ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 989

Скачиваний: 2

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

9

Базис и размерность

66

2. Из упражнения 9.1 следует, что любые два вектора на прямой ли-

нейно зависимы.

3. Любой набор векторов, содержащий нулевой вектор, является ли-

нейно зависимым: если взять нулевой вектор с коэффициентом 1,
а остальные векторы — с коэффициентом 0, то получим нетриви-
альную линейную комбинацию, равную

θ

.

4. Векторы

(1 0)

T

и

(0 1)

T

линейно независимы. В самом деле, если

λ

1

(1 0)

T

+

λ

2

(0 1)

T

=

θ

, то, очевидно,

λ

1

=

λ

2

= 0

.

5. Покажем, что для любого вектора

x

R

2

векторы

(1 0)

T

,

(0 1)

T

, x

линейно зависимы. Если

x

= (

x

1

x

2

)

T

, то

x

1

1
0

+

x

2

0
1

x

1

x

2

есть нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому векто-
ру.

Контрольное упражнение 9.2.

Система, состоящая из единствен-

ного ненулевого вектора, линейно независима.

Контрольное упражнение 9.3.

Система векторов, содержащая два

одинаковых вектора, линейно зависима.

Теорема 9.1

(критерий линейной зависимости)

.

Система векторов

(

x

1

, . . . , x

n

)

линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы

один из ее векторов является линейной комбинацией остальных:

k

:

x

k

=

α

1

x

1

+

. . .

+

α

k

1

x

k

1

+

α

k

+1

x

k

+1

+

. . .

+

α

n

x

n

.

(28)

Доказательство.

1) Пусть векторы

x

1

, . . . , x

n

линейно зависимы. Запи-

шем для них нетривиальную линейную комбинацию, равную нулевому
вектору:

n

X

j

=1

λ

j

x

j

=

θ.

(29)

Пусть

k

— номер ненулевого коэффициента:

λ

k

6

= 0

. Тогда

x

k

=

λ

1

λ

k

x

1

. . .

λ

k

1

λ

k

x

k

1

λ

k

+1

λ

k

x

k

+1

. . .

λ

n

λ

k

x

n

.

Это равенство в точности имеет вид (28).

2) Пусть для векторов

x

1

, . . . , x

n

выполнено равенство (28). Тогда

линейная комбинация

α

1

x

1

. . .

α

k

1

x

k

1

+

x

k

α

k

+1

x

k

+1

. . .

α

n

x

n


background image

9

Базис и размерность

67

равна

θ

и нетривиальна (коэффициент при

x

k

равен 1).

Теорема доказана.

Замечание.

Утверждение теоремы 9.1 можно было бы сделать опре-

делением линейной зависимости; тогда наше определение стало бы тео-
ремой.

Если вектор

y

является линейной комбинацией векторов

x

1

, . . . , x

n

,

то скажем, что вектор

y

линейно выражается

через

x

1

, . . . , x

n

.

Теорема 9.2.

Если к линейно зависимой системе векторов приписать

еще один вектор, то новая система также будет линейно зависимой;
если из линейно независимой системы удалить один вектор, то новая
система также будет линейно независимой.

Доказательство.

Пусть

λ

1

x

1

+

. . .

+

λ

n

x

n

=

θ

и

λ

k

6

= 0

, то есть векторы

x

1

, . . . , x

n

линейно зависимы. Тогда для любого вектора

e

x

линейная ком-

бинация

λ

1

x

1

+

. . .

+

λ

n

x

n

+ 0

·

e

x

нетривиальна и дает нулевой вектор. Это

умозаключение доказывает и первое, и второе утверждения теоремы.

Контрольное упражнение 9.4.

Привести примеры:

линейно независимой системы векторов

(

x

1

, . . . , x

n

)

и вектора

e

x

,

таких, что векторы

x

1

, . . . , x

n

,

e

x

линейно независимы;

линейно независимой системы векторов

(

x

1

, . . . , x

n

)

и вектора

e

x

,

таких, что векторы

x

1

, . . . , x

n

,

e

x

линейно зависимы;

линейно зависимой системы векторов

(

x

1

, . . . , x

n

1

, x

n

)

, такой,

что векторы

x

1

, . . . , x

n

1

линейно независимы;

линейно зависимой системы векторов

(

x

1

, . . . , x

n

1

, x

n

)

, такой,

что векторы

x

1

, . . . , x

n

1

линейно зависимы.

