ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 983
Скачиваний: 2
9
Базис и размерность
71
Есть и такие линейные пространства, в которых нельзя построить
конечного базиса, потому что никакой конечный набор векторов не яв-
ляется порождающим. Такие линейные пространства называются
беско-
нечномерными
. Пример — пространство
R
[
x
]
. Какой бы конечный набор
векторов (многочленов)
p
(1)
, . . . , p
(
n
)
мы ни взяли, среди них есть много-
член с максимальной степенью, скажем,
N
. Любая линейная комбинация
многочленов
p
(1)
, . . . , p
(
n
)
— это многочлен степени не выше
N
. Следова-
тельно, многочлены степени выше
N
не попадают в
Lin
(
p
(1)
, . . . , p
(
n
)
)
,
так что эта система не является порождающей.
В дальнейшем мы
не
будем рассматривать бесконечномерных про-
странств. Все линейные пространства по умолчанию считаются конеч-
номерными.
Задача 9.2.
dim
(
E
1
⊕
E
2
) =
dim E
1
+
dim E
2
.
Задача 9.3.
dim
(
E
1
+
E
2
) =
dim E
1
+
dim E
2
−
dim
(
E
1
∩
E
2
)
.
Задача 9.4.
Если
dim E
=
n
, то любые
n
линейно независимых векто-
ров образуют базис пространства
E
.
Задача 9.5.
Любую линейно независимую систему векторов
a
1
, . . . , a
r
в линейном пространстве
E
можно
дополнить до базиса,
то есть при-
писать к ней векторы
a
r
+1
, . . . , a
n
, так, чтобы система
a
1
, . . . , a
n
была
базисом в
E
.
Контрольное упражнение 9.5.
Для любого подпространства
E
0
⊂
E
dim E
0
≤
dim E
, и равенство размерностей имеет место только в слу-
чае
E
0
=
E
.
(Указание: использовать утверждения двух предыдущих
задач).
9.4
Разложение вектора по базису
Замечание.
Примем следующее обозначение: если
(
e
1
, . . . , e
n
)
— базис
некоторого линейного пространства, то вместо
(
e
1
, . . . , e
n
)
будем в неко-
торых случаях для краткости писать
e
. Эта буква
e
, таким образом,
обозначает целую систему векторов.
Если
e
= (
e
1
, . . . , e
n
)
— базис линейного пространства
E
, то представ-
ление произвольного вектора
x
∈
E
в виде
x
=
ξ
1
e
1
+
. . .
+
ξ
n
e
n
(31)
называется
разложением
вектора
x
по базису
e
, а числа
ξ
1
, . . . , ξ
n
—
координатами
вектора
x
в базисе
e
.
Теорема 9.4.
∀
x
∈
E
разложение (31) определено однозначно.
9
Базис и размерность
72
Доказательство.
Если
x
=
n
X
j
=1
e
ξ
j
e
j
=
n
X
j
=1
ξ
j
e
j
,
то
n
X
j
=1
(
e
ξ
j
−
ξ
j
)
e
j
=
θ,
откуда, в силу линейной независимости базиса, следует, что
e
ξ
1
−
ξ
1
=
. . .
=
e
ξ
n
−
ξ
n
= 0
.
Теорема доказана.
10
Изоморфизмы. Координатные изображения
73
10
Изоморфизмы. Координатное изображение
векторов и линейных операторов. Матрица
перехода
Образование — это то, что остается, ко-
гда мы уже забыли все, чему нас учили.
Джордж Галифакс.
В этом разделе определяется понятие изоморфизма для линейных
пространств. В приложении А всякий желающий найдет опреде-
ление изоморфизма для общих алгебраических структур. Освоить
понятие изоморфизма в высшей степени полезно любому человеку,
профессия которого так или иначе связана с компьютером. Среди
учебников, в которых можно найти изложение этой темы, обращу
внимание на [12].
10.1
Мономорфизм, эпиморфизм, изоморфизм
Инъективный линейный оператор называется (линейным)
мономорфиз-
мом;
сюръективный — (линейным)
эпиморфизмом;
биективный — (линейным)
изоморфизмом.
Слово “линейный”, поставленное в этих определениях в скобки, мы
употреблять не будем, поскольку, кроме линейных, никаких других моно-,
эпи- и изоморфизмов нам не придется рассматривать (не считая Прило-
жения А).
Вместо “изоморфизм” можно говорить “изоморфный оператор”; упо-
требляется также выражение “оператор, действующий изоморфно”. Ана-
логичные выражения используются для моно- и эпиморфизмов.
По определению биекции (см. раздел 1), изоморфизм — это линей-
ный оператор, который одновременно является мономорфизмом и эпи-
морфизмом.
Теорема 10.1.
Линейный оператор
A
:
E
→
F
является мономорфиз-
мом тогда и только тогда, когда
Ker
A
=
{
θ
}
.
Доказательство.
Из определений инъективного отображения и ядра
линейного оператора сразу следует, что если оператор действует моно-
морфно, то его ядро состоит только из нулевого вектора.
Пусть теперь
Ker
A
=
{
θ
}
. Докажем, что
∀
y
∈
F
прообраз
A
−
1
(
y
)
содержит не более одного вектора. Пусть
x
∗
, x
∗
∈ A
−
1
(
y
)
. Тогда
A
(
x
∗
−
x
∗
) =
A
x
∗
− A
x
∗
=
y
−
y
=
θ,
откуда, в силу условия
Ker
A
=
{
θ
}
, следует, что
x
∗
=
x
∗
.
