ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 355
Скачиваний: 3
1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
КУРСОВЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
для студентов 1 курса ПММ
учебно-методическое пособие
Составители:
Половинкин И.П.
Попков А.В.
Рогова Н.В.
и др.
ВОРОНЕЖ
2006
2
Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ
28.03.2006, протокол №7.
Составители: Половинкин И.П., Попков А.В., Рогова Н.В., Рыжков А.В.,
Шашкин А.И.
Рецензент: Прядиев В.Л.
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре дифференциальных
уравнений факультета ПММ Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов 1 курса дневного отделения факультета ПММ.
Для специальностей:
010501(010200) - прикладная математика и информатика,
010901(010500) - механика,
010503(351500) - математическое обеспечение и администрирование
информационных систем.
3
Данная методическая разработка преследует несколько целей. Во-первых,
углубление знаний студентов по такой важной теме математического анализа,
как интегральное исчисление. Во-вторых, совершенствование технических
приемов студентами при вычислении интегралов и использовании их в приложениях.
В-третьих, развитие навыков самостоятельной работы в изучении математических
дисциплин. Каждый вариант содержит задания по неопределенным интегралам
(номера с 1-го по 20-й), по вычислению определенного интеграла (номера с 21-
го по 24-й), задания теоретического характера (номера 25-й и 26-й), а также
задания, связанные с приложениями определенного интеграла (номера с 27-
го по 30-й).
Отчет по курсовой работе должен содержать ясное и достаточно подробное
решение всех заданий варианта. Последние четыре задания варианта обязательно
должны сопровождаться необходимыми геометрическими построениями кривых.
4
Вариант 1
Найти интегралы.
1
.
R
sin
3
x
cos
5
x
dx.
2
.
R
1 + sin
x
cos
x
√
cos 2
x
dx.
3
.
R
3
x
3
+ 2
x
2
+ 1
(
x
+ 2)(
x
−
2)(
x
−
1)
dx.
4
.
R
dx
2 cos
2
x
−
3 cos 2
x
+ sin 2
x
+ 1
.
5
.
R
p
1 +
5
√
x
4
x
2
5
√
x
dx.
6
.
R
dx
x
2
√
x
2
+ 4
.
7
.
R
xe
3
√
x
dx.
8
.
R
arcsin
q
x
x
+ 1
dx.
9
.
R
xdx
(
x
2
−
3
x
+ 2)
√
x
2
−
4
x
+ 3
.
10
.
R
q
x
x
+ 1
+ 1
2
4
q
x
x
+ 1
dx.
11
.
R
tg
5
xdx
;
12
.
R
dx
(
x
4
−
1)
√
1
−
x
2
.
13
.
R
arctg
x
+
x
1 +
x
2
dx.
14
.
R
(
x
|
x
−
1
|
+
x
|
x
+ 1
|
)
dx.
15
.
R
x
4
√
1 +
x
2
dx.
16
.
R
dx
sin
4
x
cos
4
x
.
17
.
R
arccos
q
e
x
e
x
+ 1
dx.
18
.
R
x
+
a
x
+
b
n
dx, n
∈
N.
19
.
R
cos
2
x
e
2
x
dx.
20
.
R
dx
√
x
+
√
x
3
+
√
x
5
.
21
.
arctg 3
R
π/
4
dx
(3 tg
x
+ 5) sin 2
x
.
22
.
1
R
0
4
√
1
−
x
−
√
3
x
+ 1
(
√
3
x
+ 1 + 4
√
1
−
x
)(3
x
+ 1)
2
dx.
23
.
ln 3
R
0
√
e
x/
2
+ 1
dx.
24
.
√
3
R
√
2
xdx
√
x
4
−
x
2
−
1
.
25. Пусть
f
интегрируема на
[
a, b
]
и имеет в точке
x
0
∈
(
a, b
)
неустранимый
разрыв 1-го рода и
F
(
x
) =
x
R
a
f
(
t
)
dt
. Доказать, что
F
не является дифференцтруемой
в точке
x
0
.
26. Найти определенный интеграл от разрывной ограниченной функции
3
Z
−
1
[
x
]
sin[
x
]
dx.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
ln
t
,
y
(
t
) =
t
+ 1
,
x
= 0
,
x
= 1
.
28. Перейдя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную кривыми
(
x
6
+
y
6
) = 3
x
4
.
29. Найти длину дуги кривой
y
=
√
1
−
x
2
+ arcsin
x
,
0
≤
x
≤
9
16
.
30. Найти объем тела, образованного вращением фигуры
x
=
2
t
2
t
2
+1
,
y
=
2
t
3
t
2
+1
,
x
= 1
вокруг оси ОХ.
5
Вариант 2
Найти интегралы.
1
.
R
sin
4
x
cos
x dx.
2
.
R
√
cos 2
x
cos
x dx.
3
.
R
x
3
−
3
x
2
−
12
(
x
−
4)(
x
−
3)(
x
−
2)
dx.
4
.
R
dx
3 sin
x
+ 5 cos
x
.
5
.
R
5
q
(1 +
4
√
x
3
)
4
x
2
20
√
x
7
dx.
6
.
R
x
4
dx
√
1
−
x
2
.
7
.
R
x
ln
xdx
p
(
x
2
−
1)
3
.
8
.
R
x
cos
4
x
dx.
9
.
R
x
+ 1
√
x
2
ln
x
+
x
3
dx.
10
.
R
dx
sin
6
x
cos
2
x
.
11
.
R
dx
2 sin
x
+ 3 cos
2
x
+ 5
.
12
.
R
dx
3
√
x
2
(
√
x
+
4
√
x
)
.
13
.
R
(
arcsin
x
)
2
+ 1
√
1
−
x
2
dx.
14
.
R
min(
√
x,
2)
dx.
15
.
R
arctg
p
x
x
+1
dx.
16
.
R
x
2
−
1
x
√
x
4
−
1
dx.
17
.
R
arctg
√
x
(1 +
x
)
√
x
dx.
18
.
R p
x
2
+ (
a
+
b
)
x
+
abdx, a < b < x.
19
.
R
sin
2
x
e
2
x
dx.
20
.
R
x
+
√
x
+
3
√
x
2
x
+
3
√
x
4
dx.
21
.
arctg
1
3
R
0
8 + tg
x
18 sin
2
x
+ 2 cos
2
x
dx.
22
.
64
R
1
1
−
6
√
x
+ 2
3
√
x
x
+ 2
√
x
3
+
3
√
x
4
dx.
23
.
2
π
R
0
dx
3 + 2 cos
x
.
24
.
1
R
0
x
3
+
x
x
4
+ 1
dx.
25. Найти предел
lim
n
→∞
1
√
n
n
R
1
ln(1 +
1
√
x
)
dx
.
26. Пусть функция
f
(
x
)
непрерывно дифференцируема на отрезке
[0
,
1]
и
f
(1)
−
f
(0) = 1
. Доказать, что
1
R
0
[
f
0
(
x
)]
2
dx
≥
1
.
27. Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически
x
(
t
) =
t
2
+
t
+ 1
,
y
(
t
) =
t
3
−
1
,
x
= 1
,
x
= 3
.
28. Найти площадь общей части областей
(
x
2
+
y
2
)
2
= (
x
2
−
y
2
)
и
(
x
2
+
y
2
)
2
= 2
xy
.
29. Найти длину дуги кривой
x
= ln(cos
y
)
,
0
≤
y
≤
π
3
.
30. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ петли
кривой
y
2
(1
−
3
x
) =
x
2
(1 +
x
)
.