ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 984
Скачиваний: 2
9
Базис и размерность
66
2. Из упражнения 9.1 следует, что любые два вектора на прямой ли-
нейно зависимы.
3. Любой набор векторов, содержащий нулевой вектор, является ли-
нейно зависимым: если взять нулевой вектор с коэффициентом 1,
а остальные векторы — с коэффициентом 0, то получим нетриви-
альную линейную комбинацию, равную
θ
.
4. Векторы
(1 0)
T
и
(0 1)
T
линейно независимы. В самом деле, если
λ
1
(1 0)
T
+
λ
2
(0 1)
T
=
θ
, то, очевидно,
λ
1
=
λ
2
= 0
.
5. Покажем, что для любого вектора
x
∈
R
2
векторы
(1 0)
T
,
(0 1)
T
, x
линейно зависимы. Если
x
= (
x
1
x
2
)
T
, то
x
1
1
0
+
x
2
0
1
−
x
1
x
2
есть нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому векто-
ру.
Контрольное упражнение 9.2.
Система, состоящая из единствен-
ного ненулевого вектора, линейно независима.
Контрольное упражнение 9.3.
Система векторов, содержащая два
одинаковых вектора, линейно зависима.
Теорема 9.1
(критерий линейной зависимости)
.
Система векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы
один из ее векторов является линейной комбинацией остальных:
∃
k
:
x
k
=
α
1
x
1
+
. . .
+
α
k
−
1
x
k
−
1
+
α
k
+1
x
k
+1
+
. . .
+
α
n
x
n
.
(28)
Доказательство.
1) Пусть векторы
x
1
, . . . , x
n
линейно зависимы. Запи-
шем для них нетривиальную линейную комбинацию, равную нулевому
вектору:
n
X
j
=1
λ
j
x
j
=
θ.
(29)
Пусть
k
— номер ненулевого коэффициента:
λ
k
6
= 0
. Тогда
x
k
=
−
λ
1
λ
k
x
1
−
. . .
−
λ
k
−
1
λ
k
x
k
−
1
−
λ
k
+1
λ
k
x
k
+1
−
. . .
−
λ
n
λ
k
x
n
.
Это равенство в точности имеет вид (28).
2) Пусть для векторов
x
1
, . . . , x
n
выполнено равенство (28). Тогда
линейная комбинация
−
α
1
x
1
−
. . .
−
α
k
−
1
x
k
−
1
+
x
k
−
α
k
+1
x
k
+1
−
. . .
−
α
n
x
n
9
Базис и размерность
67
равна
θ
и нетривиальна (коэффициент при
x
k
равен 1).
Теорема доказана.
Замечание.
Утверждение теоремы 9.1 можно было бы сделать опре-
делением линейной зависимости; тогда наше определение стало бы тео-
ремой.
Если вектор
y
является линейной комбинацией векторов
x
1
, . . . , x
n
,
то скажем, что вектор
y
линейно выражается
через
x
1
, . . . , x
n
.
Теорема 9.2.
Если к линейно зависимой системе векторов приписать
еще один вектор, то новая система также будет линейно зависимой;
если из линейно независимой системы удалить один вектор, то новая
система также будет линейно независимой.
Доказательство.
Пусть
λ
1
x
1
+
. . .
+
λ
n
x
n
=
θ
и
λ
k
6
= 0
, то есть векторы
x
1
, . . . , x
n
линейно зависимы. Тогда для любого вектора
e
x
линейная ком-
бинация
λ
1
x
1
+
. . .
+
λ
n
x
n
+ 0
·
e
x
нетривиальна и дает нулевой вектор. Это
умозаключение доказывает и первое, и второе утверждения теоремы.
Контрольное упражнение 9.4.
Привести примеры:
•
линейно независимой системы векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
и вектора
e
x
,
таких, что векторы
x
1
, . . . , x
n
,
e
x
линейно независимы;
•
линейно независимой системы векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
и вектора
e
x
,
таких, что векторы
x
1
, . . . , x
n
,
e
x
линейно зависимы;
•
линейно зависимой системы векторов
(
x
1
, . . . , x
n
−
1
, x
n
)
, такой,
что векторы
x
1
, . . . , x
n
−
1
линейно независимы;
•
линейно зависимой системы векторов
(
x
1
, . . . , x
n
−
1
, x
n
)
, такой,
что векторы
x
1
, . . . , x
n
−
1
линейно зависимы.
