ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 990
Скачиваний: 2
7
Линейные пространства и линейные операторы
56
как правильно изображать векторы. Рис. 7.1 изображает плоскость
R
2
.
Будем считать, что горизонтальная ось — это ось координаты
x
1
, а вер-
тикальная —
x
2
. Вектором мы называем элемент
x
=
x
1
x
2
∈
R
2
, но
две координаты
x
1
, x
2
задают только одну точку на плоскости, но, как
нам помнится со школьных времен, вектор (“направленный отрезок”)
задается двумя точками (
AB
на рис. 7.1), а для задания двух точек
необходимы четыре координаты.
*
*
1
x
3
2
x
−
1
2
x
y
x
+
y
P
O
A
B
рис. 7.1
Правильное представление здесь таково: стрелка, изображающая век-
тор
x
1
x
2
, исходит из начала координат и заканчивается в точке с ко-
ординатами
x
1
, x
2
. Поэтому объект
AB
на рис. 7.1 — это
не
вектор. Сум-
ма векторов
x
= (
x
1
x
2
)
T
и
y
= (
y
1
y
2
)
T
может быть беспрепятственно
определена по правилу параллелограмма: таким образом построенный
вектор как раз будет иметь координаты
(
x
1
+
y
1
x
2
+
y
2
)
T
. Таким обра-
зом, “арифметическое” определение суммы (через сложение координат)
совпадает с “геометрическим” (по правилу параллелограмма).
Контрольное упражнение 7.6.
Проверьте, что точка
P
на рис. 7.1
действительно имеет координаты
(
x
1
+
y
1
x
2
+
y
2
)
.
7.3
Определение линейного оператора
Пусть
E, F
— линейные пространства. Отображение
A
:
E
→
F
называ-
ется
линейным оператором
, если выполняются два условия:
(LO1)
∀
x, y
∈
E
A
(
x
+
y
) =
A
(
x
) +
A
(
y
)
(свойство
аддитивности
);
(LO2)
∀
x
∈
E,
∀
λ
∈
R
A
(
λx
) =
λ
A
(
x
)
(свойство
однородности
).
Как видите, эти два свойства соответствуют двум линейным опера-
циям — сложению и умножению на число. Если
E
и
F
— линейные про-
странства, то можно придумать сколько угодно разных отображений из
7
Линейные пространства и линейные операторы
57
E
в
F
, но только линейные операторы
уважают
структуру линейного
пространства. Используя общеалгебраческую терминологию, линейные
операторы можно назвать
морфизмами
линейных пространств (см. При-
ложение A).
Для линейных операторов принято писать
A
x
вместо
A
(
x
)
.
Из свойств (LO1) и (LO2) следует, что линейный оператор переводит
любую линейную комбинацию в линейную комбинацию:
∀
x
1
, . . . , x
n
∈
E,
∀
λ
1
, . . . , λ
n
∈
R
A
(
λ
1
x
1
+
· · ·
+
λ
n
x
n
) =
λ
1
A
x
1
+
· · ·
+
λ
n
A
x
n
.
(23)
Контрольное упражнение 7.7.
Если отображение
A
:
E
→
F
, где
E
и
F
— линейные пространства, удовлетворяет условию (23), то оно
является линейным оператором.
Контрольное упражнение 7.8.
Если
A
:
E
→
F
— линейный опера-
тор, то
A
(
θ
E
) =
θ
F
, где
θ
E
и
θ
F
— нулевые векторы в пространствах
E
и
F
соответственно.
7.4
Примеры линейных операторов
1. Для любых двух линейных пространств
E
и
F
можно определить
нулевой
линейный оператор
O
:
E
→
F,
O
x
=
θ
F
∀
x
∈
E
.
2. В любом линейном пространстве
E
действует
единичный (тожде-
ственный)
оператор
I
E
:
E
→
E, I
E
x
=
x
∀
x
∈
E
.
3. В любом пространстве
E
можно также определить оператор умно-
жения на константу:
A
λ
:
E
→
E,
A
λ
x
=
λx
. При
λ
= 0
этот
оператор превращается в нулевой, а при
λ
= 1
— в единичный.
-
-
*
π
1
y
π
1
x
6
y
x
π
2
x
=
π
2
y
рис. 7.2
4. Операторы
π
1
:
R
2
→
R
2
и
π
2
:
R
2
→
R
2
определим формулами
π
1
x
1
x
2
=
x
1
0
,
π
2
x
1
x
2
=
0
x
2
.
Назовем эти операторы
проекторами
(см. рис. 7.2).
7
Линейные пространства и линейные операторы
58
5. Пусть
A
— матрица типа
m
×
n
. Если
x
∈
R
n
, то
Ax
∈
R
m
. Из
свойств матричного умножения следует, что отображение
x
7→
Ax
является линейным оператором
R
n
→
R
m
.
Контрольное упражнение 7.9.
Проверить условия (LO1), (LO2) для
проекторов и оператора умножения на матрицу.
Контрольное упражнение 7.10.
Найти матрицу
A
λ
∈
M
(
n
)
такую,
что
A
λ
x
=
λx
∀
x
∈
R
n
.
Контрольное упражнение 7.11.
Если биективное отображение
A
:
E
→
F
является линейным оператором, то и
A
−
1
:
F
→
E
является
линейным оператором.
Задача 7.1.
Рассмотрим частный пример оператора умножения на
матрицу: пусть оператор
R
ϕ
:
R
2
→
R
2
действует следующим обра-
зом:
R
ϕ
x
=
cos
ϕ
−
sin
ϕ
sin
ϕ
cos
ϕ
x
1
x
2
.
