ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 991
Скачиваний: 2
8
Подпространства
61
3
3
+
A
A
AK
H
H
H
Y
3
2
a
a
−
a
L
a
M
O
b
2
b
1
b
3
рис. 8.2
Отметим, что множество
M
на рисунке 8.2 — прямая в геометриче-
ском смысле —
не
является подпространством в
R
2
(очевидно, что
M
не замкнуто ни относительно сложения, ни относительно умно-
жения ни числа). Ниже мы определим понятие
аффинного подпро-
странства
, и тогда сможем назвать
M
аффинной прямой.
Контрольное упражнение 8.4.
L
a
=
L
−
a
.
8.3
Сумма множеств. Аффинные подпространства
Пусть
M, N
— подмножества линейного пространства
E
.
Суммой
мно-
жеств
M
и
N
называется множество
M
+
N
=
{
x
+
y
:
x
∈
M, y
∈
N
}
.
Если одно из множеств состоит из единственного вектора, — например,
M
=
{
x
}
, то вместо
{
x
}
+
N
можно писать просто
x
+
N
(про это мно-
жество говорят, что оно получено сдвигом множества
N
на вектор
x
).
Примеры.
1.
Пусть
a
= (1 0)
T
,
b
= (0 1)
T
. Покажем, что на плоскости
R
2
сумма
множеств
[
θ, a
] + [
θ, b
]
есть квадрат
K
, изображенный на рис. 8.3.
-
6
-
6
*
K
a
b
x
y
x
+
y
∈
K
рис. 8.3
8
Подпространства
62
Множество
K
можно задать так:
K
=
{
x
= (
x
1
x
2
)
T
∈
R
2
: 0
≤
x
1
≤
1
,
0
≤
x
2
≤
1
}
.
Поэтому
∀
x
∈
K x
= (
x
1
x
2
)
T
=
x
1
a
+
x
2
b
=
((1
−
x
1
)
θ
+
x
1
a
) + ((1
−
x
2
)
θ
+
x
2
b
)
. По определению,
((1
−
x
1
)
θ
+
x
1
a
)
∈
[
θ, a
]
,
((1
−
x
2
)
θ
+
x
2
b
)
∈
[
θ, b
]
, стало быть,
x
∈
[
θ, a
] + [
θ, b
]
. Этим мы
доказали, что
K
⊂
[
θ, a
] + [
θ, b
]
. Проверим теперь обратное включение.
Если
x
∈
[
θ, a
] + [
θ, b
]
, то, по определению суммы множеств,
x
=
u
+
v
,
где
u
∈
[
θ, a
]
(то есть
u
= (1
−
t
)
θ
+
ta
для некоторого
t
∈
[0
,
1]
), а
v
∈
[
θ, b
]
(то есть
u
= (1
−
s
)
θ
+
sb
для некоторого
s
∈
[0
,
1]
). Следовательно,
x
=
((1
−
t
)
θ
+
ta
) + ((1
−
s
)
θ
+
sb
) =
ta
+
sb
=
t
1
0
+
s
0
1
=
t
0
+
0
s
=
t
s
.
Поскольку
0
≤
t
≤
1
и
0
≤
s
≤
1
,
x
∈
K
. Включение
[
θ, a
] + [
θ, b
]
⊂
K
, а с ним и равенство этих множеств, доказаны.
2.
Множество
M
на рис. 8.2 можно представить в виде
b
+
L
a
, где
b
—
любой
вектор, принадлежащий
M
. Например,
b
2
=
b
1
+
a
,
b
3
=
b
1
−
1
2
a
.
Множество
u
+
E
0
, где
E
0
— подпространство линейного пространства
E
, а
u /
∈
E
0
, называется
аффинным подпространством
пространства
E
. Аффинное подпространство
не
является подпространством. Чтобы
это проверить (и для общей тренировки) покажем, что аффинное под-
пространство не может быть замкнутым относительно сложения. Пусть
x, y
∈
(
u
+
E
0
)
. Это означает, что
x
=
u
+
e
x
,
y
=
u
+
e
y
, где
e
x,
e
y
∈
E
0
.
Предположив, что
(
x
+
y
)
∈
(
u
+
E
0
)
, получаем
x
+
y
=
u
+
e
w,
где
e
w
∈
E
0
;
x
+
y
= (
u
+
e
x
) + (
u
+
e
y
) = 2
u
+
e
x
+
e
y
= 2
u
+
e
z,
где
e
z
∈
E
0
.
