ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 985
Скачиваний: 2
5
Определители
36
5
Определители
При изучении наук примеры полезнее правил.
Ньютон.
О теме «определители» можно сказать ровно то же самое, что было
сказано о предыдущей.
5.1
Определение определителей порядков 1,2,3
При
n
= 1
,
2
,
3
назовем
определителем
(или
детерминантом
) квад-
ратной матрицы
A
порядка
n
число, обозначаемое
det A
или
|
A
|
и
вычисляемое по следующим формулам:
n
= 1 :
A
= (
a
11
)
, det A
=
a
11
;
n
= 2 :
A
=
a
11
a
12
a
21
a
22
,
det A
=
a
11
a
12
a
21
a
22
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
;
n
= 3 :
A
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
,
det A
=
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
13
a
21
a
32
−
a
11
a
23
a
32
−
a
13
a
22
a
31
−
a
12
a
21
a
33
.
Принято пользоваться сокращенным выражением “определитель по-
рядка
n
” вместо “определитель квадратной матрицы порядка
n
”. Для
определителя третьего порядка существует специальная картинка, поз-
воляющая легко запомнить, как он вычисляется:
знак
«
+
»
s
s
s
s
s
s
s
s
s
@
@
@
@@
@
@
@
@
@
@
знак
«
−
»
s
s
s
s
s
s
s
s
s
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
рис. 5.1
Догадайтесь сами, какое отношение этот рисунок имеет к приведен-
ной формуле.
5
Определители
37
5.2
Геометрический смысл определителей малых поряд-
ков
-
6
O
x
1
x
2
y
1
y
2
S
1
S
1
S
2
S
2
S
3
S
3
рис. 5.2
Рассмотрим на плоскости параллелограмм, одна из вершин кото-
рого совпадает с началом координат, а две смежные имеют координа-
ты
(
x
1
, y
1
)
и
(
x
2
, y
2
)
. Четвертая вершина необходимо имеет координаты
(
x
1
+
x
2
, y
1
+
y
2
)
. Площадь этого параллелограмма равна (см. рис. 5.2)
S
= (
x
1
+
x
2
)(
y
1
+
y
2
)
−
2
S
1
−
2
S
2
−
2
S
3
=
x
1
y
2
−
x
2
y
1
=
=
x
1
y
1
x
2
y
2
=
x
1
x
2
y
1
y
2
=
−
y
1
x
1
y
2
x
2
=
−
y
1
y
2
x
1
x
2
.
Таким образом, если в столбцы (или строки) матрицы
2
×
2
записаны
координаты векторов, которые являются сторонами параллелограмма,
то абсолютная величина определителя равна площади параллелограм-
ма. Определитель оказывается
положительной
величиной, если крат-
чайший поворот от первого вектора ко второму совершается
против
часовой стрелки, и
отрицательной
— если этот поворот делается
по
часовой стрелке. Если определитель матрицы равен 0, то векторы кол-
линеарны — в этом случае как раз нельзя сказать, какой поворот — по
или против часовой стрелки — является кратчайшим, а параллелограмм
вырождается в отрезок.
-
` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` ` `
``
``
``
``
``
``
``
`
a
b
c
O
рис. 5.3
5
Определители
38
Аналогичный геометрический смысл имеет и определитель третьего
порядка: абсолютная величина определителя
a
1
b
1
c
1
a
2
b
2
c
2
a
3
b
3
c
3
=
a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
c
1
c
2
c
3
(12)
равна объему параллелепипеда, изображенного на рис. 5.3 (имеется в
виду, что
a
= (
a
1
a
2
a
3
)
T
, b
= (
b
1
b
2
b
3
)
T
, c
= (
c
1
c
2
c
3
)
T
). Как и в
двумерном случае, знак определителя зависит от
ориентации
тройки
векторов
{
a, b, c
}
. Будем говорить, что
{
a, b, c
}
—
правая
тройка, если
с вершины третьего вектора (
c
) поворот от первого (
a
) ко второму (
b
)
виден как поворот
против
часовой стрелки, и
левой
— если он виден как
поворот
по
часовой стрелке (см. рис. 5.4, на котором предполагается, что
векторы, кроме вертикальных, направлены к нам).
6
HH
H
j
a
b
c
6
HH
H
j
b
c
a
6
HH
H
j
c
a
b
6
HH
H
j
b
a
c
6
HH
H
j
c
b
a
6
HH
H
j
a
c
b
правые тройки
левые тройки
рис. 5.4
Из рисунка видно, что если
{
a, b, c
}
— правая тройка, то тройки
{
b, c, a
}
и
{
c, a, b
}
— также правые, а тройки
{
a, c, b
}
,
{
c, b, a
}
и
{
b, a, c
}
— левые, т. е. среди перестановок
a
ր ց
c
←−
b
a
ւ տ
c
−→
b
a
c
←→
b
b
c
←→
a
c
a
←→
b
первые две (они называются
циклическими
) не меняют знака, а осталь-
ные три — меняют.
