ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1089
Скачиваний: 18
в результате
n
-ое приближение имеет вид
˜
x
n
=
a
n
+
b
n
2
,
(14)
причем
f
(
a
n
)
f
(
b
n
)
<
0
,
(
n
= 1
,
2
, ...
)
(15)
b
n
−
a
n
=
b
−
a
2
n
.
(16)
Так как левые концы
a
1
,
a
2
,...,
a
n
,... образуют монотонную неубы-
вающую ограниченную последовательность, а правые концы
b
1
,
b
2
,...,
b
n
,... – монотонную невозрастающую ограниченную последователь-
ность, то из (16) следует, что существует общий предел
˜
x
= lim
n
→∞
a
n
= lim
n
→∞
b
n
Переходя к пределу
n
→ ∞
в (15) получаем
|
f
(˜
x
)
|
2
6
0
.
Отсюда,
f
(˜
x
) = 0
, т.е.
˜
x
является корнем исходного уравнения.
16
С учетом (11) получаем, что вычисления надо продолжать до тех
пор, пока не будет выполнено условие
b
n
−
a
n
<
2
ε.
(17)
Если корни уравнения не отделены на отрезке
[
a, b
]
, то таким спо-
собом можно найти один из корней.
На рисунке показан метод деле-
ния отрезка пополам. Отличительны-
ми особенностями данного метода яв-
ляются:
–
метод всегда сходится, и полученный
ответ всегда будет иметь любую напе-
ред заданную точность;
–
метод весьма медленный, необходи-
мое число итераций
N >
log
2
b
−
a
2
ε
.
17
Данный метод практически удобно применять для грубого нахож-
дения корня, т.к. при увеличении точности значительно возрастает
объем вычислений.
2.3
Метод пропорциональных частей (метод хорд)
Более быстрым, чем метод бисекций, является метод пропорциональ-
ных частей. Он состоит в нахождении корня на отрезке
[
a, b
]
таком,
что
f
(
a
)
f
(
b
)
<
0
. Причем отрезок делится при итерациях не по-
полам, а на пропорциональные части, относящиеся как
f
(
a
) :
f
(
b
)
.
Геометрически это соответствует тому, что за приближение к кор-
ню принимается точка пересечения хорды, проходящей через точки
(
a, f
(
a
))
и
(
b, f
(
b
))
, с осью
x
.
18
Пусть для определенности
f
(
a
)
>
0
,
f
(
b
)
<
0
. Запишем уравнение хорды
AB:
y
−
f
(
a
)
f
(
b
)
−
f
(
a
)
=
x
−
a
b
−
a
(18)
Найдем точку ее пересечения о осью
x
→
x
=
x
0
,
y
= 0
:
x
0
=
a
−
b
−
a
f
(
b
)
−
f
(
a
)
f
(
a
)
(19)
На следующем шаге сравниваем зна-
ки
f
(
a
)
,
f
(
x
0
)
и
f
(
b
)
, делаем вы-
вод, что корень принадлежит отрезку
[
a, x
0
]
. Строим хорду
AB
1
, находим ее
точку пересечения с осью
x
, т.е. следу-
ющее приближение
x
1
, и т.д. Условие
прекращения итераций – условие бли-
19
зости двух последовательных приближений:
x
n
−
x
n
−
1
< ε.
(20)
В общем случае выпуклость кривой определяется знаком второй
производной. Нашему случаю соответствует
f
00
(
x
)
>
0
на отрезке
[
a, b
]
. Если
f
00
(
x
)
<
0
, то мы можем свести этот случай к нашему,
рассматривая уравнение
−
f
(
x
) = 0
. Если, как было выбрано выше,
f
(
a
)
>
0
,
f
(
b
)
<
0
, то при последовательных приближениях конец
a
остается неподвижным, а “движется” конец
b
, т.е. получаем
x
n
+1
=
x
n
−
x
n
−
a
f
(
x
n
)
−
f
(
a
)
f
(
x
n
)
.
(21)
Если же
f
(
a
)
<
0
,
f
(
b
)
>
0
, то “двигаться” будет уже конец
a
, и мы
получаем
x
n
+1
=
x
n
−
b
−
x
n
f
(
b
)
−
f
(
x
n
)
f
(
x
n
)
.
(22)
20