен-
тами каждого из этих множеств можно проделывать по крайней мере
две вещи: во-первых, складывать их друг с другом:
∀
x, y
∈
R
n
, x
=
x
1
..
.
x
n
, y
=
y
1
..
.
y
n
x
+
y
=
x
1
+
y
1
..
.
x
n
+
y
n
∈
R
n
;
и, во-вторых, умножать на числа:
∀
λ
∈
R
, x
=
x
1
..
.
x
n
∈
R
n
λ
·
x
=
λx
1
..
.
λx
n
.
На этих двух операциях основано определение общего линейного про-
странства.
Определение.
Множество
E
, для элементов которого определены
операции сложения (то есть
∀
x, y
∈
E
определена сумма
x
+
y
∈
E
)
и умножения на вещественное число (
∀
x
∈
E,
∀
λ
∈
R
определен
элемент
λ
·
x
∈
E
), называется
линейным пространством
, если операции
удовлетворяют следующим условиям:
(L1)
∀
x, y
∈
E
x
+
y
=
y
+
x
(сложение в
E
коммутативно
).
(L2)
∀
x, y, z
∈
E
(
x
+
y
) +
z
=
x
+ (
y
+
z
)
(сложение
ассоциативно
).
(L3) В
E
существует элемент
θ
, такой, что
∀
x
∈
E
x
+
θ
=
x
(
θ
является нейтральным элементом по сложению).
7
Линейные пространства и линейные операторы
53
(L4)
∀
x
∈
E
существует элемент
x
такой, что
x
+
x
=
θ
. Этот элемент
называется
противоположным
к
x
и обозначается
−
x
.
(L5)
∀
x
∈
E
1
·
x
=
x
.
(L6)
∀
λ, µ
∈
R
,
∀
x
∈
E
λ
·
(
µ
·
x
) = (
λ
·
µ
)
·
x
.
(L7)
∀
λ, µ
∈
R
,
∀
x
∈
E
(
λ
+
µ
)
·
x
=
λ
·
x
+
µ
·
x
.
(L8)
∀
λ
∈
R
,
∀
x, y
∈
E
λ
·
(
x
+
y
) =
λ
·
x
+
λ
·
y
.
Элементы линейного пространства называются
векторами
. Свойства
(L1) – (L8) называются
аксиомами линейного пространства
.
Замечания к определению.
1. Кто прочитает Приложение A, тот узнает, что аксиомы (L1) – (L4)
означают, что линейное пространство называется так называемой
абелевой группой по сложению.
2. Нейтральный по сложению элемент
θ
называется нулевым векто-
ром.
3. Вместо
λ
·
x
мы будем писать
λx
.
4. Нейтральный элемент всегда единственен: двух разных нейтраль-
ных элементов быть не может. Для каждого вектора противопо-
ложный к нему вектор определен также однозначно. Об этом см.
Приложение А.
5. То, что мы назвали линейным пространством, более точно называ-
ется
вещественным
линейным пространством, или линейным про-
странством над
R
. Если бы векторы можно было умножать на ком-
плексные, а не вещественные числа, то линейное пространство бы-
ло бы комплексным (линейным пространством над
C
). Самое общее
определение линейного пространства — это линейное пространство
над произвольным полем
P
(определение поля см. в Приложении
А).
6. Вектор, как мы его сейчас определили — не то же самое, что век-
тор в школьном смысле этого слова, а вектор в смысле раздела 4
(матрица-столбец) — это лишь частный случай вектора в общем
линейном пространстве. Подробнее об этом речь пойдет в следую-
щем подразделе.
Теперь, если мы говорим не о каком-то конкретном, а об общем, аб-
страктном линейном пространстве, то имеем право утверждать лишь
то, что сможем вывести из аксиом. Таков смысл аксиоматического ме-
тода: определения и аксиомы даются как исходные положения, а потом
из них выводятся теоремы. Ссылки на “очевидность”, наглядность ника-
кой силы не имеют: об объекте известно только то, что говорится в его
7
Линейные пространства и линейные операторы
54
определении и что доказано. Аксиомы — верные утверждения не потому,
что они “очевидны” (думать так — грубейшая ошибка!), а потому, что
они приняты как “правила игры” (говорить об “очевидности” аксиом не
больше оснований, чем об очевидности правил игры в футбол).
Для иллюстрации сказанного докажем, что в любом линейном про-
странстве
E
всегда верно равенство
0
·
x
=
θ.
Если это равенство кажется вам очевидным, то посмотрите на акси-
омы и убедитесь, что там ничего подобного не сказано.
Доказательство можно провести так: прибавим к
0
·
x
вектор
x
:
0
·
x
+
x
L
5
= 0
·
x
+ 1
·
x
L
7
= (0 + 1)
·
x
= 1
·
x
L
5
=
x.
