ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 288
Скачиваний: 1
— 6 —
3.12. Доказать, что для любых множеств
A
и
B
в метрическом простран-
стве выполняется
A
o
∪
B
o
⊂
(
A
∪
B
)
o
. Привести пример строгого включения.
3.13. Показать, что в дискретном метрическом пространстве каждое мно-
жество открыто.
3.14. Пусть
f
(
x
)
– непрерывная на
R
1
функция. Доказать, что для любого
a
∈
R
1
в
R
1
открыто множество
{
x
∈
R
1
|
f
(
x
)
< a
}
.
3.15. Доказать, что для любой функции
x
o
∈
C
[
a, b
]
в пространстве
C
[
a, b
]
открыто множество
{
x
∈
C
[
a, b
]
|
(
∀
t
∈
[
a, b
])[
x
(
t
)
< x
o
(
t
)]
}
.
3.16. Построить счетную последовательность открытых множеств, пересе-
чение которых не является открытым.
3.17. Пусть
X
– МП,
B
– замкнутое подмножество
X
, а
A
– произвольное
подмножество. Доказать, что
(
A
o
∪
B
)
o
= (
A
∪
B
)
o
.
3.18. В множестве натуральных чисел
N
введем расстояние
ρ
(
n, m
) =
½
0
,
n
=
m
1 + (
n
+
m
)
−
1
,
n
6
=
m
.
а) Показать, что
N
– полное метрическое пространство.
б) Положим
B
n
=
{
m
∈
N
|
ρ
(
n, m
)
≤
1 + (2
n
)
−
1
}
.
Показать, что
{
B
n
}
– последовательность замкнутых вложенных шаров с пустым пересечением.
Нет ли здесь противоречия с теоремой о вложенных шарах ?
3.19. Доказать, что объединение двух совершенных множеств является со-
вершенным множеством, а пересечение двух совершенных множеств может
не быть совершенным.
3.20. Пусть множество
A
в метрическом пространстве
X
нигде не плотно.
Доказать, что дополнение
CA
=
X
\
A
в
X
всюду плотно.
3.21. Верно ли, что дополнение к всюду плотному множеству является
нигде не плотным ?
3.22. Пусть множество
A
в метрическом пространстве нигде не плотно.
Доказать, что замыкание
A
также нигде не плотно.
3.23. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству
является нигде не плотным.
3.24. Доказать, что множество всех иррациональных чисел является в
R
1
множеством второй категории.
3.25. Доказать, что в полном метрическом пространстве дополнение к мно-
жеству первой категории есть множество второй категории.
3.26. Какой категории на
R
2
2
является множество
E
всех точек, обе коор-
динаты которых иррациональные числа ? Какой категории множество
CE
=
R
2
2
\
E
?
— 7 —
4. Непрерывные отображения метрических пространств
4.1. Проверить непрерывность следующих функций, действующих в про-
странстве
R
2
1
, где
x
= (
x
1
, x
2
)
:
1)
f
(
x
) = (2
x
1
, x
1
−
x
2
)
, 2)
f
(
x
) = (
x
2
1
, x
2
2
)
, 3)
f
(
x
) = (sin
x
2
, x
1
)
,
4)
f
(
x
) = (
x
2
,
tg
x
2
)
,
5)
f
(
x
) = (
x
1
/x
2
, x
2
/x
1
)
.
4.2. Проверить непрерывность действующих в пространстве
C
[0
,
1]
функ-
ций:
1)
f
(
x
)(
t
) =
Z
1
0
sin (
t
−
s
)
x
(
s
)
ds
, 2)
f
(
x
)(
t
) =
Z
t
0
x
2
(
s
)
ds
,
3)
f
(
x
)(
t
) = arctg
x
(
t
)
, 4)
f
(
x
)(
t
) = (1 +
t
2
)
−
1
x
(
t
)
.
4.3. Доказать, что в задаче 4.1 функции 1) и 3) удовлетворяют условию
Липшица.
4.4. Доказать, что в задаче 4.2 функции 1), 3) и 4) удовлетворяют условию
Липшица.
