ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 978
Скачиваний: 1
116
Рассмотрим n – мерный вектор-столбец
T
n
n
b
)
/
,..,
/
(
1
1
и
(nxn)-матрицу
||
...
||
b
b
B
. Заметим, что
Y
b
Y
T
, а
)
(
)
(
)
(
Y
B
Y
Y
B
Y
Y
nS
T
2
. Отсюда
Y
A
Y
Y
nS
T
)
(
2
,
где
матрица
A=I
n
-B
идемпотентна.
Теперь
0
T
T
T
T
T
b
b
B
b
b
A
b
,
и,
следовательно,
по
свойству 1),
Y
и
)
(
Y
S
2
-независимы.
Закон распределения
Y
очевиден. Так как tr A=tr I
n
-tr
B=n-1, то на основании свойства (3)
)
1
(
)
(
(
2
2
n
Y
nS
L
.▓
4.3. Распределение хи-квадрат
Пусть
n
,...
1
– независимые случайные величины,
распределенные по стандартному нормальному закону
)
1
,
0
(
~
N
i
. Распределение случайной величины
n
j
j
1
2
2
(4.6)
назовем
2
-распределением с
n
степенями свободы.
Здесь
2
j
– квадратичная форма. Число независимых
слагаемых
n
в формуле (4.6) называется числом степеней
свободы и является параметром распределения
2
,
n
–
натуральное число.
Найдем плотность вероятности
2
-распределения с
помощью характеристической функции слагаемого и ее
свойств.
Характеристическая функция слагаемого будет:
)
exp(
)
(
2
t
i
M
t
E
j
=
dx
x
t
ix
)
2
exp(
)
exp(
2
1
2
2
=
n
it
)
2
1
(
1
По свойству характеристической функции имеем:
117
n
j
t
E
t
E
1
)
(
)
(
=
n
it
)
2
1
(
1
.
(4.7)
Используя следствие из теоремы обращения, имеем:
0
)
(
)
2
exp(
)
(
2
)
(
)
exp(
2
1
)
(
2
1
x
f
x
x
dt
t
E
ixt
x
f
n
n
n
0
0
x
x
.
Числовые характеристики
2
-распределения находят с
помощью характеристической функции (4.7)
Они имеют следующий вид:
математическое ожидание
n
M
n
]
[
2
,
мода
2
]
[
mod
2
n
n
,
дисперсия
n
D
n
2
]
[
2
,
асимметрия
n
2
3
2
,
эксцесс
n
12
.
При n
в соответствии с центральной предельной
теоремой
2
-распределение сходится к нормальному
)
2
,
(
2
n
n
N
n
..
При
30
n
используется аппроксимация нормальным
распределением. Существуют таблицы:
P(
n
2
p
2
)=1-
F
f
x dx p
n
n
p
p
2
2
2
2
(
)
( )
.
По этим таблицам при заданном n по вероятности p можно
найти
p
2
. Иногда табулированы значения функции
распределения. Квантили
2
-распределения определяются из
таблиц или с помощью математических пакетов MATHCAD и
STATISTICA,
Важным свойством
2
-распределения является его
воспроизводимость по параметру
n
. Это означает, что сумма
независимых случайных величин, распределенных по закону
118
2
, распределена также по закону
2
с числом степеней
свободы, равным сумме степеней свободы слагаемых.
f
x
n
2
( )
- n=1
- n=2
- n=4 - n=7
0 4 7 x
Рис. 4.2. Плотность распределения
p
2
Теорема 4.2. Пусть
X
=(X
1
,...,X
n
) - выборка из
распределения N(
,
2
). Тогда выборочное среднее
X
n
X
i
i
n
1
1
и дисперсия S
2
=S
2
(X)
1
2
1
n
X
X
i
i
n
независимы; при этом
L
n X
(
)
=N(0,1);
L
nS
n
2
2
1
2
(
)
.
4.4. Распределение Стьюдента (t – распределение)
Распределением Стьюдента с n степенями свободы S(n)
называется распределение случайной величины (стьюдентова
отношения)
t
n
n
2
, где случайные величины
и
n
2
независимы и при этом
L
(
)=N(0,1). Иногда это распределение
называют t-распределением (с n степенями свободы).
119
Плотность распределения можно найти с помощью
стандартного метода вычисления плотности распределения
частного двух независимых случайных величин, а именно:
f x
n
n
n
x
n
t
n
( )
(
)/
1
2
2
1
1
2
1 2
, -
<x<
.
При n
, t
~N(0,1).
При n
20 можно считать, что t~N (распределение Стьюдента
аппроксимируется нормальным).
Существуют таблицы F
t
(x)=P(t<x) и
P t
t
f x dx
p
p
t
t
p
(
)
( )
2
.
Существуют таблицы и для плотности распределения f
t
(x).
f
t
(x)
n
-t
p
t
p
x
Рис. 4.3. Плотность распределения Стьюдента
Теорема 4.3. Пусть выборка
X
=(X
1
,X
2
,..., X
n
) из
генеральной совокупности
~N(a,
2
) и
t
n
x a
S
1
. (4.8)
(
X
- выборочное среднее, S - выборочная дисперсия). Тогда
при любом
2
>0
L
(t)=S(n-1).
120
т.е. случайная величина t распределена по закону Стьюдента с
(n-1) степенями свободы.
Тот факт, что стьюдентово соотношение t, определенное
уравнением (4.8), и его распределение не зависят от
2
используют при получении различных статистических
выводов о среднем нормального распределения, когда
дисперсия неизвестна, т.е. является «мешающим» параметром.
В некоторых задачах иногда нужно исключить влияние не
только
2
, но и среднего
а
. В этом случае можно делать
статистические выводы, не зависящие от параметров а и
2
,
т.е. являющимися инвариантными относительно параметров
модели. В таких задачах важна следующая теорема.
Теорема 4.4. Пусть
X
=(X
1
,X
2
,...,X
n
) и
Y
=(Y
1
,Y
2
,...,Y
n
) -
две независимые выборки из одного и того же распределения
N(a,
2
);
X
, S
2
(
X
);
Y
, S
2
(
Y
) - соответствующие выборочные
средние и дисперсии и пусть
t
mn m n
m n
X Y
nS X
mS Y
(
)
( )
( )
2
2
2
.
Тогда при любых а и
2
>0
L
(t)=S(m+n-2), t - . случайная
величина, распределенная по закону Стьюдента с (m+n-2)
степенями свободы).
4.5. Распределение Фишера – Снедекора
(F – распределение)
Пусть случайные величины
n
2
и
m
2
независимы и
F
n
m
m
n
n
m
n
m
2
2
2
2
Распределение случайной величины F называют
распределением Снедекора с n и m степенями свободы, F-
распределением
или
распределением
дисперсионного
отношения Фишера.
Плотность f
n,m
(x) распределения S(n,m) имеет вид: