ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 988
Скачиваний: 2
5
Определители
41
5.4
Свойства определителей
Определитель
n
-го порядка можно, распространяя естественную при
n
= 3
терминологию на случай произвольного
n
, понимать как
ори-
ентированный
объем
n
-мерного параллелепипеда (одномерный объем
по традиции называется длиной, двумерный — площадью). Многие из
следующих свойств допускают геометрическую интерпретацию.
1
o
.
∀
n det I
n
= 1
(объем
n
-мерного куба с ребром длины 1 равен
единице). Это сразу следует из определения, как и равенство
det diag
(
λ
1
, . . . , λ
n
) =
λ
1
·
. . .
·
λ
n
(объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин ре-
бер).
2
o
. Пусть
A
= (
a
ij
)
i,j
=1
...n
и либо
a
ij
= 0
при
i > j
(т. е.
под
главной
диагональю все элементы нулевые: такая матрица называется
верхне-
треугольной
), либо
a
ij
= 0
при
i < j
(
нижне-треугольная
матрица:
над
главной диагональю все элементы нулевые). Тогда
det A
=
a
11
·
. . .
·
a
nn
.
Это легко доказывается
(
n
−
1)
-кратным разложением по первому столб-
цу или последней строке для верхне-треугольной, и по последнему столб-
цу или первой строке для нижне-треугольной матрицы.
Пример.
1
−
1 10
−
100
0
2
7
9
0
0
3
7
0
0
0
4
= 1
·
(
−
1)
1+1
·
2 7 9
0 3 7
0 0 4
=
= 1
·
2
·
(
−
1)
1+1
·
3 7
0 4
= 1
·
2
·
3
·
(
−
1)
1+1
·
4 = 24
(каждый раз определитель вычислялся разложением по первому столб-
цу).
3
o
.
det A
T
=
det A
. При
n
= 1
,
2
,
3
это можно проверить непосред-
ственно; далее очевидное доказательство по индукции. Отсюда следует,
что в любом верном утверждении об определителях можно слово “стол-
бец” заменить на “строка”, а “строка” — на “столбец”, и утверждение
останется верным.
4
o
. Если в матрице есть нулевая строка или столбец, то определитель
ее равен 0. Доказательство и геометрический смысл очевидны.
5
Определители
42
5
o
. Если строку или столбец матрицы умножить на число, то опре-
делитель умножится на это же число:
a
11
. . .
λa
1
k
. . .
a
1
n
a
21
. . .
λa
2
k
. . .
a
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n
1
. . .
λa
nk
. . .
a
nn
=
a
11
. . .
a
1
n
. . .
. . .
. . .
λa
l
1
. . .
λa
ln
. . .
. . .
. . .
a
n
1
. . .
a
nn
=
λ
a
11
. . .
a
1
n
. . .
. . .
. . .
a
n
1
. . .
a
nn
.
(доказываются эти равенства разложением по соответствующей строке
или столбцу; понятно, что если параллелепипед растянуть в
λ
раз в
одном каком-нибудь направлении, то и объем его увеличится в
λ
раз).
6
o
. Если
e
A
= (
A
(1)
. . . A
(
j
−
1)
e
A
(
j
)
A
(
j
+1)
. . . A
(
n
)
)
,
A
= (
A
(1)
. . . A
(
j
−
1)
A
(
j
)
A
(
j
+1)
. . . A
(
n
)
)
,
A
= (
A
(1)
. . . A
(
j
−
1)
e
A
(
j
)
+
A
(
j
)
A
(
j
+1)
. . . A
(
n
)
)
,
то
det A
=
det
e
A
+
det A.
Доказательство очевидно, если разложить все три определителя по
j
-му
столбцу. Двумерную геометрическую иллюстрацию этого свойства дает
рис. 5.5.
-
A
A
AK
A
A
A
A
(1)
e
A
(2)
A
(2)
e
S
S
-
A
A
A
(1)
A
(2)
=
=
e
A
(2)
+
A
(2)
S
=
e
S
+
S
A
A
A
рис. 5.5
7
o
. Если два столбца матрицы поменять местами, то ее определи-
тель сменит знак: в этом случае меняется ориентация набора ребер. Это
утверждение очевидно для
n
= 2
, а далее его можно доказать по индук-
ции.
