ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 289
Скачиваний: 1
— 26 —
20.4. Найти операторы, сопряженные к следующим операторам, действу-
ющим в
l
p
, где
1
≤
p <
∞
, и которые на
x
= (
x
1
, x
2
, x
3
, . . .
)
∈
l
p
определены
равенствами:
1)
A
n
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
0
,
0
, . . .
)
,
2)
Bx
= (0
, x
1
, x
2
, x
3
, . . .
)
,
3)
Cx
= (
x
2
, x
3
, x
4
. . .
)
,
4)
D
n
x
= (0
, x
1
, x
2
, . . . , x
n
,
0
,
0
, . . .
)
,
5)
Ex
= (0
,
0
, x
1
,
0
,
0
. . .
)
,
6)
F
n
x
= (0
,
0
, x
2
, x
3
, . . . , x
n
+1
,
0
,
0
, . . .
)
.
20.5. В пространстве
l
2
для
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
∈
l
2
положим
A
n
x
= (
x
n
+1
, x
n
+2
, . . .
)
.
а) Доказать, что
A
n
∈
L
(
l
2
)
и
A
n
сильно
−→
Θ
при
n
→ ∞
.
в) Найти
A
∗
n
и выяснить, верно ли, что
A
∗
n
сильно
−→
Θ
при
n
→ ∞
.
20.6. Найти оператор, сопряженный к оператору
A
∈
L
(
L
2
(0
,
1))
, если:
а)
Ax
(
t
) =
tx
(
t
)
,
б)
Ax
(
t
) =
Z
1
0
tx
(
s
)
ds
,
в)
Ax
(
t
) =
Z
1
0
sx
(
s
)
ds
,
г)
Ax
(
t
) =
Z
t
0
x
(
s
)
ds
.
20.7. Для оператора ортогонального проектирования
P
, определенного в
задаче 15.10, найти сопряженный оператор
P
∗
.
20.8. Пусть
H
– ГП;
y, z
∈
H, y
6
= Θ
, z
6
= Θ
– произвольные фиксиро-
ванные элементы. Для
x
∈
H
положим
Ax
= (
x, y
)
z
. Доказать, что
A
∈
L
(
H
)
и найти оператор
A
∗
.
20.9. Пусть
A
∈
L
(
E, F
)
, где
E
,
F
– рефлексивные пространства. Доказать,
что
A
∗∗
=
A
.
21. Вполне непрерывные операторы
21.1. Пусть
E, F
– ЛНП-ва,
A
∈
L
(
E, F
)
, B
∈
σ
(
F, E
)
. Доказать, что
операторы
AB
и
BA
вполне непрерывны.
21.2. Пусть
E
– ЛНП бесконечномерно, оператор
A
∈
σ
(
E
)
. Может ли
оператор
A
быть непрерывно обратимым ?
21.3. Какие из следующих операторов являются вполне непрерывными в
пространстве
C
[0
,
1]
:
а)
Ax
(
t
) =
x
(0) +
tx
(1)
,
б)
Ax
(
t
) =
Z
t
0
x
(
s
)
ds
,
в)
Ax
(
t
) =
x
(
t
2
)
?
21.4. Будет ли вполне непрерывным в
C
[
−
1
,
1]
оператор
Ax
(
t
) = 2
−
1
[
x
(
t
) +
x
(
−
t
)] ?
21.5. Будет ли оператор
Ax
(
t
) =
x
0
(
t
)
вполне непрерывным, если:
а
)
A
:
C
1
[0
,
1]
→
C
[0
,
1]
,
б
)
A
:
C
2
[0
,
1]
→
C
1
[0
,
1]
,
в
)
A
:
C
2
[0
,
1]
→
C
[0
,
1] ?
— 27 —
21.6. Доказать, что оператор
Ax
(
t
) =
R
t
0
x
(
s
)
ds
является вполне непре-
рывным в пространстве
L
2
(0
,
1)
.
21.7. Пусть на
x
= (
x
1
, x
2
, . . .
)
∈
l
p
(1
≤
p <
∞
)
задан оператор
Ax
=
(
λ
1
x
1
, λ
2
x
2
, . . .
)
, где
λ
k
∈
C
1
и
sup
|
λ
k
|
<
∞
. Доказать, что оператор
A
вполне
непрерывен в
l
p
тогда и только тогда, когда
λ
k
→
0
при
k
→ ∞
.
21.8. Какие из следующих операторов, которые на
x
= (
x
1
, x
2
, . . .
)
∈
l
2
определены равенствами:
а)
Ax
= (0
, x
1
, x
2
, . . .
)
,
б)
Bx
= (
x
1
,
x
2
2
,
x
3
3
, . . .
)
,
в)
Cx
= (0
, x
1
,
x
2
2
,
x
3
3
, . . .
)
,
являются вполне непрерывными в
l
2
?
21.9. Пусть
{
e
n
}
– полная ортонормированная система элементов
H
– ГП.
Пусть последовательность чисел
λ
n
∈
C
1
такая, что
λ
n
→
0
при
n
→ ∞
. Для
x
∈
H
положим
Ax
=
P
∞
n
=1
λ
n
(
x, e
n
)
e
n
. Доказать, что оператор
A
является
в
H
вполне непрерывным.
21.10. Пусть
H
– ГП и оператор
A
∈
L
(
H
)
такой, что он всякую слабо схо-
дящуюся последовательность
{
x
n
}
переводит в сходящуюся
{
Ax
n
}
. Доказать,
что оператор
A
в
H
вполне непрерывный.
21.11. Пусть
H
– ГП и оператор
A
∈
L
(
H
)
. Доказать, что оператор
A
в
H
вполне непрерывен тогда и только тогда, когда для всяких последовательно-
стей
{
x
n
}
,
{
y
n
} ⊂
H
таких, что
x
n
слабо
−→
x
и
y
n
слабо
−→
y
при
n
→ ∞
, выполнено
(
Ax
n
, y
n
)
→
(
Ax, y
)
.
21.12. Пусть
H
– ГП, оператор
A
∈
L
(
H
)
и оператор
A
∗
A
– вполне непре-
рывен в
H
. Доказать, что оператор
A
вполне непрерывен в
H
.
21.13. Доказать, используя предыдущую задачу, что если оператор
A
впол-
не непрерывен в
H
– ГП, то вполне непрерывен в
H
и оператор
A
∗
.
21.14. Пусть линейный оператор
A
:
E
→
E
, где
E
– ЛНП конечномерное.
Показать, что для уравнений
Ax
=
y
и
A
∗
f
=
g
справедливы три теоремы
Фредгольма о разрешимости.