Определитель (12) положителен, если
{
a, b, c
}
— правая тройка, и
отрицателен, если
{
a, b, c
}
— левая тройка. Если он равен 0, то векторы
5
Определители
39
a, b, c
лежат в одной плоскости, а может быть, даже на одной прямой. В
этом случае нельзя сказать, правую или левую тройку они образуют, а
параллелепипед вырождается в параллелограмм или отрезок.
5.3
Определение определителя произвольного порядка
Заметим, что
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
a
22
a
23
a
32
a
33
−
a
12
a
21
a
23
a
31
a
33
+
a
13
a
21
a
22
a
31
a
32
.
(13)
Назовем
алгебраическим дополнением
элемента
a
ij
квадратной матри-
цы
A
= (
a
ij
)
i,j
=1
...n
число
A
ij
= (
−
1)
i
+
j
M
ij
,
(14)
где
M
ij
— определитель матрицы, получающейся в результате вычерки-
вания из матрицы
A i
-й строки и
j
-го столбца. Используя это обозна-
чение, формулу (13) можно переписать в виде
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
11
A
11
+
a
12
A
12
+
a
13
A
13
.
Легко проверить (
проверьте!
), что подобное соотношение выполняется
и для любой строки, и для любого столбца матрицы
3
×
3
:
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
i
1
A
i
1
+
a
i
2
A
i
2
+
a
i
3
A
i
3
при любом
i
= 1
,
2
,
3
,
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
=
a
1
j
A
1
j
+
a
2
j
A
2
j
+
a
3
j
A
3
j
при любом
j
= 1
,
2
,
3
,
и что таким же образом можно представить и определитель второго
порядка:
a
11
a
12
a
21
a
22
=
=
a
11
A
11
+
a
12
A
12
=
a
21
A
21
+
a
22
A
22
=
a
11
A
11
+
a
21
A
21
=
a
12
A
12
+
a
22
A
22
.
Определителем матрицы
A
= (
a
ij
)
i,j
=1
...n
(определителем
n
-го по-
рядка) называется число, вычисляемое по любой из формул
det A
=
n
X
j
=1
a
ij
A
ij
,
∀
i
= 1
. . . n
(15)
5
Определители
40
(разложение определителя по
i
-й строке) или
det A
=
n
X
i
=1
a
ij
A
ij
,
∀
j
= 1
. . . n
(16)
(разложение определителя по
j
-му столбцу).
Пример.
1 3 1
−
1
1 1 0
2
3 1 0
4
2 7 2
−
2
=
= 1
·
(
−
1)
1+3
·
1 1
2
3 1
4
2 7
−
2
+ 0
·
(
−
1)
2+3
·
1 3
−
1
3 1
4
2 7
−
2
+
0
·
(
−
1)
3+3
·
1 3
−
1
1 1
2
2 7
−
2
+ 2
·
(
−
1)
4+3
·
1 3
−
1
1 1
2
3 1
4
=
=
·
1 1
2
3 1
4
2 7
−
2
−
2
1 3
−
1
1 1
2
3 1
4
=
1
·
1
·
(
−
2) + 1
·
4
·
2 + 2
·
3
·
7
−
1
·
4
·
7
−
1
·
3
·
(
−
2)
−
2
·
1
·
2
−
−
2
1
·
1
·
4 + 3
·
2
·
3 + (
−
1)
·
1
·
1
−
1
·
2
·
1
−
3
·
1
·
4
−
(
−
1)
·
1
·
3
=
= 2
.
Контрольный вопрос 5.1.
По какой строке или какому столбцу был
разложен этот определитель?
Контрольное упражнение 5.2.
Вычислите этот же определитель
любым из оставшихся семи способов.
Итак, вычисление определителя
n
-го порядка сводится к вычисле-
нию определителей порядка
n
−
1
, те, в свою очередь, вычисляются через
определители порядка
n
−
2
, и т. д., пока мы не доберемся до опреде-
лителей малых порядков, которые уже вычисляются непосредственно.
Формулы (15) и (16) дают
2
n
способов вычисления определителя, и, по-
ка мы не
доказали
, что для любой матрицы всякий раз будет получаться
одно и то же число, наше определение в действительности незаконно. В
подобных ситуациях, которые встречаются в математике нередко, гово-
рят о необходимости доказать
корректность
(правильность) определе-
ния. Доказательство корректности определения детерминанта существу-
ет, но ради экономии времени мы не будем проводить его, а сошлемся
на авторитет Алгебры.