ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 06.04.2021

Просмотров: 1017

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
background image

 

121 

 

 

f

x

n

m

n m

n

m

x

n

m

x

n m

n

n

n m

,

/

/

(

)/

( )

(

) /

/

/









2

2 1

2

2

2

2

1

, x>0   

        f

F

(x)                                n,m



 

 
 
 
 
 
 
                                                          p  
 
               0                           F

p

                                         x      

Рис. 4.4. Плотность распределения Фишера 

 

При  n,m>30  -  возможна  аппроксимация  нормальным 
распределением 
 

 

 

 

S(n,m)

n m

,





 

~N

n m

nm

n m

nm



2

;

Существуют  таблицы  функции  распределения  f

F

(x)=P(F<x)  и 

P(F

F

p

)=p.  Роль  F-распределения  в  выборочной  теории 

раскрывает следующая теорема. 

Теорема  4.5.  Пусть 

X

=(X

1

,X

2

,...,X

n

)  и 

Y

=(Y

1

,Y

2

,...,Y

n

)  - 

независимые  выборки  из  распределений  N(a

1

,

1

2

)  и  N(a

2

,

2

2

). 

S

2

(

X

),  S

2

(

Y

)  -  соответствующие  выборочные  дисперсии. 

Тогда  при  любых  значениях  параметров  a

1

,  a

2

1

2

  и 

2

2

 

случайная величина   

 

 

)

1

,

1

(

)

1

(

)

(

)

1

(

)

(

2

1

2

2

2

2

m

n

F

n

m

Y

S

m

n

X

S

распределена  по  закону  Фишера  с  (n-1);  (m-1)  степенями 
свободы

Примем без доказательства. 

 


background image

 

122 

 

Лабораторная работа № 4. 

Распределения непрерывных 

случайных величин в пакете STATISTICA. 

Цель  лабораторной  работы

 

–  изучить  параметры  и 

свойства  распределений  случайных  величин,  используемых 
при анализе данных. 

Теоретические сведения 

В классе модельных распределений рассмотрим наиболее 

употребляемые в математической статистике: 

 

экспоненциальное (показательное); 

 

нормальное распределения; 

 

хи-квадрат

 распределение; 

 

распределение Стьюдента; 

 

распределение Фишера. 

Случайная величина  χ

  2

k

  имеющая  распределение 

хи-квадрат

понимается  как  сумма  квадратов 

k

  независимых  стандартных 

нормальных  величин.  Число  независимых  слагаемых 

называется  числом  степеней  свободы  и  является  параметром 
распределения 

хи-квадрат

k

 

натуральное 

число. 

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины 
χ

 2 

k

 равны соответственно 

 2 

k

=k,              Dχ

 2

k

=2k 

Распределение  случайной  величины,  представляющей 

собой отношение стандартной нормальной величины к корню 
квадратному из 

хи-квадрат

 распределенной величины,  

t

2

k

 

называется 

t  –  распределением  Стьюдента

.  Точнее,  если 

ξ~N(0;1),

   

χ

2

k

   

распределена  по  закону 

хи-квадрат

  с  числом 

степеней  свободы 

k

,  то  случайная  величина  ξ/n  имеет   

t  – 

распределение  Стьюдента

  с  числом  степеней  свободы 

k


background image

 

123 

 

причем,   

Mt

k

 = 0, Dt

k

 =k/(k-2). 

t  –  распределение  важно  в  тех  случаях,  когда  рассматривают 
оценки среднего и неизвестна дисперсия выборки. 

Пусть  случайные  величины  ξ

п 

  и  η

k

  независимы  и 

распределены  по  закону 

хи  –  квадрат

  каждая.  Распределение 

случайной величины  

F

n k

n

n

k

k  

называют 

F  –  распределением

  Фишера  с  параметрами 

n

  и 

k

 

или 

распределением 

дисперсионного 

отношения. 

Математическое  ожидание  и  дисперсия 

F  –  распределения

 

вычисляются по формулам: 

MF

n k

k

k

2

                        

DF

n k

2k

2

k

n

2

(

)

n k

2

(

) k

2

(

) k

4

(

)

 

Все перечисленные распределения представляют собой 

параметрические семейства. Параметры, входящие в формулу 
каждой  из  функций  плотности,  имеют  определенный 
геометрический  и  вероятностный  смысл.  Они  (параметры) 
влияют  на  форму  и  расположение  кривой  распределения  и 
определяют значения числовых характеристик. 

