ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 290
Скачиваний: 1
— 16 —
10.19. Доказать, что если функция интегрируема по Риману на всяком
отрезке
[
α, β
]
таком, что
a < α < β < b
, и если она ограничена на
[
a, b
]
, то
она интегрируема по Риману на
[
a, b
]
.
10.20. Верно ли утверждение:"Если
A
– ММН на
[
a, b
]
, то характеристиче-
ская функция
χ
A
(
t
)
интегрируема по Риману на
[
a, b
]
"?
10.21. Верно ли утверждение:"Если
A
– нигде не плотное множество на
[
a, b
]
, то характеристическая функция
χ
A
(
t
)
интегрируема по Риману на
[
a, b
]
"?
10.22. Верно ли утверждение:"Если
A
– ММН нигде не плотное на
[
a, b
]
,
то характеристическая функция
χ
A
(
t
)
интегрируема по Риману на
[
a, b
]
"?
10.23. Пусть
F
– ММН замкнутое на
[
a, b
]
. Интегрируема ли характери-
стическая функция
χ
F
(
t
)
на
[
a, b
]
по Риману ?
10.24. Пусть множество
E
⊂
[
a, b
]
такое, что замыкание
E
– ММН. Инте-
грируема ли характеристическая функция
χ
E
(
t
)
на
[
a, b
]
по Риману ?
11. Суммируемые на отрезке функции
11.1. Показать, что если функция
x
∈
L
(суммируема), то
x
(
t
)
измеримая
функция.
11.2. Показать, что если функция
x
∈
C
+
, то
x
∈
L
.
11.3. Показать, что если функция
x
(
t
)
интегрируема по Риману на
[
a, b
]
,
то
x
∈
L
.
11.4. Пусть функции
x
(
t
)
п.в.
=
y
(
t
)
и
x
∈
L
. Показать, что тогда
y
∈
L
и
(
L
)
Ix
= (
L
)
Iy
.
11.5. Пусть функция
x
∈
C
+
. Показать, что
(
C
+
)
Ix
= (
L
)
Ix
.
11.6. Пусть
F
– замкнутое множество на
[
a, b
]
. Показать, что характери-
стическая функция
χ
F
∈
L
.
11.7. Пусть
e
D
⊂
[0
,
1]
– множество Кантора не нулевой меры такое, что
сумма длин смежных интервалов равна
α
, где
0
< α <
1
. Вычислить
(
L
)
Iχ
e
D
.
11.8. Привести пример суммируемой функции, квадрат которой не сумми-
руем.
11.9. При каких значениях
α
∈
R
1
функция
x
(
t
) =
t
α
суммируема на
[0
,
1]
?
11.10. Показать, что функции
x
i
(
t
)
, где
i
= 1
,
2
,
3
, суммируемы на отрезке
[0
,
1]
. Вычислить соответствующие
(
L
)
Ix
i
:
1)
x
1
(
t
) =
½
t
−
1
/
2
, t
∈
[0
,
1]
\
Q
t
3
,
t
∈
[0
,
1]
∩
Q
,
2)
x
2
(
t
) =
½
t
2
,
t
∈
D
t
−
1
/
3
, t /
∈
D
,
3)
x
3
(
t
) =
½
t
−
2
,
t
∈
[0
,
1]
∩
Q
−
t
−
1
/
2
, t
∈
[0
,
1]
\
Q
.
— 17 —
11.11. Привести пример на
[0
,
1]
последовательности
{
x
n
} ⊂
L
такой, что
п.в.
x
n
(
t
)
≥
0
и при
n
→ ∞
п.в.
x
n
(
t
)
%
x
(
t
)
. Функция
x
(
t
)
конечна п.в. на
[0
,
1]
, но не суммируема.
11.12. Пусть функция
x
(
t
)
непрерывна на
(
a, b
]
, имеет особенность при
t
=
a
и является суммируемой на
[
a, b
]
. Показать, что
x
(
t
)
интегрируема на
[
a, b
]
по Риману в несобственном смысле.
11.13. С помощью теоремы Лебега о предельном переходе под знаком ин-
теграла показать, что при
n
→ ∞
:
а
)
Z
1
0
sin(
tg
t
n
)
dt
→
0
,
б
)
Z
10
1
t
−
n
ln(1 +
t
)
dt
→
0
,
в
)
Z
1
0
arctg
t
n
√
1
−
t
dt
→
0
,
г
)
Z
π
0
t
−
1
3
sin
n
t dt
→
0
.