8
o
. Если матрица содержит два одинаковых столбца, то ее определи-
тель равен 0 — очевидное следствие свойства
7
o
. Ясно, что если два ребра
параллелепипеда совпадают, то он вырождается и имеет нулевой объем.
Столь же ясно, что если два ребра коллинеарны, то параллелепипед то-
же вырождается. На язык определителей это утверждение переводится
5
Определители
43
так: если два столбца матрицы пропорциональны, то ее определитель
равен 0 (в доказательстве используется свойство
5
o
).
9
o
. Если к одному из столбцов матрицы прибавить другой столбец,
умноженный на некоторое число, то определитель не изменится, т. е.
det
(
A
(1)
. . . A
(
i
)
. . . A
(
j
)
. . . A
(
n
)
) =
det
(
A
(1)
. . . A
(
i
)
+
λA
(
j
)
. . . A
(
j
)
. . . A
(
n
)
)
(см. рис. 5.6).
-
A
(1)
A
(2)
←
→
площади
равны
-
A
(1)
A
(2)
+
λA
(1)
рис. 5.6
Доказательство.
det
(
A
(1)
. . . A
(
i
)
+
λA
(
j
)
. . . A
(
j
)
. . . A
(
n
)
)
6
o
=
6
o
=
det
(
A
(1)
. . . A
(
i
)
. . . A
(
j
)
. . . A
(
n
)
) +
λ det
(
A
(1)
. . . A
(
j
)
. . . A
(
j
)
. . . A
(
n
)
)
8
o
=
8
o
=
det
(
A
(1)
. . . A
(
i
)
. . . A
(
j
)
. . . A
(
n
)
)
.
Контрольное упражнение 5.3.
Доказать свойства
2
o
−
8
o
.
5.5
Вычисление определителя приведением к треуголь-
ному виду
Мы покажем, как вычисление определителя
n
-го порядка можно свести
— используя свойства
3
o
,
7
o
и
9
o
предыдущего пункта — к вычислению
определителя треугольной матрицы. Рассмотрим матрицу
A
=
a
11
. . .
a
1
n
. . .
. . .
. . .
a
n
1
. . .
a
nn
.
Если весь первый столбец нулевой, то
det A
= 0
; если
∃
i
:
a
i
1
6
= 0
,
то, поменяв местами 1-ю и
i
-ю строки, мы добьемся того, чтобы в левом
верхнем углу стоял ненулевой элемент. Сейчас, чтобы не осложнять обо-
значений, будем считать, что
a
11
6
= 0
. Теперь для
i
= 2
. . . n
прибавим
к
i
-й строке первую строку, умноженную на число
(
−
a
i
1
a
11
) :
получим
a
11
a
12
. . .
a
1
n
a
21
a
22
. . .
a
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n
1
a
n
2
. . .
a
nn
=
a
11
a
12
. . .
a
1
n
0
e
a
22
. . .
e
a
2
n
. . .
. . .
. . .
. . .
0
e
a
n
2
. . .
e
a
nn
,
5
Определители
44
где
e
a
ij
=
a
ij
−
a
i
1
a
11
a
1
j
. Проделав то же самое со столбцом
(
e
a
22
. . .
e
a
n
2
)
T
,
придем к определителю
a
11
a
12
. . .
0
e
a
22
. . .
0
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
,
затем обратимся к третьему столбцу и т. д. В конце концов получим
верхне-треугольную матрицу, определитель которой равен определите-
лю исходной матрицы.
В нижеследующих примерах, чтобы удобнее было уследить за про-
изводимыми нами действиями, будем отмечать эти действия значками
рядом с определителем. Обозначения интуитивно понятны (еще раз ска-
жем, что действий всего три: обмен двух строк или столбцов местами,
вынесение из строки или столбца общего множителя за знак определи-
теля и прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца), умно-
женной на некоторое число). Цифра в квадратных скобках — это номер
строки или столбца, участвующих в данном действии. Если действие
производится над строкой, то его обозначение будем писать справа от
строки, если над столбцом — то внизу.
