ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 292
Скачиваний: 1
— 21 —
15. Линейные операторы и функционалы
(ограниченность, норма, сходимость)
15.1. Пусть
E
– БП и
F
– ЛНП. Пусть
A
:
E
→
F
линейный ограничен-
ный оператор такой, что
(
∃
c >
0)(
∀
x
∈
E
)(
k
Ax
k
F
≥
c
k
x
k
E
)
.
Показать, что
множество значений оператора
R
(
A
)
– подпространство
F
.
15.2. В пространстве
C
[
−
1
,
1]
рассмотрим операторы
Ax
(
t
) =
1
2
[
x
(
t
) +
x
(
−
t
)]
, Bx
(
t
) =
1
2
[
x
(
t
)
−
x
(
−
t
)]
.
Доказать, что
A
,
B
– ЛОО-ы в
C
[
−
1
,
1]
и найти их нормы.
15.3. Пусть
f
(
x
) =
a x
(0) +
b x
(1)
, где
a, b
∈
R
1
. Показать, что
f
– ЛОФ на
C
[0
,
1]
и найти его норму.
15.4. Пусть
a
= (
a
1
, a
2
, . . . , a
k
, . . .
)
∈
l
2
. Для
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
∈
l
2
определим
f
(
x
) =
P
∞
k
=1
a
k
x
k
. Доказать, что
f
– ЛОФ на
l
2
и найти его норму.
15.5. Показать, что
f
– ЛОФ на
C
[
−
1
,
1]
и найти его норму:
а)
f
(
x
) =
x
(0)
−
Z
1
−
1
x
(
t
)
dt
;
б)
f
(
x
) =
Z
0
−
1
x
(
t
)
dt
−
Z
1
0
x
(
t
)
dt.
15.6. Пусть
a
= (
a
1
, a
2
, . . . , a
k
, . . .
)
∈
m
. Для
x
∈
l
2
определим оператор
Ax
= (
a
1
x
1
, a
2
x
2
, . . . , a
k
x
k
, . . .
)
. Доказать, что
A
:
l
2
→
l
2
линейный ограни-
ченный оператор и найти его норму.
15.7. Пусть
f
(
x
) =
R
2
π
0
cos
t x
(
t
)
dt
. Показать, что
f
– ЛОФ на простран-
ствах: а)
C
[0
,
2
π
]
,
б)
L
1
(0
,
2
π
)
,
в)
L
2
(0
,
2
π
)
. Найти соответствующие
нормы функционала
f
.
15.8. Пусть
A x
(
t
) =
x
(
t
) cos
t
. Показать, что
A
:
L
2
(0
, π
)
→
L
2
(0
, π
)
, явля-
ется линейным ограниченным оператором и найти
k
A
k
.
15.9. Пусть
A x
(
t
) =
x
(
t
) sin
t
. Показать, что
A
:
L
1
(0
, π
)
→
L
1
(0
, π
)
, явля-
ется линейным ограниченным оператором и найти
k
A
k
.
15.10. В
H
– ГП оператор ортогонального проектирования на подпростран-
ство
L
⊂
H
для
x
=
u
+
v
(
u
∈
L, v
∈
L
⊥
)
определяется равенством
P x
=
u
.
Доказать, что
P
– ЛОО, действующий в
H
, и найти его норму.
15.11. Пусть
H
– ГП,
L
1
и
L
2
– два подпространства
H
. Пусть
P
1
и
P
2
–
операторы ортогонального проектирования на
L
1
и
L
2
соответственно. Дока-
зать, что
k
P
1
−
P
2
k ≤
1
.
15.12. Для
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
∈
l
2
на области определения
D
(
A
) =
{
x
∈
l
2
|
P
∞
k
=1
|
λ
k
x
k
|
2
<
∞}
задан оператор
Ax
= (
λ
1
x
1
, λ
2
x
2
, . . .
)
, где после-
довательность чисел
{
λ
k
}
такая, что
sup
|
λ
k
|
=
∞
. Показать, что
D
(
A
) =
l
2
и
A
– действующий в
l
2
линейный неограниченный на
D
(
A
)
оператор.
— 22 —
15.13. Для
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
∈
l
2
на
D
(
A
) =
{
x
∈
l
2
|
P
∞
k
=1
|
x
k
|
<
∞}
задан оператор
Ax
=
x
. Показать, что
D
(
A
) =
l
2
и
A
– действующий из
l
2
в
l
1
линейный неограниченный на
D
(
A
)
оператор.
15.14. В пространстве
l
2
для
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
определены две после-
довательности операторов:
A
n
x
= (
x
1
n
,
x
2
n
, . . . ,
x
k
n
, . . .