Доказать, что геометрическое действие этого оператора есть пово-
рот вектора
x
на угол
ϕ
(см. рис. 7.3).
1
J
J
]
x
R
ϕ
x
ϕ
рис. 7.3
Задача 7.2.
Любой линейный оператор
A
:
R
n
→
R
m
есть оператор
умножения на матрицу.
Утверждение этой задачи очень важно для дальнейшего нашего по-
вествования. Если
A
:
R
n
→
R
m
— линейный оператор, то соответству-
ющую матрицу будем обозначать той же буквой, но не рукописной, а
прямой:
A
.
Задача 7.3.
Пусть
E, F, G
— линейные пространства,
A
:
E
→
F
и
B
:
F
→
G
— линейные операторы. Тогда их композиция
B ◦ A
:
E
→
G
также является линейным оператором.
8
Подпространства
59
8
Подпространства
Стену можно пробить только головой.
Все остальное - лишь орудия.
Лешек Кумор, польский журналист.
8.1
Определение подпространства
Пусть
E
— линейное пространство. Множество
M
⊂
E
называется
за-
мкнутым относительно сложения
, если
∀
x, y
∈
M x
+
y
∈
M
.
Пример.
Пусть
a, b
∈
E
.
Отрезком
[
a, b
]
называется множество
[
a, b
] :=
{
(1
−
t
)
a
+
tb
}
t
∈
[0
,
1]
.
(24)
Например, для
E
=
R
2
,
a
= (1 0)
T
, b
= (0 1)
T
отрезок
[
a, b
]
пока-
зан на рис. 8.1 жирной линией. Если вектор
(
x
1
x
2
)
T
отождествить с
точкой, имеющей координаты
(
x
1
, x
2
)
, то слово “отрезок” можно пони-
мать в его привычном геометрическом смысле. Из рисунка видно, что
a
+
b
= (1 1)
T
/
∈
[
a, b
]
. Если не смотреть на рисунок, а пользоваться опре-
делением отрезка 24, то надо доказать, что не существует числа
t
∈
[0
,
1]
,
для которого выполнялось бы равенство
(1
−
t
)
a
+
tb
=
a
+
b
. Поскольку
(1
−
t
)
a
+
tb
=
1
−
t
t
,
a
+
b
=
1
1
,
это очевидно.
-
6
1
1
a
b
@
@
@
@
@
@
@
@@
*
2
3
a
+
2
3
b
∈
[
a, b
]
a
+
b /
∈
[
a, b
]
рис. 8.1
Контрольное упражнение 8.1.
Никакой отрезок в линейном про-
странстве не замкнут относительно сложения.
Замечание.
Если вы слышали, что отрезок — это замкнутое мно-
жество, то вам надо понимать, что “замкнутое множество” и “замкнутое
относительно сложения множество” — совершенно разные термины.
8
Подпространства
60
Любое линейное пространство замкнуто относительно сложения. Это
следует непосредственно из определения.
Множество
M
⊂
E
называется
замкнутым относительно умноже-
ния на вещественные числа
, если
∀
x
∈
M,
∀
λ
∈
R
λx
∈
M
.
Очевидно, что рассмотренный нами отрезок
[
a, b
]
⊂
R
2
, где
a
=
(1 0)
T
, b
= (0 1)
T
, не является замкнутым относительно умножения
на числа множеством. Например,
2
a
= (2 0)
T
/
∈
R
2
.
Контрольное упражнение 8.2.
Никакой отрезок в линейном про-
странстве не замкнут относительно умножения на числа.
Всякое линейное пространство замкнуто относительно умножения на
числа.
Определение.
Пусть
E
— линейное пространство. Множество
E
0
⊂
E
, замкнутое относительно сложения векторов и умножения векторов
на числа, называется
подпространством
пространства
E
.
Контрольное упражнение 8.3.
Всякое подпространство линейного
пространства содержит нулевой вектор.
8.2
Примеры
1. Любое линейное пространство является своим собственным под-
пространством.
2. Любое линейное пространство содержит подпространство, состоя-
щее из единственного нулевого вектора:
{
θ
}
. Проверка замкнуто-
сти этого множества относительно сложения и умножения на числа
сводится к проверке равенств
θ
+
θ
=
θ
(поскольку больше скла-
дывать нечего) и
λ
·
θ
=
θ
∀
λ
∈
R
. Первое равенство очевидно, а
второе известно (см. упражнение 7.1).
3. Пусть
E
6
=
{
θ
}
— линейное пространство. Выберем произвольный
ненулевой вектор
a
∈
E
. Множество
L
a
:=
{
t a
:
t
∈
R
}
(25)
называется
прямой, порожденной вектором
a
.
Покажем, что прямая
L
a
является линейным подпространством
пространства
E
. Если
x, y
∈
L
a
, то
x
=
ta, y
=
sa
для некото-
рых
t, s
∈
R
, и
x
+
y
=
ta
+
sa
= (
t
+
s
)
a
. Поскольку
t
+
s
∈
R
,
вектор
x
+
y
принадлежит прямой. Если
x
=
ta
∈
L
a
, то
∀
λ
∈
R
λx
=
λ
(
ta
) = (
λt
)
a
∈
L
a
, потому что
λt
— вещественное число.
4. Частный случай прямой в линейном пространстве — прямая на
плоскости (см. рис. 8.2).