Пример 1.
2
3 3 2
1
−
4 5 1
4
0 0 0
0
−
1 2 1
[1]
↔
[3]
7
o
=
−
4
0 0 0
1
−
4 5 1
2
3 3 2
0
−
1 2 1
[2]
−
[4]
[3]
−
2[4]
9
o
=
9
o
=
−
4
0
0 0
1
−
3
3 0
2
5
−
1 0
0
−
1
2 1
[3]+[2]
9
o
=
−
4
0 0 0
1
−
3 0 0
2
5 4 0
0
−
1 1 1
2
o
=
−
4
·
(
−
3)
·
4
·
1 = 48
.
Пример 2.
2
0
−
8 6
2
−
1
3 1
6
−
3
9 2
−
4
2
−
6 1
[1]
·
1
2
5
o
=
2
1
0
−
4 3
2
−
1
3 1
6
−
3
9 2
−
4
2
−
6 1
[1]+2[2]
[3]+3[2]
9
o
=
5
Определители
45
9
o
=
2
1
0
−
4 3
0
−
1
0 1
0
−
3
0 2
0
2
0 1
[2]
↔
[3]
7
o
=
2
1
−
4
0 3
0
0
−
1 1
0
0
−
3 2
0
0
2 1
= 0
.
Во втором примере, когда на главной диагонали появился ноль, мы
тотчас же прекратили вычисления, потому что в этот момент стало ясно,
что определитель равен 0.
Задача 5.1.
Матрица
A
∈
M
(
n
)
называется
блочно-треугольной
если
она имеет вид
A
=
A
1
*
0
A
2
,
где
A
1
— квадратная матрица порядка
r
(блок размера
r
×
r
),
A
2
—
квадратная матрица порядка
n
−
r
(блок размера
(
n
−
r
)
×
(
n
−
r
)
),
0
обозначает блок
(
n
−
r
)
×
r
, заполненный нулями, а
∗
— блок разме-
ра
r
×
(
n
−
r
)
, элементы которого нам не интересны. Доказать, что
det A
= (
det A
1
)
·
(
det A
2
)
.
Задача 5.2.
det
(
AB
) = (
det A
)
·
(
det B
)
(
A
и
B
— квадратные матрицы
одного порядка).
5.6
Миноры. Ранг матрицы
Величина
M
ij
, участвующая в определении алгебраического дополне-
ния, является частным случаем
минора
. Если в матрице
A
= (
a
ij
)
i
=1
...m
j
=1
...n
выбрать
r
строк
A
(
i
1
)
, . . . , A
(
i
r
)
и
r
столбцов
A
(
j
1
)
, . . . , A
(
j
r
)
то опре-
делитель квадратной матрицы, составленной из элементов, стоящих на
пересечении этих строк и столбцов, называется
минором порядка
r
мат-
рицы
A
. Обозначим его
M
(
i
1
, . . . , i
r
;
j
1
, . . . , j
r
)
:
M
(
i
1
, . . . , i
r
;
j
1
, . . . , j
r
) =
a
i
1
j
1
. . .
a
i
1
j
r
. . .
. . .
. . .
a
i
r
j
1
. . .
a
i
r
j
r
.
Понятно, что наибольший порядок минора
(
m
×
n
)
-матрицы равен
min
(
m, n
)
.
Наибольший порядок
ненулевого
минора матрицы
A
называется
ран-
гом
матрицы
A
и обозначается
rk A
. Ясно, что
rk A
≤
min
(
m, n
)
, если
A
∈
M
(
m, n
)
.
Пример.
A
=
1
−
3
2
−
2
6
−
4
∈
M
(2
,
3)
. Из этой матрицы можно
извлечь шесть миноров первого порядка (все ненулевые) и три минора
второго порядка:
1
−
3
−
2
6
= 0;
1
2
−
2
−
4
= 0;
−
3
2
6
−
4
= 0
.