К обеим частям полученного равенства
0
·
x
+
x
=
x
прибавим вектор
(
−
x
)
:
(0
·
x
+
x
) + (
−
x
) =
x
+ (
−
x
)
0
·
x
+ (
x
+ (
−
x
)) =
x
+ (
−
x
)
0
·
x
+
θ
=
θ
0
·
x
=
θ.
Утверждение доказано.
В следующей серии упражнений буква
E
обозначает линейное про-
странство.
Контрольное упражнение 7.1.
∀
λ
∈
R
λ
·
θ
=
θ.
Контрольное упражнение 7.2.
∀
x
∈
E
−
x
= (
−
1)
·
x.
Контрольное упражнение 7.3.
∀
x
∈
E,
∀
λ
∈
R
−
(
λx
) = (
−
λ
)
·
x.
Контрольное упражнение 7.4.
∀
x
∈
E,
∀
λ
∈
R
λx
=
θ
⇒
(
λ
=
0
или
x
=
θ
)
.
Эквивалентная формулировка этого утверждения: если
λ
6
= 0
и
x
6
=
θ
, то
λx
6
=
θ
.
Контрольное упражнение 7.5.
∀
x
∈
E x
+
x
+
. . .
+
x
|
{z
}
n
слагаемых
=
nx.
Пусть
x
1
, . . . , x
n
— элементы линейного пространства
E
,
λ
1
, . . . , λ
n
∈
R
. Выражение
λ
1
x
1
+
· · ·
+
λ
n
x
n
=
n
X
j
=1
λ
j
x
j
называется
линейной комбинацией
векторов
x
1
, . . . , x
n
с коэффициента-
ми
λ
1
, . . . , λ
n
(для нумерации векторов мы всегда будем использовать
верхние индексы, а для нумерации координат элементов пространства
R
n
— нижние).
7
Линейные пространства и линейные операторы
55
7.2
Примеры линейных пространств
1. Множества столбцов
R
n
называются
арифметическими
линейны-
ми пространствами (аксиомы (L1) –(L8) для уже определенных на-
ми операций сложения и умножения на число, очевидно, выпол-
няются). Стоит подчеркнуть, что элементами пространств
R
n
яв-
ляются
наборы чисел
, а картинки, которые напрашиваются при
n
= 1
,
2
,
3
, играют роль необязательных иллюстраций, пользуясь
которыми, нельзя ничего доказать.
2. Любое множество матриц фиксированного типа
M
(
m, n
)
является
линейным пространством. Операции линейного пространства для
матриц уже определен, а проверка аксиом
5
— дело легкое.
3.
{
θ
}
— множество, состоящее из одного нулевого вектора, — также
является полноценным линейным пространством. Поскольку ре-
зультатом любых операций в этом множестве является
θ
, аксиомы
проверяются очень быстро.
4. Множество
R
[
x
]
многочленов от переменной
x
— линейное про-
странство. В самом деле: сумма многочленов и произведение мно-
гочлена на число — это, очевидно, многочлены (то есть операции
сложения и умножения на число в
R
[
x
]
определены), а аксиомы
проверяются просто. Нулевым вектором в
R
[
x
]
является многочлен,
тождественно равный
0
.
Вернемся к утверждению о том, что о линейном пространстве и его
элементах нельзя сказать ничего, кроме того, что выводится из аксиом.
Когда мы представляем себе пространства
R
1
,
R
2
,
R
3
в виде привычных
образов — прямая, плоскость, пространство, — нам кажутся естествен-
ными такие понятия, как, например, длина вектора и угол между векто-
рами. В действительности эти понятия определяются только в
евклидо-
вых
пространствах, о которых будем мы говорить в разделе 14 (струк-
тура евклидова пространства, так сказать, “навешивается” на структуру
линейного пространства). Пока же мы не имеем права говорить о длинах
и углах. Легко привести и примеры линейных пространств, в которых
эти понятия не определены естественным образом: попробуйте вообра-
зить, как определить длину матрицы
1 2 3
4 5 6
, рассматриваемой как
вектор в линейном пространстве
M
(2
,
3)
, или угол между векторами
(0 1 0 1)
T
и
(
−
1
−
2
−
3
−
4)
T
в пространстве
R
4
.
Несмотря на то, что в теории линейных пространств картинкам нель-
зя вполне доверять, пользоваться ими все же придется. Поговорим о том,
5
Выражение “проверка аксиом” может вам показаться странным. Поясню, что
это — привычное в математике сокращение точного выражения “проверка того, что
операции удовлетворяют условиям, выставленным в качестве аксиом”.