ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1750
Скачиваний: 15
158
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
E
(
α
n
+1
) =
E
(
r
n
)
.
(11.111)
При этом считается, что дисперсия
(
n
+ 1)
-й ошибки равна дисперсии ры-
ночной доходности:
σ
2
ε, n
+1
=
σ
2
m
.
(11.112)
Выражение (11.110) представляет собой сумму взвешенных величин «беты»
каждой ценной бумаги (где весом служат
w
i
) и называется портфельной «бетой»
β
n
. С учетом выражений (11.110) и (11.111) формулу (11.109) можно записать
так:
E
(
r
n
) =
n
+1
X
i
=1
w
i
α
i
.
(11.113)
Таким образом, ожидаемую доходность портфеля
E
(
r
n
)
можно представить
состоящей из двух частей:
a) суммы взвешенных параметров
α
i
, т.е.
w
1
α
1
+
w
2
α
2
+
. . .
+
w
n
α
n
, что отражает
вклад в
E
(
r
n
)
самих ценных бумаг;
b) произведения портфельной «беты» и ожидаемой рыночной доходности, что
отражает взаимосвязь рынка с ценными бумагами портфеля, т.е.
w
n
+1
α
n
+1
=
n
X
i
=1
w
i
β
i
!
E
(
r
m
)
.
Как известно, дисперсию портфеля можно представить в виде:
D
(
r
n
) =
σ
2
n
=
n
X
i
=1
w
i
σ
2
i
+
n
X
i
=1
n
X
j
=1
w
i
w
j
σ
i,j
.
(11.114)
Если вместо значений
σ
2
i
и
σ
i,j
подставить выражения:
σ
2
i
=
β
2
i
σ
2
m
+
σ
2
ε,i
,
(11.115)
σ
i,j
=
β
i
β
j
σ
2
m
,
(11.116)
11.5. Модель портфеля У. Шарпа
159
провести соответствующие вычисления и воспользоваться условностью (11.110),
то можно показать, что дисперсия портфеля представляется в виде:
σ
2
n
=
n
+1
X
i
=1
w
i
σ
2
ε,i
,
(11.117)
При этом необходимо иметь в виду, что
w
n
+1
=
n
X
i
=1
w
i
β
i
,
т.е.
(
w
n
+1
)
2
= (
w
1
β
1
+
w
2
β
2
+
. . .
+
w
n
β
n
)
2
,
σ
2
ε,n
+1
=
σ
2
m
.
Значит, дисперсию портфеля, содержащего
n
акций, можно представить
состоящей из двух компонент:
a) средневзвешенных дисперсий ошибок
n
X
i
=1
w
2
i
σ
2
ε,i
,
где весами служат
w
i
, что отражает долю риска портфеля, связанного с
риском самих ценных бумаг (собственный риск);
b) взвешенной величины дисперсии доходности рыночного портфеля
σ
2
m
β
2
n
σ
2
m
,
где весом служит квадрат портфельной «беты», что отражает долю риска
портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночный риск).
Определив выражения для ожидаемой доходности и дисперсии, запишем
модель У. Шарпа в матричной форме:
w
0
Σ
d
w
→
min
w
0
α
=
µ,
w
0
i
= 1
,
w
0
β
=
w
n
+1
,
,
(11.118)
160
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
где
w
0
n
+1
= (
w
1
, . . . , w
n
, w
n
+1
)
– вектор, компоненты которого определяют
структуру расширенного портфеля;
w
0
= (
w
1
, . . . , w
n
)
– вектор, компоненты
которого определяют структуру портфеля;
α
0
= (
α
1
, . . . , α
n
)
,
β
0
= (
β
1
, . . . , β
n
)
–
векторы параметров;
Σ
d
= diag(
σ
2
ε,
1
, . . . , σ
2
ε,n
, σ
2
m
)
– диагональная матрица с
остаточными дисперсиями и дисперсией рыночного индекса.
Отметим основные этапы, которые необходимо выполнить для построения
границы эффективных портфелей в модели У. Шарпа:
1) для
n
ценных бумаг предполагаемого портфеля и определить исторический
промежуток в
T
лет, за который вычислить значения доходности
r
ti
;
2) вычислить соответствующие доходности для рыночного индекса
r
tm
;
3) оценить дисперсию рыночной доходности
σ
2
m
и значения ковариаций
σ
i,m
доходностей ценных бумаги с рыночной доходностью и вычислить:
β
i
=
C
(
r
i
, r
m
)
D
(
r
m
)
=
σ
i,m
σ
2
m
,
(11.119)
4) найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги
E
(
r
i
)
и рыночного ин-
декса
E
(
r
m
)
и вычислить параметр
α
i
:
α
i
=
E
(
r
i
)
−
β
i
E
(
r
m
) ;
(11.120)
5) вычислить дисперсии
σ
2
ε,i
ошибок регрессионной модели;
6) подставить эти значения в уравнения, получив систему:
σ
2
n
=
n
+1
X
i
=1
w
i
σ
2
ε,i
,
E
(
r
n
) =
n
X
i
=1
w
i
α
i
=
µ,
n
X
i
=1
w
i
= 1
,
n
X
i
=1
w
i
β
i
=
w
n
+1
.
