ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 505
Скачиваний: 1
Совместные распределения нескольких случайных величин
Случайный вектор абсолютно непрерывного типа
∃
f
X
1
X
2
...
X
n
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
) :
∀
x
1
, . . . ,
x
n
F
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
) =
Z
x
1
−∞
dx
′
1
Z
x
2
−∞
dx
′
2
· · ·
Z
x
n
−∞
dx
′
n
f
X
1
X
2
...
X
n
(
x
′
1
,
x
′
2
, . . . ,
x
′
n
)
.
Функция
f
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
)
называется
плотностью распределения
вероятностей
случайного вектора
(
X
1
, . . . ,
X
n
)
.
Для любого квадрируемого множества
B
в
n
-мерном пространстве
P
((
X
1
, . . . ,
X
n
)
∈
B
) =
Z Z
B
. . .
Z
f
X
1
...
X
n
(
x
1
, . . . ,
x
n
)
dx
1
· · ·
dx
n
.
(ФКН ВГУ)
46 / 67
n
= 2
A
= (
a
1
6
X
<
a
2
,
b
1
6
Y
<
b
2
)
B
= (
X
<
a
1
,
Y
<
b
2
)
C
= (
X
<
a
2
,
Y
<
b
1
)
Пусть
F
(
x
,
y
) =
F
XY
(
x
,
y
) =
P
(
X
<
x
,
Y
<
y
)
.
Тогда
(
X
<
a
2
,
Y
<
b
2
) =
A
+
B
+
C
. Так как
BC
= (
X
<
a
1
,
Y
<
b
1
)
, то
P
(
B
+
C
) =
P
(
B
) +
P
(
C
)
−
P
(
BC
) =
F
(
a
1
,
b
2
) +
F
(
a
2
,
b
1
)
−
F
(
a
1
,
b
1
)
.
P
(
A
) =
F
(
a
2
,
b
2
) +
F
(
a
1
,
b
1
)
−
F
(
a
1
,
b
2
)
−
F
(
a
2
,
b
1
)
.
(
X
,
Y
)
−
абс. непр. вектор
=
⇒
P
(
A
) =
Z
a
2
a
1
dx
Z
b
2
b
1
dy f
(
x
,
y
)
.
(ФКН ВГУ)
47 / 67
n
= 2
По двумерной функции распределения можно найти одномерные функции
распределения.
(
X
<
x
) = (
X
<
x
,
Y
<
+
∞
)
⇒
F
X
(
x
) =
F
XY
(
x
,
+
∞
)
.
Таким образом,
F
X
(
x
) = lim
y
→∞
F
XY
(
x
,
y
) =
F
XY
(
x
,
∞
)
,
F
Y
(
y
) = lim
x
→∞
F
XY
(
x
,
y
) =
F
XY
(
∞
,
y
)
,
Если
(
X
,
Y
)
— абс. непр. вектор, то
F
X
(
x
) =
Z
x
−∞
Z
∞
−∞
f
XY
(
x
′
,
y
′
)
dy
′
dx
′
=
Z
x
−∞
f
X
(
x
′
)
dx
′
,
где
f
X
(
x
) =
Z
∞
−∞
f
XY
(
x
′
,
y
′
)
dy
′
— плотность распределения
X
.
(ФКН ВГУ)
48 / 67
n
= 2
Пусть
(
X
,
Y
)
— вектор дискретного типа:
P
(
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
) =
p
ij
,
i
,
j
= 1
,
2
, . . . ,
∞
X
i
,
j
=1
p
ij
= 1
.
P
(
X
=
x
i
) =
∞
X
j
=1
P
(
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
) =
∞
X
j
=1
p
ij
.
Пусть
p
i
=
∞
X
j
=1
p
ij
,
p
j
=
∞
X
i
=1
p
ij
.
P
(
X
=
x
i
) =
p
i
,
P
(
Y
=
y
j
) =
p
j
.
(ФКН ВГУ)
49 / 67
Независимость случайных величин
Определение:
Случайные величины
X
1
, . . . ,
X
n
называются
независимыми в
совокупности
или просто
независимыми
, если при любых действительных
x
1
, . . . ,
x
n
F
X
1
X
2
···
X
n
(
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
n
) =
F
X
1
(
x
1
)
F
X
2
(
x
2
)
· · ·
F
X
n
(
x
n
)
.
Альтернативное определение:
Случайные величины
X
1
, . . . ,
X
n
независимы, если при любых множествах
B
1
, . . . ,
B
n
(на которых определены вероятности событий
X
k
∈
B
k
) имеет
место равенство
P
(
X
1
∈
B
1
, . . . ,
X
n
∈
B
n
) =
P
(
X
1
∈
B
1
)
P
(
X
2
∈
B
2
)
· · ·
P
(
X
n
∈
B
n
)
.
(ФКН ВГУ)
50 / 67