Стало быть,
u
+
e
w
= 2
u
+
e
z,
e
w
=
u
+
e
z,
u
=
e
z
−
e
w.
Поскольку
e
z,
e
w
∈
E
0
, и их разность должна принадлежать
E
0
, но ,по
условию,
u /
∈
E
0
. Следовательно, предположение
(
x
+
y
)
∈
(
u
+
E
0
)
ложно.
Если
E
0
— прямая, то аффинное подпространство
u
+
E
0
естественно
назвать аффинной прямой.
Итак, множество
M
на рис. 8.2 — аффинная прямая.
Теорема 8.1.
Если
E
1
и
E
2
— подпространства линейного простран-
ства
E
, то пересечение
E
1
∩
E
2
и сумма
E
1
+
E
2
также являются
подпространствами.
Контрольное упражнение 8.5.
Доказать теорему.
8
Подпространства
63
8.4
Прямая сумма
Если
E
1
и
E
2
— подпространства линейного пространства
E
, такие, что
E
1
∩
E
2
=
{
θ
}
, то сумма
E
1
+
E
2
называется
прямой
суммой и обозна-
чается
E
1
⊕
E
2
.
Если при этом
E
1
⊕
E
2
=
E
, то говорят, что пространство
E
разло-
жено в прямую сумму подпространств
E
1
и
E
2
. Подпространства
E
1
и
E
2
называются
дополнительными
друг к другу или
прямыми дополне-
ниями
друг друга.
Примеры. 1.
Определим в
R
2
подпространства
E
1
=
{
t
0
:
t
∈
R
}
=
{
x
=
x
1
x
2
∈
R
2
:
x
2
= 0
}
,
E
2
=
{
0
t
:
t
∈
R
}
=
{
x
=
x
1
x
2
∈
R
2
:
x
1
= 0
}
.
Проверим, что
E
1
⊕
E
2
=
R
2
. Условие
E
1
∩
E
2
=
{
θ
}
очевидно и
геометрически (картинку нарисуйте сами), и легко проверяется: если
x
= (
x
1
x
2
)
T
∈
E
1
∩
E
2
, то из условия
x
∈
E
1
следует
x
2
= 0
, а из
x
∈
E
2
следует, что
x
1
= 0
. Итак, пересечение
E
1
∩
E
2
содержит только нулевой
вектор. Равенство
E
1
+
E
2
=
R
2
проверяется столь же легко: любой век-
тор
x
=
x
1
x
2
∈
R
2
представляется в виде
x
1
0
+
0
x
2
,
x
1
0
∈
E
1
,
0
x
2
∈
E
2
.
2.
Пусть
a, b
∈
R
2
— два ненулевых не коллинеарных вектора (то есть
a
6
=
λb
ни при каком
λ
∈
R
),
L
a
и
L
b
— прямые, порожденные векторами
a
и
b
соответственно. Докажите самостоятельно, что
L
a
⊕
L
b
=
R
2
.
3
(обобщение примера 1). Рассмотрим в пространстве
R
n
подпро-
странства
E
r
=
{
x
= (
x
1
. . . x
r
0
. . .
0)
T
:
x
1
∈
R
, . . . , x
r
∈
R
}
=
=
{
x
= (
x
1
. . . x
n
)
T
∈
R
n
:
x
r
+1
=
. . .
=
x
n
= 0
}
,
E
n
−
r
=
{
x
= (0
. . .
0
x
r
+1
. . . x
n
)
T
:
x
r
+1
∈
R
, . . . , x
n
∈
R
}
=
=
{
x
= (
x
1
. . . x
n
)
T
∈
R
n
:
x
1
=
. . .
=
x
r
= 0
}
.
Аналогично тому, как это было сделано в примере 1, проверяется,
что
E
r
⊕
E
n
−
r
=
R
n
.
8
Подпространства
64
8.5
Ядро и образ линейного оператора
Пусть
E
и
F
— линейные пространства,
A
:
E
→
F
— линейный опе-
ратор. Полный прообраз нулевого вектора при действии оператора
A
называется
ядром
оператора
A
и обозначается
Ker A
:
Ker
A
=
A
−
1
(
θ
F
) =
{
x
∈
E
:
A
x
=
θ
F
}
.
(26)
Напомним, что
образ
линейного оператора
A
(как и всякого отобра-
жения) — это множество всех значений
A
:
Im
A
=
{A
x
:
x
∈
E
}
=
{
y
∈
F
:
∃
x
∈
E
:
A
x
=
y
}
.