4.5. Пусть
X
,
Y
– МП-ва и функция
f
:
X
→
Y
. Доказать, что функция
f
непрерывна на
X
тогда и только тогда, когда
(
∀
A
⊂
X
)(
f
[
A
]
⊂
f
[
A
])
.
4.6. Доказать, что любое непрерывное отображение числового отрезка в
себя имеет неподвижную точку.
4.7. Пусть функция
f
(
x
)
дифференцируема на
R
1
и
|
f
0
(
x
)
| ≤
k <
1
. Пока-
зать, что уравнение
x
=
f
(
x
)
имеет единственное решение.
4.8. Проверить, что следующие уравнения имеют единственные решения:
1)
4
x
= 2(1 +
x
2
)
1
/
2
+ sin
x
, 2)
10
x
+ 5arctg
x
+ 4 cos
x
= 0
.
4.9. На
[1
,
∞
)
рассмотрим функцию
f
(
x
) = 2
−
1
ln
x
. Показать, что функ-
ция
f
(
x
)
является сжимающей, но неподвижных точек не имеет.
4.10. Показать, что функция
f
(
x
) = 2
−
1
x
2
|
x
|
−
1
является сжимающей в
своей области определения, но неподвижных точек не имеет.
4.11. Пусть задана функция
a
∈
C
[
a, b
]
. Показать, что существует един-
ственная функция
x
∈
C
[
a, b
]
такая, что
2
x
(
t
) + sin
x
(
t
) +
a
(
t
)
≡
0
.
4.12. Показать, что существует единственная функция
x
∈
C
[0
,
1]
такая,
что
2
x
(
t
) +
x
(
t
2
) +
t
3
≡
0
.
4.13. Пусть
X
– МП полное. Отображение
f
:
B
[
x
o
, r
]
→
X
и является
сжимающим с константой сжатия
q
. Пусть
ρ
(
f
(
x
o
)
, x
o
)
≤
(1
−
q
)
r
. Показать,
что отображение
f
имеет в шаре
B
[
x
o
, r
]
единственную неподвижную точку.
4.14. Пусть
f
(
t, u
)
– функция, непрерывная по совокупности переменных
t
∈
[
a, b
]
и
u
∈
R
1
. Пусть существует
f
0
u
(
t, u
)
такая, что
0
< m
≤
f
0
u
(
t, u
)
≤
M <
∞
для всех
t
∈
[
a, b
]
и
u
∈
R
1
. Показать, что существует единственная
— 8 —
функция
x
∗
∈
C
[
a, b
]
такая, что
f
[
t, x
∗
(
t
)]
≡
0
.
4.15. Показать, что следующие интегральные уравнения имеют единствен-
ные решения в
C
[0
,
1]
и найти эти решения методом последовательных при-
ближений, полагая
x
o
(
t
)
≡
0
:
1)
x
(
t
) =
Z
1
0
ts
2
x
(
s
)
ds
+ 1
,
2) 6
x
(
t
) = 5
t
+ 3
Z
1
0
tsx
(
s
)
ds.
5. Компактные множества
5.1. Доказать, что всякое подмножество относительно компактного мно-
жества является относительно компактным.
5.2. Доказать компактность всякого конечного множества в метрическом
пространстве.
5.3. Доказать, что замыкание относительно компактного множества явля-
ется компактным.
5.4. Доказать, что всякое компактное метрическое пространство является
полным.
5.5. Доказать, что объединение конечного числа компактных множеств
есть множество компактное.
5.6. Доказать, что в метрическом пространстве любая последовательность
непустых компактных множеств
A
1
⊃
A
2
⊃
...
⊃
A
n
...
имеет непустое пере-
сечение.
5.7. Привести пример замкнутого ограниченного множества в простран-
стве
l
2
, не являющегося компактным.
5.8. Пусть
A
– относительно компактное множество в
X
– МП. Показать,
что
(
∀
x
∈
X
)(
∃
a
∈
A
)[ inf
y
∈
A
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
x, a
)]
.