(11.121)
Задания для самоконтроля
161
После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами явля-
ются веса
w
i
акций портфеля. Выбрав определенную величину ожидаемой до-
ходности портфеля
µ
, можно решить полученную систему уравнений с исполь-
зованием множителей Лагранжа.
Запишем функцию Лагранжа:
L
=
w
0
n
+1
Σ
d
w
n
+1
+
λ
1
(
w
0
n
+1
α
−
µ
) +
λ
2
(
w
0
i
−
1) +
λ
3
(
w
0
β
−
w
n
+1
)
→
min
Продифференцируем ее по
w
и множителям Лагранжа
L
w
= 2
Σ
d
w
n
+1
+
λ
1
I
α
+
λ
2
i
+
λ
3
β
= 0
,
L
λ
1
=
w
0
n
+1
α
−
µ
= 0
,
L
λ
2
=
w
0
i
−
1 = 0
,
L
λ
3
=
w
0
i
−
w
n
+1
= 0
.
(11.122)
Структура системы (11.122) в матричном виде для случая, когда форми-
руется портфель из трех активов имеет вид:
2
σ
2
ε,
1
0
0
0
α
1
1
β
1
0
2
σ
2
ε,
2
0
0
α
2
1
β
2
0
0
2
σ
2
ε,
3
0
α
3
1
β
3
0
0
0
2
σ
2
m
¯
r
m
0
−
1
α
1
α
2
α
3
¯
r
m
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
β
1
β
2
β
3
−
1
0
0
0
×
w
1
w
2
w
3
w
4
λ
1
λ
2
λ
3
=
0
0
0
0
µ
1
0
(11.123)
Ее решение позволяет получить искомую структуру портфеля.
Задания для самоконтроля
Задача 11.1.
Удельные веса активов A и В соответственно равны 20% и
80%, стандартное отклонение доходности актива А составляет 16%, а актива В –
22%, ковариация доходностей активов равна 199,2. Рассчитайте риск портфеля,
измеренный стандартным отклонением.
Задача 11.2.
Два актива, включеные в портфель структуры
(0
,
3
0
,
7)
,
имеют стандартные отклонения доходности 16% и 22% соответственно и коэф-
162
Глава 11. Основные подходы к моделированию портфельных решений
фициент корреляции доходности активов равный 0,85. Определите риск порт-
феля, измеренный стандартным отклонением.
Задача 11.3.
Инвестор формирует из двух активов портфель на сумму
Р100000. Риск первой бумаги равен 20%, второй – 35%. Корреляция доходностей
бумаг
−
1
. Определите структуру безрискового портфеля этих активов.
Задача 11.4.
Портфель сформирован из двух активов. Первый актив куп-
лен за Р1300, второй – за
Р
900. Стандартные отклонения доходностей активов
в расчете на год равны 20% и 30%. Коэффициент корреляции доходностей ак-
тивов 0,6. Вычислите риск портфеля, измеренный стандартным отклонением.
Задача 11.5.
На
Р
300000 собственных средств инвестор приобретает рис-
кованный актив А и на
Р
200000 – актив В. На заемные под 12% средства в
рfзмере
Р
200000 он покупает на
Р
150000 актив А и на
Р
50000 актив В. Ка-
кой будет ожидаемая доходность сформированного портфеля, если ожидаемая
доходность актива А равна 15%, актива В – 20%.
Задача 11.6.
Портфель состоит из двух активов. Стандартное отклонение
доходности первого актива равно 26%, второго 39%, корреляция доходностей
составляет минус единица. Определите доходность безрискового портфеля из
данных активов, если ожидаемая доходность первого актива 30%, второго 50%.
Задача 11.7.
Инвестор приобретает рискованный актив на
Р
700000 за счет
собственных средств, занимает
Р
300000 под 15% годовых и также инвестирует
их в актив А. Ожидаемая доходность актива А равна 30% годовых, стандартное
отклонение доходности 20%. Какую доходность инвестор может получить через
год с вероятностью: а) 68,3%, б) 95,4% при условии нормального распределения
доходности актива?
Задача 11.8.
Рассчитайте общий риск портфеля ценных бумаг А и В
структуры
(0
,
4
0
,
6)
, выраженный дисперсией в рыночной модели, если ры-
ночный риск, выраженный стандартным отклонением, равен 8. Беты активов
равны 1,5 и 0,5 соответственно. Собственный риск активов, выраженный стан-
дартным отклонением, составил 3 и 4.
Задача 11.9.
Инвестор приобретает актив А на
Р
800000, актив В на
Р
200000 и актив С на
Р
600000. Ожидаемая доходность активов 20%, 25%, и
22% соответственно. Какова ожидаемая доходность такого портфеля.
Задача 11.10.
Найдите ожидаемую доходность ценной бумаги А с помо-
щью модели и стандартное отклонение индекса, если коэффициент смещения