ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2021
Просмотров: 976
Скачиваний: 1
126
Distribution строку
Chi I
. Заполните поля:
df
: 7;
р
: 0,95.
Нажмите Compute. В поле
Chi I
число 14.067140. Это 95% -я
точка (0.95 - квантиль), то есть корень уравнения
F(I) = 0.95
.
Значит
Р( tf < 14,068419) = 0,95
. Чтобы вычислить вероятность
противоположного неравенства, поднимите флажок
(1 –
Cumulative p)
.
Теперь поменяем значение поля
р
: на
0.99
и нажмем
Compute. В поле
Chi I
появится число
18,475307. Это 99% - я
точка (0.99 - квантиль).
Задавая различные значения параметра
k
в поле
df
(2; 5;
12; ...) убедитесь, что при увеличении
k
пик плотности
распределения снижается и смещается вправо. График
плотности становится более симметричным, приближаясь по
форме к кривой Гаусса.
4. Выяснить влияние числа степеней свободы на форму и
расположение кривой распределения Стьюдента.
Для этого необходимо в поле Distribution выделить
строку
t
(STUDENT) и заполнить поля
р
: 0.5,
df
: 5. Поле
t
система заполнит числом 0. Для наглядности распределения
необходимо пометить опцию Create Graph и нажать Compute.
Рассмотрите внимательно полученный график и повторите
алгоритм для
df
= 10, 35 , 50, 100. Убедитесь в том, что график
плотности t– распределения (см. рис. 2.2) симметричен
относительно оси Оу и напоминает колокол Гаусса.
127
Рис. 4.6. Графическое представление плотности t–
распределения
С возрастанием числа степеней свободы
k
максимальное
значение плотности увеличивается, хвосты более круто
убывают к 0. Вводя в поле
р
: значения 0.5; 0.7; 0.95; 0.99,
составьте таблицу значений функции t - распределения с 10
степенями свободы (таблицу квантилей).
Теперь введите в поле
t
значение 1. Система вычислит
р
:
0,818391. Следовательно,
Р(t<1) = 0 ,818391
. Поднимите
флажок
(1 – Cumulative p).
Содержимое поля
р
: изменится на
0,181609.
Калькулятор
вычислил
вероятность
противоположного события:
P(t ≥1) = 0,181609
.
5. Убедиться с помощью вероятностного калькулятора,
что F– распределение сосредоточено на положительной
полуоси. Определить
0.5
- и
0.75
- квантили F
10,10
-
распределения. Вычислить вероятности P(F
10,10
≤2).
Для решения этой достаточно простой задачи
необходимо в поле Distribution выделите строку F (FISHER).
Заполните поля
р
: 0.5 ;
df1
: 10;
df2
: 10 и нажимаем Compute.
Калькулятор вычислит значение поля
F:
1. Поменяйте значение
поля
р
: 0.75. Значение поля
F
: изменится на 1,551256. Теперь
измените значение поля
F
:. Поставьте сначала 2, потом 1.
Калькулятор вычислит вероятности:
P(F
10,10
≤2) = 0.144846,
P(F
10
,
10
≤1)= 0.5.
Давая различные значения
dfl
и
df2
, наблюдайте
графики. Обратите внимание на то, что, в отличие от
нормальной, кривая
F-
распределения несимметрична при
небольших значениях степеней свободы (
n
и
k
< 30). С
возрастанием
n
и
k
кривая
F-
распределения медленно
приближается к нормальной кривой.
6. После выполнения заданий 1 - 5 нужно самостоятельно
для нормального распределения с выбранными параметрами
вычислить вероятность попадания в интервал, содержащий
mean
и не содержащий
mean.
7. Составить таблицы
нормального
,
хи-квадрат
,
128
Стьюдента
и
Фишера
распределений (по 10 значениям).
Вычислить 0.95 и 0.99 – квантили модельных распределений
для различных значений параметров.
Составить отчет по выполненной работе
Отчет по
выполненной
работе должен содержать:
Постановку задачи.
Графики плотностей модельных
распределений при различных значениях
параметров.
Таблицы процентных точек (квантилей) по
10 значений для каждого распределения.