5.9. Пусть
A
– относительно компактное множество, а
B
– замкнутое мно-
жество в метрическом пространстве, причем
A
∩
B
=
∅
. Показать, что
inf
x
∈
A,y
∈
B
ρ
(
x, y
)
>
0
.
5.10. Пусть
A
,
B
– относительно компактные множества в метрическом
пространстве. Показать, что
(
∃
a
∈
A
)(
∃
b
∈
B
)[
inf
x
∈
A,y
∈
B
ρ
(
x, y
) =
ρ
(
a, b
)]
.
5.11. Доказать, что непрерывный образ компактного множества есть ком-
пактное множество.
— 9 —
5.12. Пусть множество
A
вполне ограничено в метрическом пространстве.
Показать, что для любого
ε >
0
конечную
ε
– сеть для
A
можно выбрать так,
чтобы она содержалась в
A
.
5.13. Пусть
A
и
B
– ограниченные множества в метрическом пространстве.
Показать, что в пространстве
R
1
относительно компактно множество
{
λ
=
ρ
(
x, y
)
|
(
x
∈
A
)
∧
(
y
∈
B
)
}
.
5.14. Пусть
M
– ограниченное в
C
[
a, b
]
множество функций, удовлетворя-
ющих условию Липшица с общей постоянной. Показать, что множество
M
относительно компактно в
C
[
a, b
]
.
5.15. Пусть
M
=
{
x
(
t
)
}
– множество функций из
C
[
a, b
]
, удовлетворяющих
условию Липшица с общей постоянной. Пусть существует точка
t
o
∈
[
a, b
]
,
что соответствующее числовое множество
{
x
(
t
o
)
}
ограничено. Показать, что
множество
M
относительно компактно в
C
[
a, b
]
.
5.16. Пусть
M
=
{
x
(
t
)
}
– множество дифференцируемых на отрезке
[
a, b
]
функций, удовлетворяющих условию
(
∃
K
≥
0)(
∀
x
∈
M
)(
∀
t
∈
[
a, b
]) [
|
x
0
(
t
)
| ≤
K
]
∧
(
∀
x
∈
M
)(
∃
t
o
∈
[
a, b
])[
x
(
t
o
) = 0]
.
Показать, что множество
M
относительно компактно в
C
[
a, b
]
.
5.17. Пусть
M
– ограниченное в
C
[
a, b
]
множество. Показать относитель-
ную компактность в
C
[
a, b
]
множества
n
y
∈
C
[
a, b
]
|
[
y
(
t
) =
Z
t
a
x
(
s
)
ds
]
∧
(
x
∈
M
)
o
.
5.18. Какие из следующих множеств относительно компактны в
C
[0
,
1]
:
1)
{
1
−
2
n
−
1
t
2
}
∞
n
=1
;
2)
{
t
n
}
∞
n
=1
;
3)
{
t
n
−
t
n
+1
}
∞
n
=1
;
4)
{
n
−
1
sin
nt
}
∞
n
=1
;
5)
{
(1 +
nt
2
)
−
1
}
∞
n
=1
;
6)
{
sin (
t
+
α
)
}
α
∈
R
1
;
7)
{
arctg (
t
+
α
)
}
α
∈
R
1
;
8)
{
n
[1
−
cos (
t n
−
1
)]
}
∞
n
=1
?
5.19. Пусть
y
(
t, s
)
– функция, непрерывная по совокупности переменных
на квадрате
t, s
∈
[
a, b
]
. Для каждого
s
∈
[
a, b
]
определим функцию
x
s
(
t
) =
y
(
t, s
)
по переменной
t
∈
[
a, b
]
. Показать, что множество функций
{
x
s
(
t
)
}
s
∈
[
a,b
]
компактно в
C
[
a, b
]
.
6. Линейные пространства
6.1. Являются ли линейными пространствами следующие множества фун-
кций (с естественными алгебраическими операциями) :
1) функции
x
(
t
)
непрерывны на
[
a, b
]
и
x
(
a
) = 0
;
2) функции
x
(
t
)
непрерывны на
[
a, b
]
и
x
(
b
) = 1
?