Контрольное упражнение 8.6.
Найти ядра и образы линейных опе-
раторов из пункта 7.4.
Теорема 8.2.
Ядро и образ линейного оператора — линейные подпро-
странства.
Доказательство.
Пусть
A
:
E
→
F
— линейный оператор. Пока-
жем, что множества
Ker
A ⊂
E
и
Im
A ⊂
F
замкнуты относительно
сложения и умножения на числа.
Для
x,
e
x
∈
Ker
A
, λ
∈
R
имеем
A
(
x
+
e
x
) =
A
x
+
A
e
x
=
θ
+
θ
=
θ,
A
(
λx
) =
λ
A
x
=
λθ
=
θ.
Этим доказано, что
Ker
A
— подпространство в
E
.
Пусть теперь
y,
e
y
∈
Im
A
. Это означает, что существуют такие
x
∗
,
e
x
∗
∈
E
, что
A
x
∗
=
y,
A
e
x
∗
=
e
y
. Но тогда
A
(
x
∗
+
e
x
∗
) =
A
x
∗
+
A
e
x
∗
=
y
+
e
y,
то есть у вектора
y
+
e
y
имеется прообраз
x
∗
+
e
x
∗
, и, следовательно,
y
+
e
y
∈
Im
A
. Далее,
∀
λ
∈
R
A
(
λx
∗
) =
λ
A
x
∗
=
λy
⇒
λy
∈
Im
A
.
Теорема доказана.
Мы доказали, что
A
−
1
(
θ
F
)
есть подпространство в
E
. Покажем те-
перь, что
∀
y
∈
F
A
−
1
(
y
)
либо пусто, либо является аффинным под-
пространством в
E
. Пусть
A
−
1
(
y
)
6
=
∅
. Выберем произвольный вектор
x
0
∈ A
−
1
(
y
)
и покажем, что
A
−
1
(
y
) =
x
0
+
Ker
A
.
Доказательство включения
A
−
1
(
y
)
⊂
x
0
+
Ker
A
. Если
x
∈ A
−
1
(
y
)
,
то
A
(
x
−
x
0
) =
A
x
− A
x
0
=
y
−
y
=
θ
, поэтому
(
x
−
x
0
)
∈
Ker
A
, и вектор
x
, будучи представлен в виде
x
=
x
0
+ (
x
−
x
0
)
, принадлежит множеству
x
0
+
Ker
A
.
Контрольное упражнение 8.7.
Доказать включение
A
−
1
(
y
)
⊃
x
0
+
Ker
A
.
9
Базис и размерность
65
9
Базис и размерность
Пояснительные выражения
объясняют темные мысли.
Козьма Прутков.
9.1
Линейная зависимость и линейная независимость
Линейная комбинация
n
X
j
=1
λ
j
x
j
векторов
x
1
, . . . , x
n
линейного пространства
E
называется
нетривиаль-
ной
, если хотя бы один из коэффициентов
λ
1
, . . . , λ
n
не равен 0. Соот-
ветственно, линейная комбинация
0
·
x
1
+
. . .
+ 0
·
x
n
называется
три-
виальной
. Понятно, что тривиальная линейная комбинация всегда дает
нулевой вектор:
P
0
·
x
j
=
θ
; но и нетривиальная комбинация ненулевых
векторов может оказаться равной нулевому вектору: например,
3
1
0
−
2
0
1
+
−
3
2
=
θ
∈
R
2
.
Контрольное упражнение 9.1.
∀
x, y
∈
L
a
существует нетривиаль-
ная линейная комбинация, равная
θ
.
Мы будем пользоваться следующим техническим термином:
систе-
мой векторов
назовем
упорядоченный
набор векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
(скоб-
ки здесь употребляются только для удобства).
Система векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
называется
линейно зависимой
, если
существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная
нулевому вектору:
n
X
j
=1
λ
j
x
j
=
θ,
∃
k
:
λ
k
6
= 0
.
(27)
Система векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
называется
линейно независимой
, если
она не является линейно зависимой, то есть если
только
тривиальная
линейная комбинация дает нулевой вектор:
n
X
j
=1
λ
j
x
j
=
θ
⇒
λ
1
=
· · ·
=
λ
n
= 0
.
Примеры.
1. Векторы
(1 0)
T
,
(0 1)
T
,
(
−
3 2)
T
линейно зависимы.