ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 699
Скачиваний: 5
086.png)
Следовательно,
cρ
∂u
∂t
−
k
∆
u
−
F
= 0
(171)
или
∂u
∂t
=
a
2
∆
u
+
1
cρ
F
(172)
где
a
=
s
k
cρ
В результате мы получили основное уравнение теплопроводности.
86
087.png)
4.1.4
Начальные и краевые условия
Начальное условие – задание распределения температур во всех
точках тела в начальный момент времени
u
(
x, y, z,
0) =
f
(
x, y, z
)
(173)
Краевое условие задается на поверхности
G
, ограничивающей
тело. Поток тепла изнутри тела через любую часть поверхности
тела
G
пропорционален перепаду температур на этой части гра-
ницы:
A
n
=
h
(
u
−
˜
u
)
,
(174)
где
˜
u
– температура окружающей среды в граничащих с телом
точках (
G
),
h
– коэффициент теплообмена. С учетом выражения
A
n
=
−
k
(grad
u
·
n
) =
−
k
∂u
∂n
,
получаем
−
k
∂u
∂n
G
=
h
(
u
G
−
˜
u
)
(175)
87
088.png)
В частных случаях краевое условие упрощается. Например,
h
= 0
,
что соответствует теплоизолированной границе
∂u
∂n
G
= 0
Другой частный случай
h
→ ∞
, т.е. коэффициент внешней теп-
лопроводности очень большой. Получаем
u
G
= ˜
u
(176)
что означает, что на границе тело имеет температуру внешней
среды.
88
089.png)
4.1.5
Задачи диффузии
В задачах диффузии находится неизвестная функция – концен-
трация диффундирующего вещества, обозначаемая
c
=
c
(
x, y, z, t
)
Процесс диффузии аналогичен теплопроводности, поэтому урав-
нение диффузии будет иметь вид
∂c
∂t
=
D
∆
c
(177)
Здесь
D
– коэффициент диффузии.
Начальные условия –
c
(
x, y, z,
0) =
f
(
x, y, z
)
мы задаем начальную концентрацию. Краевые условия
∂c
∂n
G
= 0
89
090.png)
соответствует тому, что граница
G
непроницаема для диффунди-
рующего вещества,
c
G
= 0
– концентрация на границе.
90