10
Изоморфизмы. Координатные изображения
74
Теорема доказана.
Примеры.
1. Если пространства
E
и
F
содержат ненулевые векторы, то нулевой
оператор
O
:
E
→
F
не является ни моно-, ни эпиморфизмом. Это
очевидно.
2. Оператор умножения на константу
A
λ
:
E
→
E
при
λ
6
= 0
является
изоморфизмом. В самом деле,
∀
y
∈
E
A
−
1
(
y
) =
{
1
λ
y
}
. В частности,
изоморфизмом является тождественный оператор.
Кстати скажем, что изоморфизм
E
→
E
называется
автоморфиз-
мом
пространства
E
.
3. Из геометрических соображений ясно, что оператор поворота плос-
кости на любой угол
ϕ
(см. задачу 7.1) является изоморфизмом.
Контрольное упражнение 10.1.
A
:
R
→
R
2
— линейный оператор.
Известно, что для некоторого
x
∈
R
A
x
= (0
−
3)
T
. Является ли
оператор
A
мономорфизмом? эпиморфизмом?
Контрольное упражнение 10.2.
A
:
R
2
→
R
— линейный оператор.
Известно, что
A
(1 0)
T
=
β
,
A
(0 1)
T
=
−
β
,
β
6
= 0
. Является ли опера-
тор
A
мономорфизмом? эпиморфизмом?
Контрольное упражнение 10.3.
A
:
E
→
F
— изоморфизм
⇔ A
−
1
:
E
→
F
— изоморфизм.
10.2
Изоморфные пространства
Если существует изоморфизм
A
:
E
→
F
, то линейные пространства
E
и
F
называются
изоморфными
.
Очевидно, что каждое линейное пространство изоморфно само себе.
Столь же очевидно, что если
E
изоморфно
F
, то
F
изоморфно
E
(см.
упражнение 10.3).
Контрольное упражнение 10.4.
Если
E
изоморфно
F
и
F
изоморфно
G
, то
E
изоморфно
G
.
Теорема 10.2
(критерий изоморфности линейных пространств)
.
Ли-
нейные пространства
E
и
F
изоморфны тогда и только тогда, когда
dim E
=
dim F
.
Доказательство.
Покажем, что если
(
e
1
, . . . , e
n
)
— базис в простран-
стве
E
, и
A
:
E
→
F
— изоморфизм, то
(
A
e
1
, . . . ,
A
e
n
)
— базис в про-
странстве
F
. Пусть
λ
1
A
e
1
+
. . .
+
λ
n
A
e
n
=
θ
. Тогда
θ
=
λ
1
A
e
1
+
. . .
+
λ
n
A
e
n
=
A
(
λ
1
e
1
+
. . .
+
λ
n
e
n
)
,
10
Изоморфизмы. Координатные изображения
75
откуда, в силу того, что
Ker
A
=
{
θ
}
, следует, что
λ
1
e
1
+
. . .
+
λ
n
e
n
=
θ
, а значит (ввиду линейной независимости векторов
e
1
, . . . , e
n
),
λ
1
=
. . .
=
λ
n
= 0
. Следовательно, векторы
A
e
1
, . . . ,
A
e
n
линейно независимы.
Далее, у любого вектора
y
∈
F
есть прообраз
x
∈
E
. Вектор
x
разложим
по базису
e
:
x
=
ξ
1
e
1
+
. . .
+
ξ
n
e
n
. Имеем
y
=
A
x
=
A
(
ξ
1
e
1
+
. . .
+
ξ
n
e
n
) =
A
ξ
1
e
1
+
. . .
+
A
ξ
n
e
n
.
Итак, всякий вектор
y
∈
F
выражается через
A
e
1
, . . . ,
A
e
n
, то есть эти
векторы порождают пространство
F
.
Из доказанного нами утверждения о том, что изоморфизм переводит
базис в базис, немедленно следует утверждение теоремы.
Задача 10.1.
Если
dim E
=
dim F
,
A
:
E
→
F
— линейный оператор,
e
1
, . . . , e
n
— базис в пространстве
E
, и
A
e
1
, . . . ,
A
e
n
— базис в простран-
стве
F
, то
A
— изоморфизм.
Изоморфность двух алгебраических объектов означает, что они об-
ладают одинаковыми алгебраическими свойствами, и, следовательно,
любое утверждение, доказанное для одного объекта, верно и для всех
изоморфных ему объектов. Поэтому понятие изоморфизма является в
алгебре центральным.
Ценность доказанной нами теоремы в том, что любое конечномерное
пространство, как теперь выясняется, изоморфно одному из пространств
R
n
, которые можно, таким образом, использовать как стандартные ли-
нейные пространства.
10.3
Координатное изображение векторов и линейных опе-
раторов
Пусть
E
— линейное пространство,
e
= (
e
1
, . . . , e
n
)
— базис в нем. Ли-
нейный оператор
K
e
:
E
→
R
n
,
K
e
(
ξ
1
e
1
+
. . .
+
ξ
n
e
n
) =
ξ
1
..
.
ξ
n
,
сопоставляющий каждому вектору
x
∈
E
вектор-столбец, составленный
из координат вектора
x
в базисе
e
, называется
координатным изомор-
физмом
. Обратите внимание: для обозначения линейных операторов мы
всегда пользовались рукописным шрифтом, а для координатных изо-
морфизмов сделали исключение и обозначаем их прямыми буквами.
Контрольный вопрос 10.5.
Почему
K
e
— изоморфизм?