11.14. Привести пример на
[0
,
1]
последовательности
{
ϕ
n
} ⊂
L
, что :
а)
ϕ
n
(
t
)
п.в.
→
ϕ
(
t
)
при
n
→ ∞
и
ϕ
∈
L
;
б)
lim
n
→∞
Iϕ
n
=
Iϕ
,
в) не существует неотрицательной функции
ϕ
0
∈
L
, что для всех
n
выполнено
п.в.
|
ϕ
n
(
t
)
| ≤
ϕ
0
(
t
)
.
11.15. Пусть функция
x
∈
L
, а функция
y
(
t
)
измерима и ограничена. По-
казать, что произведение
x
(
t
)
y
(
t
)
– суммируемо.
11.16. Пусть функция
x
(
t
)
измерима на
[
a, b
]
и существует
p >
1
, что
x
p
∈
L
. Показать, что функция
x
∈
L
.
11.17. Показать, что для любой последовательности
{
n
k
}
натуральных чи-
сел таких, что
n
k
→ ∞
при
k
→ ∞
, функции
sin(
n
k
t
)
не сходятся на
[0
,
2
π
]
при
k
→ ∞
ни к какой функции
x
(
t
)
.
12. Измеримые множества
12.1. Пусть
A
и
B
измеримые множества. Доказать, что:
1)
µ
(
A
∪
B
) +
µ
(
A
∩
B
) =
µA
+
µB,
2)
µ
(
A
\
B
) +
µ
(
B
\
A
) =
I
|
χ
A
−
χ
B
|
,
где
I
- интеграл, а
χ
A
,
χ
B
- характеристические функции.
12.2. Множество
A
⊂
[
a, b
]
назовем множеством меры нуль, если это мно-
жество измеримо и
µA
= 0
. Показать, что это определение совпадает с пер-
воначальным.
12.3. Пусть
{
A
n
}
– последовательность измеримых множеств на
[0
,
1]
та-
кая, что
(
∀
ε >
0)(
∃
k
)(
µA
k
>
1
−
ε
)
. Доказать, что
µ
(
∞
S
n
=1
A
n
) = 1
.
— 18 —
12.4. Пусть на
[
a, b
]
расположены
n
измеримых множеств
{
A
i
}
n
i
=1
. Каж-
дая точка отрезка
[
a, b
]
принадлежит по меньшей мере
p
из этих множеств.
Доказать, что
(
∃
k
)[
µA
k
≥
(
b
−
a
)
p/n
]
.
12.5. Доказать, что любое ограниченное измеримое множество
A
такое,
что
µA
=
p >
0
, содержит измеримое подмножество меры
q
, для любого
q
,
что
0
≤
q < p
.
12.6. Доказать, что если
A
– измеримое множество на
[
a, b
]
и
µA >
0
, то на
множестве
A
найдется хотя бы одна пара точек, расстояние между которыми
рационально.
12.7. Пусть
x
(
t
)
– произвольная функция на
[
a, b
]
. Доказать, что следую-
щие свойства эквивалентны:
a)
(
∀
c
∈
R
1
)
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
> c
}
– измеримо,
б)
(
∀
c
∈
R
1
)
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
≥
c
}
– измеримо,
в)
(
∀
c
∈
R
1
)
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
< c
}
– измеримо,
г)
(
∀
c
∈
R
1
)
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
≤
c
}
– измеримо.
12.8. Пусть
E
– неизмеримое множество на
[
a, b
]
, множество
A
⊂
[
a, b
]
и
µA
= 0
. Доказать, что множество
E
∩
CA
неизмеримо.
12.9. Показать, что для множества
A
⊂
[
a, b
]
выполнено
µ
∗
A
≤
µ
∗
A
.
12.10. Пусть множества
A, B
⊂
[
a, b
]
и
A
⊂
B
. Показать, что
µ
∗
A
≤
µ
∗
B
и
µ
∗
A
≤
µ
∗
B
.
12.11. Пусть
A
– ограниченное множество и
A
=
S
n
A
n
(объединение ко-
нечное или счетное). Показать, что
µ
∗
A
≤
P
n
µ
∗
A
n
.