9.2
Линейная оболочка
Множество всевозможных линейных комбинаций векторов
x
1
, . . . , x
n
называется
линейной оболочкой
векторов
x
1
, . . . , x
n
и обозначается
Lin
(
x
1
, . . . , x
n
)
:
Lin
(
x
1
, . . . , x
n
) =
{
λ
1
x
1
+
. . .
+
λ
n
x
n
, λ
1
, . . . , λ
n
∈
R
}
.
(30)
Линейная оболочка векторов пространства
E
всегда является под-
пространством
E
. В самом деле, если
e
x
=
e
λ
1
x
1
+
. . .
+
e
λ
n
x
n
,
x
=
λ
1
x
1
+
. . .
+
λ
n
x
n
,
то вектор
e
x, x
представляется в виде линейной комбинации векторов
x
1
, . . . , x
n
с коэффициентами
(
e
λ
1
+
λ
1
)
, . . . ,
(
e
λ
n
+
λ
n
)
, а вектор
λ
·
e
x
—
в виде линейной комбинации с коэффициентами
λ
e
λ
1
, . . . , λ
e
λ
n
.
9
Базис и размерность
68
Если
Lin
(
x
1
, . . . , x
n
) =
E
, то скажем, что векторы
x
1
, . . . , x
n
порож-
дают
линейное пространство
E
, или что система векторов
(
x
1
, . . . , x
n
)
является
порождающей
в пространстве
E
.
Примеры.
1. Ненулевой вектор
a
порождает прямую
L
a
(мы уже давно приме-
няем в этом случае к прямой
L
a
слово “порожденная”; теперь стало
ясно, откуда это слово взялось).
2. Векторы
1
0
и
0
1
порождают
R
2
(это очевидно).
3. Векторы
(1 0 0)
T
и
(0 1 0)
T
порождают в
R
3
подпространство
{
x
3
= 0
}
.
Очевидно, что
Lin
(
x
1
, . . . , x
n
)
⊂
Lin
(
x
1
, . . . , x
n
,
e
x
)
для любых векто-
ров
x
1
, . . . , x
n
,
e
x
.
9.3
Базис. Размерность
Базисом
линейного пространства
E
называется линейно независимая си-
стема векторов, порождающая пространство
E
.
Примеры.
1. Базис прямой
L
a
состоит из единственного вектора
a
.
2. Векторы
1
0
и
0
1
образуют базис пространства
R
2
.
3. Вообще, для любого натурального
n
в пространстве
R
n
базисом
является система векторов
1
0
..
.
0
,
0
1
..
.
0
, . . . ,
0
0
..
.
1
.
Этот базис называется
стандартным базисом
пространства
R
n
.
4. Покажем, что векторы
f
1
=
1
1
и
f
2
=
1
−
1
образуют базис
в
R
2
.
Во-первых, если
λ
1
f
1
+
λ
2
f
2
=
θ
, то
λ
1
и
λ
2
удовлетворяют системе
уравнений
λ
1
+
λ
2
= 0
λ
1
−
λ
2
= 0
,
9
Базис и размерность
69
у которой, очевидно, есть только одно решение
λ
1
=
λ
2
= 0
.
Чтобы показать, что
Lin
(
f
1
, f
2
) =
R
2
, то есть что все векторы
плоскости линейно выражаются через
f
1
, f
2
, заметим, что векторы
e
1
:=
1
0
и
e
2
:=
0
1
выражаются через
f
1
, f
2
:
1
2
f
1
+
1
2
f
2
=
e
1
,
1
2
f
1
−
1
2
f
2
=
e
2
.
А поскольку любой вектор
x
∈
R
2
выражается через
e
1
, e
2
:
x
1
x
2
=
x
1
e
1
+
x
2
e
2
,
его можно выразить и через
f
1
, f
2
:
x
1
x
2
=
x
1
(
1
2
f
1
+
1
2
f
2
)+
x
2
(
1
2
f
1
−
1
2
f
2
) = (
1
2
x
1
+
1
2
x
2
)
f
1
+(
1
2
x
1
−
1
2
x
2
)
f
2
.
Последний пример показывает, что в линейном пространстве может
быть больше одного базиса. В действительности в любом веществен-
ном линейном пространстве бесконечно много базисов. Однако у бази-
сов плоскости
(
e
1
, e
2
)
и
(
f
1
, f
2
)
есть нечто общее. Именно, оба состоят
из двух векторов.
Теорема 9.3.
В произвольном линейном пространстве любые два ба-
зиса содержат одинаковое количество векторов.
Доказательство
(для желающих).
