ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1599
Скачиваний: 34
26
1
=
2
=
0
=1
n
1
=n
2
=5
=
1
5
1
5
2
5
x
y
6
5
;
.
2. Используем случай (c)
h=
u
1
2
=u
0.975
=1.96
t
экс
<>h
t
экс
6 5
2
5
1
2
5
158
.
.
1.58<1.96 , т.е. верна гипотеза Н
0
, принимается решение
0
-
средние значения совпадают, следовательно, измерялась одна
и та же величина.
7.4. Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нормальных
распределений
Пусть
имеются
две
выборки
из
нормальных
распределений:
X
=(X
1
,...,X
n
) ~
~ N(a
1
,
1
1 2
/
) и
Y
=(Y
1
,...,Y
n
) ~
~ N(a
2
,
2
1 2
/
).
Выдвигаются гипотезы: H
0
:
1
=
2
, H
1
:
1
2
(сложные
гипотезы). Нужно построить правило, позволяющее на основе
значений выборок принять или отвергнуть гипотезу H
0
.
Воспользуемся статистикой, которая при гипотезе H
0
имеет
известный закон распределения, а именно статистикой:
T
S n m
S m n
x
y
2
2
1
1
(
)
(
)
или
T
2
1
F -
распределение Фишера, при
1
=
2
, T=
F
.(
S
x
2
,
S
y
2
- соответствующие выборочные дисперсии).
При альтернативе возможны следующие варианты.
27
1)
1
>
2
,
2
1
<1;
2)
1
<
2
,
2
1
>1;
3)
1
<>
2
,
2
1
<>1.
Для каждого случая критическая область выбирается по-
разному.
1)
f
T
(U)
H
0
H
1
U
3)
f
T
(U
H
0
H
1
H
1
h
1
h
2
U
h
1
=U
/2,(n-1)(m-1)
;
h
2
=U
1-
/2,(n-1)(m-1)
;
Рис. 7.9
2)
Этот случай можно свести к 1), если выбрать
статистику
T
S m n
S n m
y
x
2
2
1
1
(
)
(
)
.
28
Выпишем критерии, вероятности ошибок и функции
мощности для указанных случаев.
1) t
h
1
t<h
0
P(
1
H
0
)=P(T
h
H
0
)=1-P(T<h
H
0
)=1-F
F
(h)=
.
(F
F
- распределение Фишера с (n-1), (m-1) степенями свободы)
Отсюда h=U
1-
,(n-1)(m-1)
- квантиль распределения Фишера
порядка (1-
) с указанными степенями свободы.
Вычислим вероятность ошибки 2-го рода:
P (
0
H
1
) =P(T<h
H
1
) =P(T
2
1
<h
2
1
H
1
) =F
F
(
2
1
h)
и функцию мощности:
W
2
1
=1- P (
0
H
1
) = [1- F
F
(
2
1
h)] .
W
2
1
1
1
2
1
Рис. 7.10
2) t
h
2
или t<h
1
1
t>h
1
и
t
h
2
0
Найдем h
1
и h
2
из условия:
P (
1
H
0
) =
P (
1
H
0
) =P (T
h
2
H
0
)+P(T<h
1
H
0
)=
/2+
/2,
отсюда
h
1
=U
/2,(n-1)(m-1)
,
h
2
=U
1-
/2,(n-1)(m-1)
-
квантили
распределения Фишера.
Вычислим вероятность ошибки 2-го рода:
P (
0
H
1
) =P(h
1
<T
h
2
H
1
) =P(
2
1
h
1
<
F
2
1
h
2
H
1
) =F
F
(
2
1
h
2
)-
29
-F
F
(
2
1
h
1
)
и функцию мощности:
W
2
1
=1-F
F
(
2
1
h
2
) +F
F
(
2
1
h
1
).
W
2
1
2
1
Рис. 7.11
Самостоятельно:
1. Решить задачу проверки статистических гипотез о
математическом
ожидании
нормальной
генеральной
совокупности H
0
:
=
0
, H
1
:
=
1
(случай
1
<
0
,).
2. Систематизировать задачи о проверке статистических
гипотез
a)
критерий (критическая область)
b)
значение
.
c)
вероятность ошибки 2-го рода и функция мощности.
Задачи и решения
При проверке сложных параметрических гипотез следует
использовать следующие правила для облегчения решения
задач
30
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных
совокупностей
По независимым выборкам, объемом n
1
и n
2
,
извлеченным из нормальных генеральных совокупностей,
найдены несмещенные выборочные дисперсии
2
X
S
и
2
Y
S
.
Требуется сравнить эти дисперсии.
Правило1: При уровне значимости
для проверки
нулевой гипотезы H
0
: D(X)=D(Y) при альтернативе H
1
:
D(X)>D(Y), надо вычислить наблюдаемое значение критерия
(отношение большей выборочной дисперсии к меньшей)
2
M
2
Б
набл
S
/
S
F
и по табл. П.3.5 критических точек распределения Фишера-
Снедекора по заданному
и числам степеней свободы k
1
=n
1
-
1, k
2
=n
2
-1 найти критическую точку
F
кр
(
,k
1
,k
2
)
(k
1
– число степеней свободы большей выборочной
дисперсии).
Если F
набл
<F
кр
– нет оснований отвергнуть Н
0
Если F
набл
>F
кр
– Н
0
отвергают
Правило
2:
При
альтернативе
H
1
:
D(X)
D(Y)
критическую точку
F
кр
(
/2,k
1
,k
2
)
ищут по уровню значимости
/2 и числам степеней свободы k
1
и k
2
(k
1
– число степеней свободы большей дисперсии)
Если F
набл
<F
кр
– Н
0
принимают
Если F
набл
>F
кр
– Н
0
отвергают
Сравнение двух средних совокупностей, дисперсии которых
известны (большие независимые выборки)
Обозначим через n и m объемы больших независимых
выборок (n>30, m>30). По ним найдены выборочные средние
x
и
y
. Генеральные дисперсии D(X) и D(Y) известны.