ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 982
Скачиваний: 2
4
Матрицы
31
Матрицы типа
m
×
1
(матрицы-столбцы) будем называть также
век-
торами
, а множество
M
(
m,
1)
обозначать
R
n
.
4.2
Операции над матрицами
4.2.1
Умножение матрицы на число
Если
A
= (
a
ij
)
,
λ
∈
R
, то
λA
= (
λa
ij
)
.
Примеры:
2
·
1
0
0
−
1
=
2
0
0
−
2
,
−
−
1
1
1
−
1
=
1
−
1
−
1
1
.
4.2.2
Транспонирование
Если
A
= (
a
ij
)
∈
M
(
m, n
)
, то матрица
(
e
a
ij
)
∈
M
(
n, m
)
, где
e
a
ij
=
a
ji
,
называется
транспонированной
к
A
и обозначается
A
T
.
Примеры:
1 2
0 3
T
=
1 0
2 3
;
−
1
2
3
T
= (1 2 3) ;
1 2
2 0
T
=
1 2
2 0
.
Если
m
=
n
, то матрица
A
= (
a
ij
)
i
=1
...m
j
=1
...n
= (
a
ij
)
i,j
=1
...n
называется
квадратной
матрицей
порядка n
. Элементы
a
ii
образуют в ней
главную
диагональ
. Если
A
— квадратная матрица, и
A
T
=
A
(т. е.
a
ij
=
a
ji
при всех
i, j
), то матрица
A
называется
симметричной
(это симметрия
относительно главной диагонали), а если
A
T
=
−
A
т. е.
a
ij
=
−
a
ji
при
всех
i, j
, то
A
называется
антисимметричной
или
кососимметриче-
ской
. Если
вне
главной диагонали все элементы нулевые, то матрица
A
называется
диагональной
и обозначается следующим образом:
diag
(
a
1
, a
2
, . . . , a
n
) =
a
1
0
. . .
0
0
a
2
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
a
n
.
Вместо
M
(
n, n
)
будем писать
M
(
n
)
.
Очевидно, что всегда
(
A
T
)
T
=
A
.
Контрольный вопрос 4.1.
Существует ли матрица, одновременно
симметричная и антисимметричная?
4
Матрицы
32
4.2.3
Сложение матриц
Если матрицы
A
= (
a
ij
)
и
B
= (
b
ij
)
имеют один тип
(
m, n
)
, то определим
их
сумму
:
C
=
A
+
B,
C
= (
c
ij
)
i
=1
...m
j
=1
...n
= (
a
ij
+
b
ij
)
i
=1
...m
j
=1
...n
.
Пример:
0
−
1 2
−
3
4 5
+
0
1
−
2
3
−
4
−
5
=
0 0 0
0 0 0
.
Контрольное упражнение 4.2.
Доказать, что операция сложения
матриц в множестве
M
(
m, n
)
обладает следующими свойствами:
• ∀
A, B
A
+
B
=
B
+
A
(коммутативность);
• ∀
A, B, C
(
A
+
B
) +
C
=
A
+ (
B
+
C
)
(ассоциативность).
Задача 4.1.
Показать, что любую квадратную матрицу
A
можно
записать в виде
A
=
A
1
+
A
2
, где
A
1
— симметричная, а
A
2
— анти-
симметричная матрицы.
4.2.4
Умножение матриц
Если
A
= (
a
ij
)
— матрица типа
(
m, p
)
, а
B
= (
b
ij
)
— матрица типа
(
p, n
)
,
то их
произведение
A
·
B
определим вот так:
A
·
B
=
C
= (
c
ij
)
i
=1
...m
j
=1
...n
,
c
ij
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
· · ·
+
a
ip
b
pj
=
p
X
k
=1
a
ik
b
kj
.
Элемент
c
ij
— результат умножения
i
-й строки матрицы
A
на
j
-й стол-
бец матрицы
B
. Припомнив обозначения для строк и столбцов, можно
написать формулу
AB
=
A
(1)
B
(1)
. . .
A
(1)
B
(
n
)
. . .
. . .
. . .
A
(
m
)
B
(1)
. . .
A
(
m
)
B
(
n
)
(как и при умножении чисел, мы будем писать, при желании,
AB
вместо
A
·
B
).
Примеры:
0
−
1
6
3
·
−
1
2
=
−
2
0
;
4
Матрицы
33
3 4
5 7
·
7
−
4
−
5
3
=
1 0
0 1
;
0 1
0 0
·
1 1
1 1
−
1 1
1 1
·
0 1
0 0
=
1
0
0
−
1
.
Последний пример показывает, что умножение матриц
не коммута-
тивно
:
AB
не обязательно совпадает с
BA
даже в том случае, когда оба
произведения определены и имеют один тип (это бывает только в том
случае, когда
A
и
B
— квадратные матрицы одного порядка).
Контрольное упражнение 4.3.
В каком случае произведения
AB
и
BA
определены, но являются матрицами разных типов?
Задача 4.2.
Доказать, что умножение матриц ассоциативно:
(
AB
)
C
=
A
(
BC
)
.
4.3
Нейтральные и обратные элементы по сложению и
умножению
Матрицу, состоящую из одних нулей, обозначим
θ
(учтите, что за этой
буквой скрывается бесконечно много матриц разных типов). Очевидно,
что если
A, θ
∈
M
(
m, n
)
, то
A
+
θ
=
θ
+
A
=
A.