Пусть
(
e
1
, . . . , e
n
)
и
(
f
1
, . . . , f
m
)
—
базисы линейного пространства
E
. Одно из неравенств
n
≤
m, m
≤
n
верно. Пусть, для определенности,
n
≤
m
. Разложим вектор
f
1
по базису
(
e
1
, . . . , e
n
) :
f
1
=
α
1
e
1
+
. . .
+
α
n
e
n
. Поскольку
f
1
6
=
θ
, при некотором
k α
k
6
= 0
. Для удобства будем считать, что
α
1
6
= 0
(это предположе-
ние не ограничивает общности: если оно неверно, то можно поменять
местами
e
1
и
e
k
). Теперь покажем, что
(
f
1
, e
2
, . . . , e
n
)
— базис. Если
λ
1
f
1
+
λ
2
e
2
+
. . .
+
λ
n
e
n
=
θ
, то, воспользовавшись выражением
f
1
через
векторы
e
1
, . . . , e
n
, получим
λ
1
(
α
1
e
1
+
. . .
+
α
n
e
n
) +
λ
2
e
2
+
. . .
+
λ
n
e
n
=
θ,
λ
1
α
1
e
1
+ (
λ
1
α
2
+
λ
2
)
e
2
+
. . .
+ (
λ
1
α
n
+
λ
n
)
e
n
=
θ.
Из этого равенства, в силу линейной независимости векторов
e
1
, . . . , e
n
,
следует, что
λ
1
α
1
=
λ
1
α
2
+
λ
2
=
. . .
=
λ
1
α
n
+
λ
n
= 0
.
9
Базис и размерность
70
Мы знаем, что
α
1
6
= 0
: значит,
λ
1
= 0
, и, следовательно,
λ
2
=
. . .
=
λ
n
= 0
. Итак, векторы
f
1
, e
2
, . . . , e
n
линейно независимы. Проверим те-
перь, что они порождают пространство
E
:
∀
x
∈
E
x
=
ξ
1
e
1
+
ξ
2
e
2
+
. . .
+
ξ
n
e
n
=
ξ
1
(
1
α
1
f
1
−
α
2
α
1
e
2
−
. . .
−
α
n
α
1
e
n
) +
ξ
2
e
2
+
. . .
+
ξ
n
e
n
=
=
ξ
1
α
1
f
1
+ (
ξ
2
−
ξ
1
α
2
α
1
)
e
2
+
. . .
+ (
ξ
n
−
ξ
1
α
n
α
1
)
e
n
.
Итак, произвольный вектор
x
∈
E
выражается через
f
1
, e
2
, . . . , e
n
, и мы
доказали, что
(
f
1
, e
2
, . . . , e
n
)
— базис в
E
. Значит, вектор
f
2
выражается
через
f
1
, e
2
, . . . , e
n
:
f
2
=
β
1
f
1
+
β
2
e
2
+
. . .
+
β
n
e
n
.
Не может быть, чтобы выполнялось равенство
f
2
=
β
1
f
1
(это озна-
чало бы, что векторы
f
1
и
f
2
линейно зависимы); стало быть, среди
коэффициентов
β
2
, . . . , β
n
есть ненулевой. Пусть, для удобства,
β
2
6
=
0
. Тогда рассуждение, подобное приведенному выше, доказывает, что
(
f
1
, f
2
, e
3
, . . . , e
n
)
— базис. Если это рассуждение повторить
n
раз, на
каждом шаге вытесняя вектор
e
j
вектором
f
j
, мы в конце концов при-
дем к тому, что векторы
f
1
, f
2
, . . . , f
n
образуют базис.
Теперь вспомним, что
n
≤
m
, то есть либо
n
=
m
, либо
n < m
.
Если
n < m
, то в базисе
f
1
, f
2
, . . . , f
m
есть вектор
f
n
+1
. Поскольку
(
f
1
, f
2
, . . . , f
n
)
— базис, вектор
f
n
+1
выражается через
f
1
, f
2
, . . . , f
n
, но
это означает, что векторы
f
1
, f
2
, . . . , f
m
линейно зависимы.
Полученное противоречие доказывает, что предположение
n < m
не
может быть верным. Следовательно,
n
=
m
. Теорема доказана.
Если в линейном пространстве
E
существует базис, то оно называется
конечномерным
. Количество векторов в произвольном базисе простран-
ства
E
называется
размерностью
пространства
E
и обозначается
dim E.
Например,
dim
R
n
=
n, dim L
a
= 1
.
Задача 9.1.
dim M(m,n)=mn.
Пространство
{
θ
}
также считается конечномерным, и его размер-
ность полагается равной 0 (хотя под данное нами определение это про-
странство не подходит: в нем нет базиса, поскольку не существует ли-
нейно независимой системы векторов).