ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 1015
Скачиваний: 1
121
f
x
n
m
n m
n
m
x
n
m
x
n m
n
n
n m
,
/
/
(
)/
( )
(
) /
/
/
2
2 1
2
2
2
2
1
, x>0
f
F
(x) n,m
p
0 F
p
x
Рис. 4.4. Плотность распределения Фишера
При n,m>30 - возможна аппроксимация нормальным
распределением
S(n,m)
n m
,
~N
n m
nm
n m
nm
2
;
.
Существуют таблицы функции распределения f
F
(x)=P(F<x) и
P(F
F
p
)=p. Роль F-распределения в выборочной теории
раскрывает следующая теорема.
Теорема 4.5. Пусть
X
=(X
1
,X
2
,...,X
n
) и
Y
=(Y
1
,Y
2
,...,Y
n
) -
независимые выборки из распределений N(a
1
,
1
2
) и N(a
2
,
2
2
).
S
2
(
X
), S
2
(
Y
) - соответствующие выборочные дисперсии.
Тогда при любых значениях параметров a
1
, a
2
,
1
2
и
2
2
случайная величина
)
1
,
1
(
)
1
(
)
(
)
1
(
)
(
2
1
2
2
2
2
m
n
F
n
m
Y
S
m
n
X
S
.
распределена по закону Фишера с (n-1); (m-1) степенями
свободы
.
Примем без доказательства.
122
Лабораторная работа № 4.
Распределения непрерывных
случайных величин в пакете STATISTICA.
Цель лабораторной работы
– изучить параметры и
свойства распределений случайных величин, используемых
при анализе данных.
Теоретические сведения
В классе модельных распределений рассмотрим наиболее
употребляемые в математической статистике:
экспоненциальное (показательное);
нормальное распределения;
хи-квадрат
распределение;
распределение Стьюдента;
распределение Фишера.
Случайная величина χ
2
k
имеющая распределение
хи-квадрат
,
понимается как сумма квадратов
k
независимых стандартных
нормальных величин. Число независимых слагаемых
k
называется числом степеней свободы и является параметром
распределения
хи-квадрат
,
k
-
натуральное
число.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
χ
2
k
равны соответственно
Mχ
2
k
=k, Dχ
2
k
=2k
Распределение случайной величины, представляющей
собой отношение стандартной нормальной величины к корню
квадратному из
хи-квадрат
распределенной величины,
t
2
k
называется
t – распределением Стьюдента
. Точнее, если
ξ~N(0;1),
χ
2
k
распределена по закону
хи-квадрат
с числом
степеней свободы
k
, то случайная величина ξ/n имеет
t –
распределение Стьюдента
с числом степеней свободы
k
,
123
причем,
Mt
k
= 0, Dt
k
=k/(k-2).
t – распределение важно в тех случаях, когда рассматривают
оценки среднего и неизвестна дисперсия выборки.
Пусть случайные величины ξ
п
и η
k
независимы и
распределены по закону
хи – квадрат
каждая. Распределение
случайной величины
F
n k
n
n
k
k
называют
F – распределением
Фишера с параметрами
n
и
k
или
распределением
дисперсионного
отношения.
Математическое ожидание и дисперсия
F – распределения
вычисляются по формулам:
MF
n k
k
k
2
DF
n k
2k
2
k
n
2
(
)
n k
2
(
) k
2
(
) k
4
(
)
Все перечисленные распределения представляют собой
параметрические семейства. Параметры, входящие в формулу
каждой из функций плотности, имеют определенный
геометрический и вероятностный смысл. Они (параметры)
влияют на форму и расположение кривой распределения и
определяют значения числовых характеристик.
Для упомянутых распределений составлены таблицы,
позволяющие при разных значениях параметров определить
квантили и вероятности попадания в различные интервалы.
Выбор Probability Са1сulator (Вероятностный калькулятор)
заменяет многочисленные таблицы распределений, позволяет
проследить
влияние
параметров
на
форму
кривой
124
распределения и выяснить геометрический смысл квантилей.
Квантиль
ζ
p
порядка (
р
-квантиль) – это корень уравнения
F(ζ
P
) = p.
Задания к лабораторной работе
Для запуска Вероятностного калькулятора (Probability
Calculator) необходимо нажать кнопку Меню выбора основных
модулей обработки информации в программном обеспечении
STATISTICA6.0
и
выбрать
Статистика(Statistics)►Счетчик
вероятности (
Probability Calculator
)►Распределения(
Distribution
).
Внешнее описание и представление можно увидеть на рис.4.5.
Рис.4.5. Окно
2
- распределения процедуры Probability
Calculator
1. Для ознакомления с работой Probability Calculator
необходимо реализовать любой простой алгоритм. Например,
необходимо выяснить геометрический смысл параметров
нормального распределения
N (α; σ).
Положите α = 0, σ = 1. В окне Probability Distribution Calculator
в поле
Distribution
: выделите мышью строку Z (NORMAL),
заполните поля:
mean:
0,
sd.dev.
:1,
p
: 0.5. Поднимите флажок:
Fixed Scaling и нажмите Compute. В поле
X:
открытого окна
появится значение 0.0000. Это 0.5 – квантиль нормального
распределения, т.е. корень уравнения
F(Z) = 0.5
. В поле
125
Density Function изображается кривая распределения с
заштрихованной областью. Площадь отмеченной области
равна указанному значению
р:
0.5
. Нажмите далее флажок
Create Graph, для построения функции распределения, и
нажмите Compute. На экране появится график плотности с
отмеченным красным пунктиром квантилем. Из графика
видно, что
0.5-квантиль является модой и медианой
нормального
распределения.
Повторяя
приведенную
последовательность команд для разных значений
mean
(α = 1;
2; -2; ...), убедитесь, что значение α является точкой
максимума функции плотности нормального распределения.
Меняя значение поля
st.dev
(σ) при постоянном
α
и
р
,
убедитесь, что при увеличении
σ
плотность нормального
распределения рассеивается относительно
α
,
f
max
уменьшается.
При уменьшении
σ
плотность сжимается, концентрируясь
возле точки максимума,
f
max
растет.
2. Теперь вычислим вероятность
Р
(137 < ς < 179)
случайной величины
ς
, распределенной нормально с
параметрами α = 149.6, σ = 12.62.
В окне Probability Distribution Calculator заполните поля:
Distribution: Z (NORMAL),
mean
: 149.6;
st.dev
: 12.62 ;
Х
: 179 .
Нажмите Compute. В поле
р
появится значение 0,990087. Его
необходимо запомнить, потому что оно будет использовано
ниже при вычислении. Измените значение
X
на 137. Нажмите
Compute. Запомните новое значение поля
р
: 0,159039.
Теперь необходимо вычислить следующее:
Р
(137 < X < 179) =0,990087-0,159039= 0.831048≈ 0.83.
Значение 0,83 или 83% является вероятностью случайной
величины
ς,
распределенной нормально с параметрами α =
149.6, σ = 12.62, на интервале 137 < ς < 179.
3. Вычислить
0.95
и
0.99
– квантили
хи-квадрат
распределения с 7 степенями свободы. Выяснить влияние
числа степеней свободы на форму и расположение кривой
распределения.
В окне Probability Distribution Calculator выделите в поле