— 10 —
6.2. Пусть
A
– подмножество линейного пространства. Справедливо ли для
любых чисел
λ
и
µ
равенство
(
λ
+
µ
)
A
=
λA
+
µA
?
6.3. Пусть
E, F
– ЛП-ва. Определим линейные операции на множестве
E
×
F
=
{
(
x, y
)
|
(
x
∈
E
)
∧
(
y
∈
F
)
}
следующим образом:
a
1
(
x
1
, y
1
) +
a
2
(
x
2
, y
2
) =
(
a
1
x
1
+
a
2
x
2
, a
1
y
1
+
a
2
y
2
)
. Показать, что тогда
E
×
F
– ЛП.
6.4. Доказать, что пересечение любой системы выпуклых множеств есть
выпуклое множество.
6.5. Пусть
A
и
B
– выпуклые множества. Доказать, что для любых чисел
λ
и
µ
множество
λA
+
µB
выпукло.
6.6. Пусть
A
– выпуклое множество и
{
x
i
}
n
i
=1
⊂
A
. Показать, что если
α
i
≥
0
и
P
n
i
=1
α
i
= 1
, то
P
n
i
=1
α
i
x
i
∈
A
.
6.7. Доказать, что множество
A
выпукло тогда и только тогда, когда для
любых чисел
t >
0
и
s >
0
выполнено
(
t
+
s
)
A
=
t A
+
s A
.
6.8. Показать, что в
C
[0
, π
]
функции
1
,
cos
t,
cos
2
t
линейно независимы,
а функции
1
,
cos 2
t,
cos
2
t
линейно зависимы.
6.9. Показать, что в
C
[
a, b
]
функции
t
k
(
k
= 0
,
1
, ..., n
)
линейно независимы.
6.10. Показать, что пространства
l
2
, m
и
C
[
a, b
]
бесконечномерны.
6.11. Пусть линейное пространство
E
=
L
1
⊕
L
2
, где
L
1
, L
2
– ЛМ-зия.
Доказать, что
L
1
∩
L
2
=
{
Θ
}
.
6.12. Пусть
L
1
, L
2
– ЛМ-зия в
E
– ЛП и
L
1
∩
L
2
=
{
Θ
}
. Пусть всякий
x
∈
E
допускает представление
x
=
x
1
+
x
2
, где
x
1
∈
L
1
и
x
2
∈
L
2
. Доказать, что
E
=
L
1
⊕
L
2
.
6.13. В пространстве
l
2
даны два множества :
M
n
=
{
x
∈
l
2
|
[
x
= (
x
1
, x
2
, ...
)]
∧
(
P
n
k
=1
x
k
= 0)
}
,
N
n
=
{
x
∈
l
2
|
[
x
= (
x
1
, ..., x
n
,
0
,
0
, ...
)]
∧
(
x
1
=
x
2
=
...
=
x
n
)
}
.
Показать, что
M
n
и
N
n
– ЛМ-зия в
l
2
и
l
2
=
M
n
⊕
N
n
.
6.14. В пространстве
l
2
дано множество
N
1
=
{
x
∈
l
2
|
x
= (
x
1
,
0
,
0
, ...
)
}
.
Показать, что
N
1
– ЛМ в
l
2
и
l
2
=
M
n
⊕
N
1
, где
M
n
из задачи 6.13.
7. Линейные нормированные пространства
7.1. Показать, что для любой пары элементов
x
и
y
из линейного норми-
рованного пространства выполняется неравенство
k
x
k ≤
max
{k
x
+
y
k
,
k
x
−
y
k}
.
7.2. Показать, что множество
M
⊂
E
– ЛНП ограничено тогда и только
тогда, когда
(
∃
C
≥
0)(
∀
x
∈
M
)(
k
x
k ≤
C
)
.
7.3. Пусть
E, F
– ЛНП-ва. Определим в
E
×
F
– ЛП (зад. 6.3) норму
k
(
x, y
)
k
=
k
x
k
E
+
k
y
k
F
. Показать, что тогда:
a)
E
×
F
– ЛНП;
б) если
E, F
– БП-ва, то и
E
×
F
– БП.