Для наглядности, в процессе выполнения
работы (каждого пункта) необходимо
сделать как минимум один Screen Capture,
которые в дальнейшем будут размещены в
отчете.
Вывод о проделанной работе.
5. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
Любая точечная оценка параметра представляет собой
функцию T=T(
X
) выборки
X
=(X
1
,X
2
,...,X
n
), т.е. является
случайной величиной. При каждой реализации
x
выборки
X
эта функция определяет единственное значение t=T(
x
) оценки,
которое принимается за приближенное значение оцениваемой
характеристики. Однако в каждом конкретном случае значение
оценки может отличаться от значения параметра. Поэтому
желательно знать и возможную погрешность, возникающую
при использовании предлагаемой оценки. Например, указывая
интервал, внутри которого с высокой вероятностью
находится точное значение оцениваемого параметра. При
129
таком подходе говорят об интервальном или доверительном
оценивании,
а
соответствующий
интервал
называют
доверительным.
5.1. Понятие доверительного интервала
При статистической обработке результатов наблюдений
часто необходимо не только найти оценку неизвестного
параметра
, но и охарактеризовать точность этой оценки. С
этой целью вводится понятие
доверительного интервала
.
Рассмотрим доверительное оценивание скалярного параметра.
При интервальном оценивании ищут две такие статистики
T
1
=T
1
(
X
) и T
2
=T
2
(
X
), что T
1
<T
2
, для которых при заданном
(0,1) выполняется условие
P T X
T X
1
2
,
(5.1)
в этом случае интервал (T
1
(
X
),T
2
(
X
)) называют
-
доверительным интервалом, вероятность
- доверительной
вероятностью, а величина q=1-
- уровнем значимости. T
1
(
X
)
и T
2
(
X
) - называются нижней и верхней доверительными
границами соответственно. Таким образом
-доверительный
интервал - это случайный интервал в параметрическом
множестве
: T
1
=T
1
(
X
) и T
2
=T
2
(
X
), что T
1
<T
2
, для которых
при заданном
(0,1) выполняется условие
P T X
T X
1
2
,
(5.1)
в этом случае интервал (T
1
(
X
),T
2
(
X
)) называют
-
доверительным интервалом, вероятность
- доверительной
вероятностью, а величина q=1-
- уровнем значимости. T
1
(
X
)
и T
2
(
X
) - называются нижней и верхней доверительными
границами соответственно.
Таким образом
-доверительный интервал
-
это
случайный интервал в параметрическом множестве
:
(T
1
,T
2
)
, зависящий от выборки
X
(но не от
), который
130
содержит (накрывает) истинное значение неизвестного
параметра
с вероятностью, не меньшей
.
Условие (5.1) означает, что в большой серии
независимых экспериментов, в каждом из которых получена
выборка объема n в среднем
100% из общего числа
построенных доверительных интервалов содержит истинное
значение параметра
. Длина доверительного интервала,
характеризующая
точность
интервального
оценивания,
зависит от объема выборки n и доверительной вероятности
.
При увеличении объема выборки длина доверительного
интервала уменьшается, а с приближением доверительной
вероятности к единице (
1) - увеличивается. Выбор
доверительной
вероятности
определяется
конкретными
условиями. Обычно используются значения
, равные 0.90;
0.95;
0.99.
иногда
рассматривают
односторонние
доверительные интервалы, соответственно верхний (вида
<T
2
(
X
)) и нижний (вида T
1
(
X
)<
), определяемые условиями,
аналогичными (9.1), в которых опускают соответствующую
вторую границу
P(
<T
2
(
X
))=
или P(T
1
(
X
)<
)=
.
5.2. Построение доверительного интервала
с помощью центральной статистики
Общий прием, с помощью которого можно построить
доверительный интервал, состоит в следующем. Пусть модель
F
абсолютно непрерывна и существует случайная величина.
G(
X
;
), зависящая от
такая что:
1) распределение с.в. G(
X
;
) не зависит от
,
2) при каждом
x
X
функция G(
x
;
) непрерывна и строго
монотонна по
.
Такую случайную величину называют
центральной
статистикой
(для
). Будем рассматривать только случай
скалярного параметра
. Пусть для модели
F
построена
центральная статистика G(
X
;
) и f
G
(g) ее плотность