ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1088
Скачиваний: 18
3. Метод прогонки.
Метод прогонки представляет собой модификацию метода Гаусса
для систем уравнений с трехдиагональной матрицей. Запишем та-
кую систему уравнений:
b
1
x
1
+
c
1
x
2
=
d
1
,
(103)
a
2
x
1
+
b
2
x
2
+
c
2
x
3
=
d
2
,
(104)
a
3
x
2
+
b
3
x
3
+
c
3
x
4
=
d
3
,
(105)
...................................................
(106)
a
n
−
1
x
n
−
2
+
b
n
−
1
x
n
−
1
+
c
n
−
1
x
n
=
d
n
−
1
,
(107)
a
n
x
n
−
1
+
b
n
x
n
=
d
n
.
(108)
Прямая прогонка состоит в нахождении прогоночных коэффици-
ентов
A
i
и
B
i
, с помощью которых неизвестное
x
i
выражается через
x
i
+1
:
x
i
=
A
i
x
i
+1
+
B
i
,
i
= 1
,
2
, ..., n
−
1
.
(109)
86
Из первого уравнения системы находим
x
1
=
−
c
1
b
1
x
2
+
d
1
b
1
с другой стороны
x
1
=
A
1
x
2
+
B
1
.
Сравнивая, находим
A
1
=
−
c
1
b
1
,
B
1
=
d
1
b
1
.
(110)
Подставим во второе уравнение системы выражение для
x
1
:
a
2
(
A
1
x
2
+
B
1
) +
b
2
x
2
+
c
2
x
3
=
d
2
Отсюда,
x
2
=
−
c
2
x
3
+
d
2
−
a
2
B
1
a
2
A
1
+
b
2
или
x
2
=
A
2
x
3
+
B
2
87
A
2
=
−
c
2
e
2
,
B
2
=
d
2
−
a
2
B
1
e
2
,
e
2
=
a
2
A
1
+
b
2
.
Последние соотношения можно обобщить для произвольного номера
i
:
A
i
=
−
c
i
e
i
,
B
i
=
d
i
−
a
i
B
i
−
1
e
i
,
e
i
=
a
i
A
i
−
1
+
b
i
,
i
= 2
, ..., n
−
1
(111)
На этом заканчивается прямая прогонка. При обратной прогонке
последовательно вычисляются неизвестные
x
i
. Для этого сначала
запишем
x
n
−
1
=
A
n
−
1
x
n
+
B
n
−
1
и последнее уравнение системы
a
n
x
n
−
1
+
b
n
x
n
=
d
n
.
Из двух последних уравнений находим
x
n
:
x
n
=
d
n
−
a
n
B
n
−
1
b
n
+
a
n
A
n
−
1
88
Далее по прогоночным формулам находим все остальные неизвест-
ные.
6.4
Итерационные методы
1. Метод простой итерации.
Исходная система уравнений
A
x
=
b
Отсюда
0 =
b
−
A
x
,
x
=
b
−
A
x
+
x
,
x
= (
b
−
A
x
)
τ
+
x
x
= (
E
−
τ A
)
x
+
τ
b
,
x
=
B
x
+
τ
b
,
где
B
=
E
−
τ A
(112)
Получившаяся система (112) является основой метода простой ите-
рации. Выбираем некоторое начальное приближение
x
(0)
, подставля-
89
ем в правую часть (112), получаем следующее (1-ое) приближение:
x
(1)
=
B
x
(0)
+
τ
b
В результате
x
(
k
+1)
=
B
x
(
k
)
+
τ
b
,
k
= 0
,
1
,
2
, ...
(113)
Формула (113) выражает метод простой итерации. От выбора пара-
метра
τ
зависит его сходимость и скорость сходимости.
2. Метод Гаусса-Зейделя.
Метод Г-З представляет собой итерационный метод. Рассмотрим
его на примере системы
a
11
x
1
+
a
12
x
2
+
a
13
x
3
=
b
1
,
(114)
a
21
x
1
+
a
22
x
2
+
a
23
x
3
=
b
2
,
(115)
a
31
x
1
+
a
32
x
2
+
a
33
x
3
=
b
3
.
(116)
90