Для  упомянутых  распределений  составлены  таблицы, 

позволяющие  при  разных  значениях  параметров  определить 
квантили  и  вероятности  попадания  в  различные  интервалы. 
Выбор  Probability  Са1сulator  (Вероятностный  калькулятор) 
заменяет  многочисленные  таблицы  распределений,  позволяет 
проследить 

влияние 

параметров 

на 

форму 

кривой 


background image

 

124 

 

распределения  и  выяснить  геометрический  смысл  квантилей. 
Квантиль 

ζ

p

  порядка    (

р

  -квантиль)  –  это  корень  уравнения 

F(ζ

P

) = p. 

 
 

Задания к лабораторной работе  

 

Для  запуска  Вероятностного  калькулятора  (Probability 

Calculator) необходимо нажать кнопку Меню выбора основных 
модулей  обработки  информации  в  программном  обеспечении 

STATISTICA6.0 

и 

выбрать 

Статистика(Statistics)►Счетчик 

вероятности  (

Probability  Calculator

)►Распределения(

Distribution

).

 

Внешнее описание и представление можно увидеть на рис.4.5. 

 

Рис.4.5.  Окно 

2

-  распределения  процедуры Probability 

Calculator 

1.  Для  ознакомления  с  работой  Probability  Calculator 

необходимо  реализовать  любой  простой  алгоритм.  Например, 
необходимо  выяснить  геометрический  смысл  параметров 
нормального распределения 

N (α; σ).

 

Положите α = 0, σ = 1. В окне Probability Distribution Calculator 
в  поле 

Distribution

:  выделите  мышью  строку  Z  (NORMAL), 

заполните поля: 

mean:

 0, 

sd.dev.

:1, 

p

: 0.5. Поднимите флажок: 

Fixed  Scaling  и  нажмите  Compute.  В  поле 

X:

  открытого  окна 

появится  значение  0.0000.  Это  0.5  –  квантиль  нормального 
распределения,  т.е.  корень  уравнения 

F(Z)  =  0.5

.  В  поле 


background image

 

125 

 

Density  Function  изображается  кривая  распределения  с 
заштрихованной  областью.  Площадь  отмеченной  области 
равна  указанному  значению 

р:

  0.5

.  Нажмите  далее  флажок 

Create  Graph,  для  построения  функции  распределения,  и 
нажмите  Compute.  На  экране  появится  график  плотности  с 
отмеченным  красным  пунктиром  квантилем.  Из  графика 
видно,  что 

0.5-квантиль  является  модой  и  медианой 

нормального 

распределения.

 

Повторяя 

приведенную 

последовательность команд для разных значений 

mean

 (α = 1; 

2;  -2;  ...),  убедитесь,  что  значение  α  является  точкой 
максимума функции плотности нормального распределения.   

Меняя  значение  поля 

st.dev

  (σ)  при  постоянном 

α

  и 

р

убедитесь,  что  при  увеличении 

σ

  плотность  нормального 

распределения рассеивается относительно 

α

f

max

 уменьшается. 

При  уменьшении 

σ 

плотность  сжимается,  концентрируясь 

возле точки максимума, 

f

max 

 

растет. 

2.  Теперь  вычислим  вероятность 

Р 

(137  <  ς  <  179) 

случайной  величины 

ς

  ,  распределенной  нормально  с 

параметрами α = 149.6,   σ = 12.62. 

В окне Probability Distribution  Calculator  заполните поля: 

Distribution: Z (NORMAL), 

mean

: 149.6; 

st.dev

 : 12.62 ; 

Х

: 179 . 

Нажмите  Compute.  В  поле 

р

  появится  значение  0,990087.  Его 

необходимо  запомнить,  потому  что  оно  будет  использовано 
ниже при вычислении. Измените значение 

X

 на 137. Нажмите 

Compute. Запомните новое значение поля 

р

: 0,159039.  

Теперь необходимо вычислить следующее:  

Р

(137 < X < 179) =0,990087-0,159039= 0.831048≈ 0.83. 

Значение 0,83 или 83% является вероятностью случайной 

величины 

ς,

  распределенной  нормально  с  параметрами  α  = 

149.6,   σ = 12.62, на интервале 137 < ς < 179. 

3.  Вычислить 

0.95

  и 

0.99

  –  квантили 

хи-квадрат

 

распределения  с  7  степенями  свободы.  Выяснить  влияние 
числа  степеней  свободы  на  форму  и  расположение  кривой 
распределения. 

В окне Probability Distribution Calculator выделите в поле