ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1615
Скачиваний: 34
66
3. По табл. П3.1 находим вероятность р
к
появления k
нестандартных изделий в 200 партиях, положив k=0, 1, 2, 3, 4
p
0
=P
200
(0)=0.5488
p
1
=P
200
(1)=0.3293
p
2
=P
200
(2)=0.0988
p
3
=P
200
(3)=0.0198
p
4
=P
200
(4)=0.0030
4. Найдем теоретические частоты по формуле
k
k
|
k
p
200
np
n
.
Подставив в эту формулу найденные в пункте 3 значения
вероятностей р
к
, получим:
|
0
n = 200*0,5488=109,76
|
1
n
= 200*0,3293=65,86
|
2
n
=200*0,0988=19,76
|
3
n =200*0,0198=3,96
|
4
n
=200*0,0030=0,6
5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с
помощью критерия
2
Пирсона. Для этого составим расчетную
таблицу, учитывая значения, объединим малочисленные частоты
(4+2=6) и соответствующие им теоретические частоты
(3,96+0,60=4,56). Результаты занесем в таблицу
67
k
k
k
n
|
k
n
k
n
-
|
k
n
(
k
n
|
k
n
)
2
-
(
k
n
-
|
k
n
)
2
/
|
k
n
0
116
109,76
6,24
38,9376
0,3548
1
56
65,86
-986
97,2196
1,4762
2
22
19,76
2,24
5,0176
0,2539
3
6
4,56
1,44
2,0736
0,4547
200
2
набл
χ
=2,54
Из расчетной таблицы находим наблюдаемые значения
Пирсона:
2
набл
χ
=2,54. По выборке оценивался один параметр
, то число степеней свободы L=4-1-1=2, где 4-число групп
выборок после сокращения. По таблице [7]
находим
6,0
(2)
χ
2
,.95
, т.е.
2
кр
2
набл
χ
χ
, и гипотеза о распределении
случайной величины Х по закону Пуассона принимается.
Задача 57
Измерения 1000 деталей представлены в виде
группированной выборки в таблице.
i
x
i
n
i
m
i
i
x
i
n
i
m
i
1
98,0
21
6
100,5
201
2
98,5
47
7
101,0
142
3
99,0
87
8
101,5
97
4
99,5
158
9
102,0
41
5
100,0
181
10
1025
25
Проверить, пользуясь критерием Колмогорова, согласие
полученных наблюдений с предположением, что величина Х
подчиняется
нормальному
закону
с
математическим.
ожиданием
x
=100,25 мм и СКО
=1 мм при уровне
значимости
=0,005.
68
Решение:
Теоретическая функция распределения определяется
формулой
)
x
x
(
2
1
2
1
)
x
(
F
Эмпирическая
функция
распределения
F
n
(x)
определяется по формуле
k
1
i
i
k
k
1
i
i
i
n
m
n
1
)
x
(
F
n
m
n
1
)
x
(
F
Расчеты заносим в таблицу
i
x
x
i
)
x
x
(
2
1
i
F(x
i
)
F
n
(x
i
)
| F
n
(x
i
)-
F(x
i
)|
1
-2,25
-0,4877
0,0123
0,0210
0,0087
2
-1,75
-0,4599
0,0401
0,0680
0,0279
3
-1,25
-0,3944
0,1056
0,1550
0,0494
4
-0,75
-0,2734
0,2266
0,3130
0,0864
5
-0,25
-0,0987
0,4013
0,4940
0,0927
6
0,25
0,0987
0,5987
0,6950
0,0963
7
0,75
0,2734
0,7734
0,8370
0,0636
8
1,25
0,3944
0,8944
0,9340
0,0396
9
1,75
0,4599
0,9599
0,9750
0,0151
10
2,25
0,4877
0,9877
1,000
0,0123
)
x
x
(
2
1
i
- ищется в табл. П3.2.
Из таблицы следует, что
04
.
3
0963
.
0
*
6
.
31
00963
*
1000
|
)
x
(
F
)
x
(
F
|
sup
n
d
n
x
экс
.
Для
=0,005 из табл. П3.6 находим
а
=k
кр
=1,358
d
экс
> k
кр
3,04>1,224 ,
следовательно, принимается альтернатива Н
1
, т.е. гипотеза Н
0
о нормальности распределения выборки наблюдений
отвергается.
69
Лабораторная работа № 7. Критерии хи-квадрат
проверки гипотез в пакете STATISTICA
Цель работы – изучить применение критерия хи-квадрат
для анализа законов распределения случайных величин,
полученных в результате эксперимента.
Теоретические сведения
Проверка простой гипотезы о вероятностях
Обозначим:
A
1
, ..., A
m
-
m
возможных исходов некоторого
опыта;
p
1
, ..., p
m
- вероятности cooтветствующих исходов,
i
i
m
p
1
1
;
n
- число независимых повторений опыта;
1
, ...,
m
- число появлений соответствующих исходов в
n
опытах,
i
i
m
n
1
;
p
1
0
, ..., p
m
0
- гипотетические значения вероятностей,
p
i
0
0
,
m
i
i
p
1
0
1
.
Требуется по наблюдениям
1
,...,
m
проверить гипотезу Н
о том , что вероятности p
1
, ..., p
m
имеют значения p
0
1
, ..., p
m
0
,
т.е. Н: p
i
= p
0
i
, i=1, ...,m.
Оценками для
p
1
, ..., p
m
являются
1
p
=
1
/n,
...
,
m
p
=
m
/n
.
Мерой расхождения между гипотетическими и эмпирическими
вероятностями принимается величина
70
2
1
0
0
0
2
m
i
i
i
i
i
p
p
p
p
n
X
,
которая с точностью до множителя
n
есть усредненное с
весами
p
i
0
значение квадрата относительного отклонения
значений
i
p
от
p
i
0
.
Статистика
X
2
называется статистикой хи-квадрат
Пирсона. Для ее вычисления используются две формулы:
m
i
m
i
i
i
i
i
i
n
np
np
)
np
(
X
1
1
0
2
0
2
0
2
.
Условно статистику можно записать так:
Т
Т)
-
(Н
2
2
X
,
где Н - наблюдаемые частоты
i
, Т - теоретические
(ожидаемые) частоты
np
i
0
.
Поскольку по закону больших чисел
i
p
p
i
при
n
,
то
m
i
i
i
i
i
i
i
m
i
i
p
)
p
(p
p
p
p
p
1
0
2
0
2
0
0
1
0
.
Последняя величина равна 0, если верна
Н
; если же
Н
не верна,
то
X
2
.
Процедура проверки гипотезы состоит в том, что если
величина
X
2
приняла ―слишком большое‖ значение, т.е. если
X
2
h
, (8.6)
то гипотеза
Н
отклоняется; если это не так, будем говорить,
что наблюдения не противоречат гипотезе. На вопрос, что
означает ―слишком большое‖ значение, отвечает теорема
Пирсона.