)
, B
n
x
= (0
,
0
, . . . ,
0
|
{z
}
n
, x
n
+1
, x
n
+2
, . . .
)
.
Каков характер сходимости каждой из последовательностей ?
15.15. Пусть
E
и
F
– ЛНП-ва;
x, x
n
∈
E
(
n
= 1
,
2
, . . .
)
, и
k
x
n
−
x
k
E
→
0
при
n
→ ∞
. Пусть
A, A
n
∈
L
(
E, F
) (
n
= 1
,
2
, . . .
)
и
k
A
n
−
A
k →
0
при
n
→ ∞
.
Доказать, что
k
A
n
x
n
−
Ax
k
F
→
0
.
15.16. Пусть
E
– БП и
F
– ЛНП. Пусть
A, A
n
∈
L
(
E, F
) (
n
= 1
,
2
, . . .
)
и
операторы
A
n
при
n
→ ∞
сильно сходятся к оператору
A
. Пусть
x, x
n
∈
E
и
k
x
n
−
x
k
E
→
0
при
n
→ ∞
. Доказать, что
k
A
n
x
n
−
Ax
k
F
→
0
.
15.17. Пусть
H
– ГП и
M
⊂
H
линейное многообразие. Пусть
A
– ЛОО,
заданный на
M
со значениями в
E
– БП. Показать, что оператор
A
можно
продолжить на все пространство
H
с сохранением нормы.
16. Обратимые и обратные операторы. Резольвента и спектр
16.1. В пространстве
l
2
рассмотрим операторы
A
и
B
, переводящие эле-
мент
x
= (
x
1
, x
2
, . . . , x
k
, . . .
)
соответственно в
Ax
= (0
, x
1
, x
2
, . . .
)
и
Bx
=
(
x
2
, x
3
, . . .
)
. Являются ли операторы
A
и
B
обратимыми ?
16.2. Рассмотрим оператор
A
:
C
[0
,
1]
→
C
[0
,
1]
, заданный выражением
Ax
(
t
) =
Z
t
0
x
(
s
)
ds.
а) Что представляет собой
R
(
A
)
?
б) Существует ли обратный оператор и ограничен ли он ?
16.3. Показать, что соответствующие операторы
A
:
C
[0
,
1]
→
C
[0
,
1]
непрерывно обратимы и найти обратные:
а
)
Ax
(
t
) =
x
(
t
) +
Z
t
0
x
(
s
)
ds
;
б
)
Ax
(
t
) =
x
(
t
)
−
Z
1
0
tsx
(
s
)
ds
;
в
)
Ax
(
t
) =
x
(
t
) +
Z
1
0
exp(
t
+
s
)
x
(
s
)
ds.
— 23 —
16.4. Методами теории обратимых операторов показать, что для всех
λ
∈
R
1
, достаточно малых по модулю, уравнение
x
(
t
) +
λ
Z
b
a
K
(
t, s
)
x
(
s
)
ds
=
y
(
t
)
,
где функция
K
(
t, s
)
непрерывна по совокупности
t, s
∈
[
a, b
]
и функция
y
(
t
)
непрерывна на
[
a, b
]
, имеет единственное решение
x
∈
C
[
a, b
]
.
16.5. Пусть
E
– ЛНП и
A
:
E
→
E
такой линейный оператор, что ряд
P
∞
k
=0
A
k
x
сходится для всех
x
∈
E
.
а) Доказать, что оператор
I
−
A
обратим.
б) Пусть, кроме того,
A
∈
L
(
E
)
. Доказать, что тогда для любого
x
∈
E
выполнено
(
I
−
A
)
−
1
x
=
P
∞
k
=0
A
k
x
.
16.6. Пусть
E
– БП,
A
∈
L
(
E
)
и
k
I
−
A
k
<
1
. Доказать, что оператор
A
непрерывно обратим.
16.7. Пусть
E
– БП. Доказать, что в пространстве
L
(
E
)
множество всех
непрерывно обратимых операторов открыто.
16.8. Пусть на
E
– ЛП заданы две нормы:
k
x
k
1
и
k
x
k
2
. По отношению к
каждой из них
E
– БП. Пусть
(
∃
c >
0)(
∀
x
∈
E
)(
k
x
k
1
≤
c
k
x
k
2
)
.
Доказать,
что нормы
k
x
k
1
и
k
x
k
2
эквивалентны.
16.9. Пусть
{
e
k
}
n
k
=1
– базис в
E
– ЛП. Определим оператор
A
:
E
→
E
равенствами:
Ae
1
= Θ
, Ae
k
+1
=
e
k
, k
= 1
,
2
, . . . , n
−
1
. Покажите, что
λ
= 0
является единственным собственным значением оператора
A
.