Для обозначения этого свойства нулевой матрицы есть специальный
алгебраический термин: матрица
θ
называется
нейтральным элементом
по сложению
4
в множестве
M
(
m, n
)
.
Очевидно, что матрица
−
A
= (
−
1)
·
A
является противоположной к
матрице
A
в том смысле, что в сумме они дают нулевую.
Сложение матриц одинакового типа дает матрицу того же типа; для
умножения это верно только в случае квадратных матриц: если
A, B
∈
M
(
n
)
,
то
AB
∈
M
(
n
)
. Поэтому и искать нейтральную по умножению
матрицу (естественно назвать ее
единичной
) имеет смысл только в мно-
жестве
M
(
n
)
. Уточним: под единичной матрицей в множестве
M
(
n
)
мы
понимаем такую матрицу
E
, что
∀
A
∈
M
(
n
)
AE
=
EA
=
A
. Посколь-
ку умножение матриц не коммутативно, равенство
AE
=
EA
очень не
бессодержательно. Если
AB
=
BA
для
A, B
∈
M
(
n
)
, то говорят, что мат-
рицы
A
и
B
коммутируют
друг с другом. От единичной матрицы мы
требуем, таким образом, чтобы она коммутировала со всеми матрицами
своего типа.
4
Общее определение нейтрального элемента см. в приложении A.
4
Матрицы
34
Теорема 4.1.
Единичной в
M
(
n
)
является матрица
I
n
=
diag
(1
, . . . ,
1) =
1
0
. . .
0
0
1
. . .
0
. . .
. . .
. . .
. . .
0
0
. . .
1
.
Замечание.
Матрицу
I
n
удобно и хорошо записывать в виде
I
n
=
(
δ
ij
)
i,j
=1
...n
, где
δ
ij
— так называемый
символ Кронекера:
δ
ij
=
0
,
если
i
6
=
j,
1
,
если
i
=
j.
Доказательство.
Пусть
A
= (
a
ij
)
∈
M
(
n
)
. Тогда
A
·
I
n
= (
c
ij
)
, где
c
ij
=
a
i
1
δ
1
j
+
a
i
2
δ
2
j
+
· · ·
+
a
in
δ
nj
=
a
i
1
·
0 +
· · ·
+
a
ij
·
1 +
· · ·
+
a
in
·
0 =
a
ij
.
Равенство
I
n
·
A
=
A
проверяется аналогично.
Контрольное упражнение 4.4.
Проверить равенство
I
n
·
A
=
A
.
Замечание.
Если из контекста ясно, о матрицах какого порядка
идет речь, или если это не важно, мы можем писать
I
вместо
I
n
.
Задача 4.3.
Найти все матрицы в
M
(
n
)
, которые коммутируют с
любой матрицей в
M
(
n
)
.
Мы знаем, что в множествах чисел
R
и
C
у всякого ненулевого числа
a
есть обратное по умножению число, то есть число
b
такое, что
ab
= 1
.
Заметим, что слово ”обратное” мы употребляем здесь именно потому,
что число
1
является
нейтральным
элементом по умножению и в
R
, и
в
C
. Обратимся теперь к множествам квадратных матриц.
Обратной
к
матрице
A
∈
M
(
n
)
мы назовем такую матрицу
e
A
∈
M
(
n
)
, что
A
e
A
=
e
AA
=
I
n
(заметьте, мы опять требуем, чтобы матрицы коммутировали).
Обратную матрицу к
A
будем обозначать
A
−
1
.
Очень легко вопрос об обратных матрицах решается в множестве
M
(1)
, которое, по существу, не отличается от
R
. А вот при
n >
1
уже не
у всякой ненулевой матрицы есть обратная по умножению. Например,
0 1
0 0
·
x
11
x
12
x
21
x
22
=
x
21
x
22
0
0
.
Очевидно, что ни при каких
x
ij
это произведение не может быть равным
I
2
. Следовательно, матрица
0 1
0 0
не имеет обратной (не обратима).
Примером матриц, обратных друг к другу, могут служить матрицы
A
1
=
3 4
5 7
и
A
2
=
7
−
4
−
5
3
, для которых в п. 4.2.4 было найдено
произведение
A
1
A
2
=
I
. Легко сосчитать, что и
A
2
A
1
=
I
; но на этот
счет существует и общее утверждение.
4
Матрицы
35
Задача 4.4.
Если для
A, B
∈
M
(
n
)
выполняется равенство
AB
=
I
n
,
то
BA
=
I
n
,
так что
B
=
A
−
1
.
Контрольное упражнение 4.5.
Если
A
∈
M
(
m, n
)
, то
I
m
·
A
=
A
·
I
n
=
A
.
Контрольное упражнение 4.6.
Если
A
∈
M
(
m, n
)
, θ
∈
M
(
n, p
)
, то
A
·
θ
=
θ
∈
M
(
m, p
)
; если
A
∈
M
(
m, n
)
, θ
∈
M
(
p, m
)
, то
θ
·
A
=
θ
∈
M
(
p, n
)
.
Задача 4.5.
Показать, что умножение матриц дистрибутивно от-
носительно сложения: если
A,
e
A
∈
M
(
m, p
)
, B,
e
B
∈
M
(
p, n
)
, то
(
A
+
e
A
)
·
B
=
AB
+
e
AB
;
A
·
(
B
+
e
B
) =
AB
+
A
e
B
.