12.12. Пусть
A
– ограниченное множество и
A
=
S
n
A
n
(объединение конеч-
ное или счетное), причем
A
i
∩
A
j
=
∅
для
i
6
=
j
. Показать, что
µ
∗
A
≥
P
n
µ
∗
A
n
.
12.13. Показать, что для неизмеримого множества Лузина
Z
выполнено:
µ
∗
Z
= 0
, µ
∗
Z >
0
. Показать, что внешняя мера множества
Z
зависит от вы-
бора представителей в соответствующих классах эквивалентных множеств.
12.14. Пусть множества
A, B
⊂
[
a, b
]
, причем
µB
= 0
. Показать, что вы-
полнены равенства
µ
∗
A
=
µ
∗
(
A
∪
B
) =
µ
∗
(
A
\
B
)
.
12.15. Пусть ограниченные множества
A
и
B
такие, что:
µA
= 1
/
2
,
µ
∗
B
= 0
, µ
∗
B
= 1
. Доказать, что множество
A
∪
B
неизмеримо.
12.16. Пусть дана последовательность множеств
{
A
n
}
на
[
a, b
]
таких, что
A
n
⊂
A
n
+1
. Доказать, что
µ
∗
(
∞
S
n
=1
A
n
) = lim
n
→∞
µ
∗
A
n
.
12.17. Показать, что из измеримости на
[
a, b
]
функции
x
2
(
t
)
, либо
|
x
(
t
)
|
, не
следует измеримость
x
(
t
)
на
[
a, b
]
.
— 19 —
12.18. Доказать, что если функция
x
(
t
)
измерима на всяком отрезке
[
α, β
]
,
где
a < α < β < b
, то она измерима и на отрезке
[
a, b
]
.
12.19. Доказать, что если функция
x
(
t
)
имеет производную во всех точках
отрезка
[
a, b
]
, то эта производная
x
0
(
t
)
является измеримой на
[
a, b
]
функцией.
12.20. Пусть
x
(
t
)
– измеримая на
[
a, b
]
функция. Доказать, что для любых
m < M
на
[
a, b
]
измерима функция
[
x
(
t
)]
M
m
=
M,
x
(
t
)
≥
M
x
(
t
)
,
m < x
(
t
)
< M
m,
x
(
t
)
≤
m
.
12.21. Пусть
x
(
t
)
и
y
(
t
)
– измеримые на
[
a, b
]
функции. Показать измери-
мость множества
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
) =
y
(
t
)
}
.
13. Суммируемость по измеримому множеству,
по бесконечному промежутку и функции двух переменных
13.1. Пусть суммируемая на
[
a, b
]
функция
x
(
t
)
≥
0
. Пусть
µ
{
t
∈
[
a, b
]
|
x
(
t
)
≥
c
}
=
a
. Доказать, что
Ix
≥
ac
.
13.2. Пусть ограниченное множество
E
=
∞
S
n
=1
E
n
, где
E
n
– измеримые мно-
жества и
E
i
∩
E
j
=
∅
(
i
6
=
j
)
. Пусть функция
ϕ
(
t
)
такая, что
(
∀
n
)[
ϕ
(
t
)
∈
L
E
n
]
. Следует ли отсюда, что
ϕ
(
t
)
∈
L
E
?
13.3. Доказать суммируемость на
[0
,
2
π
]
функции
t
−
3
/
2
sin
t
.
13.4. Доказать суммируемость на
[
−
1
,
1]
функции
(1
− |
t
|
)
−
1
/
2
cos
t
.
13.5. Доказать суммируемость на
[
−
1
,
1]
функции
(1
− |
t
|
)
−
1
/
2
sin
t
.
13.6. Показать, что:
a
)
ϕ
1
(
t
) =
e
−
t
∈
C
+
[0
,
∞
)
,
б
)
ϕ
2
(
t
) =
t
−
3
∈
C
+
[1
,
∞
)
.
Вычислить соответствующие
(
C
+
)
Iϕ
i
(
i
= 1
,
2)
.
13.7. Показать, что:
a
)
ϕ
1
(
t
) = (1 +
t
2
)
−
1
∈
L
(
−∞
,
∞
)
,
б
)
ϕ
2
(
t
) = (1 +
t
2
)
−
1
sgn
t
∈
L
(
−∞
,
∞
)
.