16.10. В пространстве
C
[0
,
1]
рассмотрим оператор
Ax
(
t
) =
tx
(
t
)
. Дока-
зать, что его спектр
σ
(
A
) = [0
,
1]
, причем ни одна точка спектра не является
собственным значением.
16.11. Найти
σ
(
A
)
и
R
(
λ, A
)
(резольвенту) оператора
A
из задачи 16.2.
16.12. Пусть в
C
[0
,
1]
задан оператор дифференцирования
Ax
(
t
) =
x
0
(
t
)
.
Показать, что:
а)
σ
(
A
) =
∅
, если
D
(
A
) =
{
x
(
t
)
|
(
x
0
∈
C
[0
,
1])
∧
(
x
(0) = 0)
}
;
б)
σ
(
A
)
состоит из одних собственных значений, заполняющих всю комплекс-
ную плоскость, если
D
(
A
) =
{
x
(
t
)
|
x
0
∈
C
[0
,
1]
}
;
в)
σ
(
A
)
состоит из собственных значений вида
2
πik
(
k
∈
Z
, i
– мнимая
единица), если
D
(
A
) =
{
x
(
t
)
|
(
x
0
∈
C
[0
,
1])
∧
(
x
(0) =
x
(1))
}
.
16.13. Показать, что линейный оператор
A
:
E
→
E
, где
E
– ЛНП, и его
резольвента коммутируют.
16.14. Пусть линейные операторы
A, B
:
E
→
E
. Доказать, что для того
чтобы
A
и
B
коммутировали, необходимо, чтобы
B
коммутировал с
R
(
λ, A
)
для любого
λ
∈
ρ
(
A
)
– регулярного множества оператора
A
, и достаточно,
чтобы
B
и
R
(
λ, A
)
коммутировали хотя бы для одного
λ
∈
ρ
(
A
)
.
— 24 —
16.15. Пусть
E
– ЛНП, оператор
A
∈
L
(
E
)
и непрерывно обратим. До-
казать, что если
λ
∈
σ
(
A
−
1
)
, то
λ
−
1
∈
σ
(
A
)
; обратно, если
µ
∈
σ
(
A
)
, то
µ
−
1
∈
σ
(
A
−
1
)
.
17. Замкнутые операторы
17.1. Пусть
E, F
– ЛНП,
A
– замкнутый линейный оператор из
E
в
F
. До-
казать, что множество нулей
N
(
A
)
оператора
A
является подпространством
пространства
E
.
17.2. Пусть
E
– ЛНП,
F
– БП,
A
– замкнутый линейный оператор из
E
в
F
,
B
– линейный оператор из
E
в
F
, ограниченный на
D
(
B
)
, и
D
(
A
)
⊂
D
(
B
)
.
Доказать, что оператор
A
+
B
с
D
(
A
+
B
) =
D
(
A
)
замкнут.
17.3. Показать, что операторы
A
из задач 15.12 и 15.13 замкнуты.
17.4. В
C
[0
,
1]
задан оператор
Ax
(
t
) =
x
0
(
t
)
с
D
(
A
) =
{
x
∈
C
[0
,
1]
|
(
x
0
∈
C
[0
,
1])
∧
[
x
(0) =
x
(1) = 0]
}
. Доказать, что оператор
A
замкнут.
17.5. Пусть
E, F
– БП-ва,
A
– линейный оператор из
E
в
F
. Доказать,
что оператор
A
является замкнутым тогда и только тогда, когда множество
D
(
A
)
с нормой
k
x
k
D
(
A
)
=
k
x
k
E
+
k
Ax
k
F
является банаховым пространством.
17.6. Пусть
E
– ЛНП;
L, M
– подпространства
E
и
E
=
L
⊕
M
. Определим
оператор
P
проектирования
E
на подпространство
L
параллельно подпро-
странству
M
равенством
P x
=
u
, где
x
=
u
+
v
(
u
∈
L, v
∈
M
)
. Доказать,
что оператор
P
замкнут и, если
E
– БП, то ограничен.
18. Продолжение функционалов. Сопряженное пространство
18.1. Пусть
E
– ЛНП;
x, y
∈
E
и
x
6
=
y
. Доказать, что существует такой
f
∈
E
∗
, что
f
(
x
)
6
=
f
(
y
)
.
18.2. Пусть
E
– ЛНП,
x
∈
E
. Доказать, что
k
x
k
= sup
|
f
(
x
)
|
, где точная
верхняя граница берется по
f
∈
E
∗
и
k
f
k
= 1
.
18.3. Пусть
E
– ЛНП,
f
∈
E
∗
,
A
∈
L
(
E
)
. Доказать, что
k
A
k
= sup
|
f
(
Ax
)
|
,
где точная верхняя граница берется по
x
∈
E
с
k
x
k
= 1
и по
f
∈
E
∗
с
k
f
k
= 1
.
