ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 697
Скачиваний: 5
021.png)
3
Уравнения гиперболического типа
3.1
Основные задачи
3.1.1
Поперечные колебания струны
Рассмотрим струну, колеблющую-
ся в одной плоскости. Для опи-
сания процесса колебаний вводит-
ся функция
u
(
x, t
)
– вертикаль-
ное смещение струны, так что
u
=
u
(
x, t
)
– уравнение струны в дан-
ный момент. В нашей модели стру-
на – гибкая упругая нить, что озна-
чает, что напряжения в струне всегда направлены по касательной
к струне. Мы будем рассматривать малые колебания струны. В
этом приближении можно показать, что сила натяжения струны
21
022.png)
не зависит от
x
и
t
, т.е.
T
(
x
) =
T
0
=
const
(44)
Для получения уравнения ма-
лых колебаний струны составим ее
уравнение движения. Рассмотрим
элемент струны от
x
до
x
+∆
x
и за-
пишем для него уравнение движе-
ния в проекциях на вертикальную
ось:
T
sin
α
|
x
+∆
x
−
T
sin
α
|
x
+
F
(
x, t
)∆
x
=
ρ
(
x
)∆
xu
tt
(45)
Так как мы рассматриваем малые колебания, то можно прене-
брегать величинами высшего порядка малости по сравнению с
tg
α
=
u
x
22
023.png)
В этом приближении
sin
α
=
tg
α
p
1 + tg
2
α
≈
tg
α
=
u
x
В результате уравнение движения может быть переписано в виде
T
1
∆
x
(
u
x
(
x
+ ∆
x
)
−
u
x
(
x
)) +
F
(
x, t
) =
ρ
(
x
)
u
tt
(46)
При
∆
x
→
0
получаем
T u
xx
+
F
(
x, t
) =
ρ
(
x
)
u
tt
(47)
Полученное уравнение – уравнение малых поперечных колебаний
струны. В случае однородной струны
ρ
=
const
его можно пере-
писать в виде
a
2
u
xx
+
f
(
x, t
) =
u
tt
(48)
где
a
=
s
T
ρ
,
23
024.png)
f
(
x, t
) =
F
(
x, t
)
ρ
– плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсутствии
внешней силы получаем однородное уравнение
a
2
u
xx
−
u
tt
= 0
(49)
3.1.2
Продольные колебания стержня
Уравнение продольных колебаний однородного стержня имеет вид:
a
2
u
xx
+
f
(
x, t
) =
u
tt
(50)
где
a
=
s
k
ρ
,
24
025.png)
k
– модуль Юнга стержня,
f
(
x, t
) =
F
(
x, t
)
ρ
.
Упражнение. Получить уравнение (50).
3.1.3
Поперечные колебания мембраны
Мембраной
называется
плоская
пленка, не сопротивляющаяся из-
гибу и сдвигу. Мы будем рас-
сматривать только поперечные ко-
лебания мембраны. Дифференци-
альное уравнение таких колебаний
имеет вид
T
0
(
u
xx
+
u
yy
) +
F
(
x, y, t
) =
ρ
(
x, y
)
u
tt
(51)
25