9.2

Линейная оболочка

Множество всевозможных линейных комбинаций векторов

x

1

, . . . , x

n

называется

линейной оболочкой

векторов

x

1

, . . . , x

n

и обозначается

Lin

(

x

1

, . . . , x

n

)

:

Lin

(

x

1

, . . . , x

n

) =

{

λ

1

x

1

+

. . .

+

λ

n

x

n

, λ

1

, . . . , λ

n

R

}

.

(30)

Линейная оболочка векторов пространства

E

всегда является под-

пространством

E

. В самом деле, если

e

x

=

e

λ

1

x

1

+

. . .

+

e

λ

n

x

n

,

x

=

λ

1

x

1

+

. . .

+

λ

n

x

n

,

то вектор

e

x, x

представляется в виде линейной комбинации векторов

x

1

, . . . , x

n

с коэффициентами

(

e

λ

1

+

λ

1

)

, . . . ,

(

e

λ

n

+

λ

n

)

, а вектор

λ

·

e

x

в виде линейной комбинации с коэффициентами

λ

e

λ

1

, . . . , λ

e

λ

n

.


background image

9

Базис и размерность

68

Если

Lin

(

x

1

, . . . , x

n

) =

E

, то скажем, что векторы

x

1

, . . . , x

n

порож-

дают

линейное пространство

E

, или что система векторов

(

x

1

, . . . , x

n

)

является

порождающей

в пространстве

E

.

Примеры.

1. Ненулевой вектор

a

порождает прямую

L

a

(мы уже давно приме-

няем в этом случае к прямой

L

a

слово “порожденная”; теперь стало

ясно, откуда это слово взялось).

2. Векторы

1
0

и

0
1

порождают

R

2

(это очевидно).

3. Векторы

(1 0 0)

T

и

(0 1 0)

T

порождают в

R

3

подпространство

{

x

3

= 0

}

.

Очевидно, что

Lin

(

x

1

, . . . , x

n

)

Lin

(

x

1

, . . . , x

n

,

e

x

)

для любых векто-

ров

x

1

, . . . , x

n

,

e

x

.

9.3

Базис. Размерность

Базисом

линейного пространства

E

называется линейно независимая си-

стема векторов, порождающая пространство

E

.

Примеры.

1. Базис прямой

L

a

состоит из единственного вектора

a

.

2. Векторы

1
0

и

0
1

образуют базис пространства

R

2

.

3. Вообще, для любого натурального

n

в пространстве

R

n

базисом

является система векторов

1
0

..

.

0

,

0
1

..

.

0

, . . . ,

0
0

..

.

1

.

Этот базис называется

стандартным базисом

пространства

R

n

.

4. Покажем, что векторы

f

1

=

1
1

и

f

2

=

1

1

образуют базис

в

R

2

.

Во-первых, если

λ

1

f

1

+

λ

2

f

2

=

θ

, то

λ

1

и

λ

2

удовлетворяют системе

уравнений

λ

1

+

λ

2

= 0

λ

1

λ

2

= 0

,


background image

9

Базис и размерность

69

у которой, очевидно, есть только одно решение

λ

1

=

λ

2

= 0

.

Чтобы показать, что

Lin

(

f

1

, f

2

) =

R

2

, то есть что все векторы

плоскости линейно выражаются через

f

1

, f

2

, заметим, что векторы

e

1

:=

1
0

и

e

2

:=

0
1

выражаются через

f

1

, f

2

:

1
2

f

1

+

1
2

f

2

=

e

1

,

1
2

f

1

1
2

f

2

=

e

2

.

А поскольку любой вектор

x

R

2

выражается через

e

1

, e

2

:

x

1

x

2

=

x

1

e

1

+

x

2

e

2

,

его можно выразить и через

f

1

, f

2

:

x

1

x

2

=

x

1

(

1
2

f

1

+

1
2

f

2

)+

x

2

(

1
2

f

1

1
2

f

2

) = (

1
2

x

1

+

1
2

x

2

)

f

1

+(

1
2

x

1

1
2

x

2

)

f

2

.

Последний пример показывает, что в линейном пространстве может

быть больше одного базиса. В действительности в любом веществен-
ном линейном пространстве бесконечно много базисов. Однако у бази-
сов плоскости

(

e

1

, e

2

)

и

(

f

1

, f

2

)

есть нечто общее. Именно, оба состоят

из двух векторов.

Теорема 9.3.

В произвольном линейном пространстве любые два ба-

зиса содержат одинаковое количество векторов.

Доказательство

(для желающих).