18.4. Доказать, что если
E
– ЛНП бесконечномерно, то и сопряженное
пространство
E
∗
бесконечномерно.
18.5. В пространстве
R
2
1
на подпространстве
L
=
{
x
= (
x
1
, x
2
)
∈
R
2
|
2
x
1
−
x
2
= 0
}
задан линейный функционал
f
(
x
) =
x
1
. Доказать, что существует единствен-
ное продолжение функционала
f
на все
R
2
1
с сохранением нормы и найти это
продолжение.
18.6. Пусть
H
– ГП,
L
– ЛМ в
H
,
f
– ЛОФ, заданный на
L
. Доказать, что
существует единственное продолжение функционала
f
на все
H
с сохранени-
ем нормы.
— 25 —
18.7. Показать, что если:
а)
E
=
R
n
1
, то
E
∗
=
R
n
∞
;
б)
E
=
R
n
p
(1
< p <
∞
)
, то
E
∗
=
R
n
q
(
p
−
1
+
q
−
1
= 1)
.
18.8. Доказать, что
(
l
1
)
∗
=
m
, то есть всякий
f
∈
(
l
1
)
∗
имеет вид
f
(
x
) =
P
∞
n
=1
x
n
y
n
, где
x
= (
x
1
, x
2
, . . .
)
∈
l
1
,
y
= (
y
1
, y
2
, . . .
)
∈
m
и
k
f
k
=
k
y
k
m
.
19. Слабая сходимость в нормированных пространствах
19.1. Пусть
E
– ЛНП,
x
n
, x
∈
E, f
n
, f
∈
E
∗
. При
n
→ ∞
выполнено одно
из условий:
а)
x
n
→
x, f
n
→
f
; б)
x
n
слабо
−→
x, f
n
→
f
; в)
E
– БП,
x
n
→
x, f
n
сильно
−→
f
.
Доказать, что
f
n
(
x
n
)
→
f
(
x
)
.
19.2. Пусть
H
– ГП,
x
n
, x, y
n
, y
∈
H
. Что можно сказать о сходимости при
n
→ ∞
последовательности
(
x
n
, y
n
)
, если:
а)
x
n
слабо
−→
x,
y
n
→
y
;
б)
x
n
слабо
−→
x,
y
n
слабо
−→
y
?
19.3. Пусть
H
– ГП,
x
n
, x
∈
H
. Пусть
x
n
слабо
−→
x
и
k
x
n
k → k
x
k
при
n
→ ∞
.
Доказать, что
k
x
n
−
x
k →
0
.
19.4. Множество
M
⊂
E
- ЛНП назовем слабо замкнутым, если из того
что
{
x
n
} ⊂
M
и
x
n
cлабо
−→
x
при
n
→ ∞
следует
x
∈
M
.
а) Доказать, что слабо замкнутое множество является замкнутым.
б) Привести пример замкнутого множества, которое не является слабо за-
мкнутым.
в) Показать, что всякий замкнутый шар
B
[
x
o
, r
]
⊂
E
является слабо замкну-
тым.
г) Показать, что всякое подпространство
L
⊂
E
– ЛНП является слабо за-
мкнутым.
19.5. Множество
M
⊂
E
- ЛНП назовем слабо ограниченным, если
(
∀
f
∈
E
∗
)(
∃
c
≥
0)(
∀
x
∈
M
)(
|
f
(
x
)
| ≤
c
)
.
Доказать, что множество
M
слабо
ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено.
19.6. Пусть
H
– ГП и
{
x
n
} ⊂
H
– ортогональная система элементов.
Доказать, что следующие условия эквивалентны: а)
P
∞
k
=1
x
k
– сходится;
б)
P
∞
k
=1
x
k
– слабо сходится; в)
P
∞
k
=1
k
x
k
k
2
– сходится.
20. Сопряженные операторы
20.1. Пусть
E, F
– ЛНП-ва,
A, B
∈
L
(
E, F
)
и
α, β
– числа. Доказать, что
(
αA
+
βB
)
∗
=
αA
∗
+
βB
∗
.
20.2. Пусть
E, F
– ЛНП-ва,
A
∈
L
(
E, F
)
и
B
∈
L
(
F, E
)
. Доказать, что
(
AB
)
∗
=
B
∗
A
∗
.
20.3. Пусть
E, F
– ЛНП-ва,
A
∈
L
(
E, F
)
и непрерывно обратим. Доказать,
что оператор
A
∗
непрерывно обратим и
(
A
∗
)
−
1
= (
A
−
1
)
∗
.