Вычислить соответствующие
(
L
)
Iϕ
i
(
t
) (
i
= 1
,
2)
.
13.8. Показать, что функция
h
(
t
) =
−
5
измерима, но не является сумми-
руемой на
(
−∞
,
+
∞
)
.
13.9. Доказать, что любая ограниченная конечнозвенная ломаная на плос-
кости есть плоское множество меры нуль.
13.10. Пусть
A
– ММН на
[
a, b
]
оси
OX
, а множество
B
⊂
[
c, d
]
– произ-
вольное на оси
OY
. Доказать, что множество
A
×
B
– ММН на плоскости.
13.11. Привести пример ограниченного измеримого множества на плоско-
сти, проекции которого на координатные оси неизмеримы.
— 20 —
13.12. В квадрате
0
≤
x, y
≤
1
задана функция
ϕ
(
x, y
) =
0
,
(
x, y
) = (0
,
0)
x
2
−
y
2
(
x
2
+
y
2
)
2
,
x
2
+
y
2
6
= 0
.
Доказать, что функция
ϕ
(
x, y
)
в квадрате
[0
,
1]
2
не суммируема.
13.13. В квадрате
−
1
≤
x, y
≤
1
задана функция
ϕ
(
x, y
) =
(
0
,
(
x, y
) = (0
,
0)
xy
(
x
2
+
y
2
)
2
,
x
2
+
y
2
6
= 0
.
Доказать, что функция
ϕ
(
x, y
)
в квадрате
[
−
1
,
1]
2
не суммируема.
14. Пространства суммируемых функций
14.1. Для каких
α
∈
R
1
функция
x
(
t
) =
t
α
принадлежит пространству
L
p
[0
,
1]
, где
1
≤
p
≤ ∞
?
14.2. Показать, что всякая последовательность функций
{
x
n
(
t
)
}
, сходяща-
яся в пространстве
C
[
a, b
]
, сходится и в пространствах
L
p
[
a, b
]
, где
1
≤
p
≤ ∞
,
причем к той же функции.
14.3. Привести пример последовательности функций
{
x
n
} ⊂
C
[0
,
1]
, сходя-
щейся в пространствах
L
p
[0
,
1] (1
≤
p <
∞
)
, но не сходящейся в пространстве
C
[0
,
1]
.
14.4. Пусть последовательность функций
{
x
n
} ⊂
L
1
и
k
x
n
k →
0
при
n
→ ∞
. Следует ли отсюда при
n
→ ∞
, что
x
n
(
t
)
п.в.
→
0
?
14.5. Показать, что последовательность функций на
[0
,
1]
x
n
(
t
) =
½
n,
t
∈
(0
,
1
/n
)
0
,
t
∈ {
0
} ∪
[1
/n,
1]
при
n
→ ∞
сходится к нулю для всех
t
∈
[0
,
1]
и не сходится в пространстве
L
1
[0
,
1]
.
14.6. Показать, что для
1
≤
s < p
≤ ∞
всякая функция
x
∈
L
p
[
a, b
]
принадлежит и пространству
L
s
[
a, b
]
, причем
k
x
k
s
≤
c
(
a, b, s, p
)
k
x
k
p
.
14.7. Пусть функции
x
k
∈
L
p
k
[
a, b
]
, где
1
< p
k
<
∞
, k
= 1
,
2
и
p
−
1
1
+
p
−
1
2
=
p
−
1
3
, где
1
≤
p
3
<
∞
. Доказать, что произведение
x
1
x
2
∈
L
p
3
[
a, b
]
и
k
x
1
x
2
k
p
3
≤ k
x
1
k
p
1
k
x
2
k
p
2
.
14.8. Пусть функции
x
k
∈
L
p
k
[
a, b
]
, где
1
< p
k
<
∞
, k
= 1
,
2
,
3
и
p
−
1
1
+
p
−
1
2
+
p
−
1
3
= 1
. Доказать, что произведение
x
1
x
2
x
3
∈
L
1
[
a, b
]
и
k
x
1
x
2
x
3
k
1
≤ k
x
1
k
p
1
k
x
2
k
p
2
k
x
3
k
p
3
.