Пусть

(

e

1

, . . . , e

n

)

и

(

f

1

, . . . , f

m

)

базисы линейного пространства

E

. Одно из неравенств

n

m, m

n

верно. Пусть, для определенности,

n

m

. Разложим вектор

f

1

по базису

(

e

1

, . . . , e

n

) :

f

1

=

α

1

e

1

+

. . .

+

α

n

e

n

. Поскольку

f

1

6

=

θ

, при некотором

k α

k

6

= 0

. Для удобства будем считать, что

α

1

6

= 0

(это предположе-

ние не ограничивает общности: если оно неверно, то можно поменять
местами

e

1

и

e

k

). Теперь покажем, что

(

f

1

, e

2

, . . . , e

n

)

— базис. Если

λ

1

f

1

+

λ

2

e

2

+

. . .

+

λ

n

e

n

=

θ

, то, воспользовавшись выражением

f

1

через

векторы

e

1

, . . . , e

n

, получим

λ

1

(

α

1

e

1

+

. . .

+

α

n

e

n

) +

λ

2

e

2

+

. . .

+

λ

n

e

n

=

θ,

λ

1

α

1

e

1

+ (

λ

1

α

2

+

λ

2

)

e

2

+

. . .

+ (

λ

1

α

n

+

λ

n

)

e

n

=

θ.

Из этого равенства, в силу линейной независимости векторов

e

1

, . . . , e

n

,

следует, что

λ

1

α

1

=

λ

1

α

2

+

λ

2

=

. . .

=

λ

1

α

n

+

λ

n

= 0

.


background image

9

Базис и размерность

70

Мы знаем, что

α

1

6

= 0

: значит,

λ

1

= 0

, и, следовательно,

λ

2

=

. . .

=

λ

n

= 0

. Итак, векторы

f

1

, e

2

, . . . , e

n

линейно независимы. Проверим те-

перь, что они порождают пространство

E

:

x

E

x

=

ξ

1

e

1

+

ξ

2

e

2

+

. . .

+

ξ

n

e

n

=

ξ

1

(

1

α

1

f

1

α

2

α

1

e

2

. . .

α

n

α

1

e

n

) +

ξ

2

e

2

+

. . .

+

ξ

n

e

n

=

=

ξ

1

α

1

f

1

+ (

ξ

2

ξ

1

α

2

α

1

)

e

2

+

. . .

+ (

ξ

n

ξ

1

α

n

α

1

)

e

n

.

Итак, произвольный вектор

x

E

выражается через

f

1

, e

2

, . . . , e

n

, и мы

доказали, что

(

f

1

, e

2

, . . . , e

n

)

— базис в

E

. Значит, вектор

f

2

выражается

через

f

1

, e

2

, . . . , e

n

:

f

2

=

β

1

f

1

+

β

2

e

2

+

. . .

+

β

n

e

n

.

Не может быть, чтобы выполнялось равенство

f

2

=

β

1

f

1

(это озна-

чало бы, что векторы

f

1

и

f

2

линейно зависимы); стало быть, среди

коэффициентов

β

2

, . . . , β

n

есть ненулевой. Пусть, для удобства,

β

2

6

=

0

. Тогда рассуждение, подобное приведенному выше, доказывает, что

(

f

1

, f

2

, e

3

, . . . , e

n

)

— базис. Если это рассуждение повторить

n

раз, на

каждом шаге вытесняя вектор

e

j

вектором

f

j

, мы в конце концов при-

дем к тому, что векторы

f

1

, f

2

, . . . , f

n

образуют базис.

Теперь вспомним, что

n

m

, то есть либо

n

=

m

, либо

n < m

.

Если

n < m

, то в базисе

f

1

, f

2

, . . . , f

m

есть вектор

f

n

+1

. Поскольку

(

f

1

, f

2

, . . . , f

n

)

— базис, вектор

f

n

+1

выражается через

f

1

, f

2

, . . . , f

n

, но

это означает, что векторы

f

1

, f

2

, . . . , f

m

линейно зависимы.

Полученное противоречие доказывает, что предположение

n < m

не

может быть верным. Следовательно,

n

=

m

. Теорема доказана.

Если в линейном пространстве

E

существует базис, то оно называется

конечномерным

. Количество векторов в произвольном базисе простран-

ства

E

называется

размерностью

пространства

E

и обозначается

dim E.

Например,

dim

R

n

=

n, dim L

a

= 1

.

Задача 9.1.

dim M(m,n)=mn.

Пространство

{

θ

}

также считается конечномерным, и его размер-

ность полагается равной 0 (хотя под данное нами определение это про-
странство не подходит: в нем нет базиса, поскольку не существует ли-
нейно независимой системы векторов).