ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 1601
Скачиваний: 34
31
Правило 1: Для проверки при заданном
нулевой
гипотезы H
0
: M(X)=M(X) при альтернативе H
1
: M(X)
M(X)
надо вычислить наблюдаемое значение критерия
m
/
)
Y
(
D
n
/
)
X
(
D
y
x
z
набл
и по табл. П.3.3 функций Лапласа найти критическую точку z
кр
из равенства
( z
кр
)=(1-
)/2.
Если |z
набл
| < z
кр
- H
0
принимают.
Если |z
набл
| > z
кр
- H
0
отвергают.
Правило 2: При альтернативе H
1
: M(X)>M(X) находят
критическую точку z
кр
по табл. П.3.3 функций Лапласа
из
равенства
( z
кр
)=(1-2
)/2.
Если z
набл
< z
кр
- H
0
принимают.
Если z
набл
> z
кр
- H
0
отвергают.
Правило 3. При альтернативе H
1
: M(X)<M(X) находят
вспомогательную точку z
кр
по правилу 2.
Если z
набл
> -z
кр
- H
0
принимают.
Если z
набл
< -z
кр
- H
0
отвергают.
Сравнение двух средних нормальных генеральных
совокупностей, дисперсии которых неизвестны и
одинаковы (малые независимые выборки)
Пусть n<30 и m<30 – объемы независимых выборок, по
которым найдены выборочные средние x , y и несмещенные
выборочные дисперсии
2
X
S и
2
Y
S . Генеральные дисперсии
неизвестны, но предполагаются одинаковыми.
Правило 1. Для того, чтобы при заданном
проверить
гипотезы H
0
: M(X)=M(X) при альтернативе H
1
: M(X)
M(X),
надо вычислить наблюдаемое значение критерия
m
n
)
2
m
n
(
m
n
S
)
1
m
(
S
)
1
n
(
y
x
T
2
Y
2
X
набл
32
и по табл. П.3.4 критических точек распределения Стьюдента
по заданному
и числу степеней свободы k=n + m – 2 найти
критическую точку t
двуст. крит
(
,k). Если |T
набл
| < t
двуст. крит
(
,k) –
H
0
принимают.
Если). Если |T
набл
| < t
двуст. крит
(
,k) – H
0
отвергают.
Правило 2. При альтернативе H
1
: M(X)>M(X) находят
критическую точку t
прав. кр
(
,k) k=n + m – 2. ).
Если T
набл
< t
прав. кр
(
,k) – H
0
принимают.
Если T
набл
> t
прав. кр
(
,k) – H
0
отвергают.
Правило 3. При альтернативе H
1
: M(X)<M(X) находят
критическую точку t
прав. кр
(
,k) по правилу 2 и полагают t
лев. кр
=
t
лев. кр
.
Если T
набл
>
t
левв. кр
– H
0
принимают.
Если T
набл
<
t
лев. кр
– H
0
отвергают.
Задача 47
Считается, что новое антикоррозийное покрытие имеет
эффективность 99%, если среди 20 испытанных образцов нет
ни одного с признаками коррозии; в противном случае
эффективность покрытия принимается равной 90%. Пусть р –
вероятность появления признаков коррозии у одного образца.
Предположим, что образцы обрабатываются и испытываются
независимо друг от друга. Рассмотрим нулевую гипотезу
0
H
:
р=0,10 и альтернативную гипотезу
1
H
: р=0,01. Ответить на
следующие вопросы:
а) Какая статистика критерия используется в данной задаче,
каковы еѐ распределение и область изменения?
б) Какова критическая область критерия?
в) В чем состоят ошибки первого и второго рода и чему равны
их вероятности?
Решение:
99%- эффективность покрытия, 20 испытаний (нет коррозии)
90%- эффективность покрытия
р- вероятность появления коррозии
33
0
H
: р=0,10
1
H
: р=0,01
а) число образов с признаками коррозии имеет биноминальное
распределение ~ Вi(20,р). V={0,1,2…20}- область изменения
б) альтернативная гипотеза
1
H
: р=0,01. Предполагается
уменьшение вероятности появления коррозии
0
k
V
в) ошибка I рода: принимается решение, что антикоррозийное
покрытие имеет эффективность 99% в то время как его
эффективность 90%
ошибка II рода: принимается решение, что антикоррозийное
покрытие имеет эффективность 90%, в то время как его
эффективность составляет 99%
0
20
0
0
20
0
20
0
1
1
20
/
0 /
0,1
0,1
0, 9
0,112
/
1
/
1
0, 01
0, 99
0,182
k
k
k
p x
V
H
p K
p
C
p x
V
H
p x
V
H
C
Ответ: (а), (б), (в).
0,112
0,182
Задача 48
Из продукции автомата, обрабатывающего болты с
номинальным
значением
контролируемого
размера
0
40
m
мм
, была взята выборка болтов объема n=36.
Выборочное среднее контролируемого размера
40, 2
x
мм
.
Результаты
предыдущих
измерений
дают
основание
предполагать, что действительные размеры болтов образуют
нормально распределенную совокупность с дисперсией
2
2
1
мм
. Можно ли по результатам проведенного
выборочного обследования утверждать, что контролируемый
размер в продукции автомата не имеет положительного
смещения по отношению к номинальному размеру? Принять
α=0,01. Какова критическая область в этом случае?
34
Решение:
2
0
0
1
1
1
0,99
0
36;
40;
40, 2;
1
:
40
:
40
0, 01
40
6
40
1
6
2, 326
2, 326
40, 2
40
1, 2
1
6
6
40
2, 326
40, 387
:
k
k
выб
выб
k
n
m
x
H
m
H
m
x
m
x
u
x
n
Критическая область V
u
u
u
u
V
u
u
u
V
принимаем H
x
x
Ответ H
0
:
40, 387 .
k
принимаем V
x
Задача 49
В соответствии с техническими условиями среднее время
безотказной работы для приборов из большой партии должно
составлять не менее 1000 часов со среднеквадратичным
отклонением (с.к.о.) 100 часов. Выборочное среднее времени
безотказной работы для случайно отобранных 25 приборов
оказалось равным 970 часам. Предположим, что с.к.о. времени
безотказной работы для приборов в выборке совпадает с с.к.о.
во всей партии. Можно ли считать, что вся партия приборов не
удовлетворяет техническим условиям, если: а) α=0,1; б)
α=0,01?
35
Решение:
0
1
0,9
2
0,99
0
1
0
1000;
25;
100;
970;
0,10
1, 282
0, 01
2, 326
:
, . . 100
m
n
x
u
u
Альтернативная гипотеза и область принятия гипотезы H
для левостороннего критерия H m m
т е
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
100
1)
970
1, 28
995, 64
5
996
1000
996
100
2)
970
2, 326
1016, 52
5
1000 1016, 52
: 1)
2)
m
x
m
u
n
m
x
u
n
m
m
H
принимаем
m
m
H
отклоняем
Ответ
H
принимаем
H
откл
;
оняем
Задача 50
Утверждается, что шарики, изготовленные станком-
автоматом, имеют средний диаметр
0
10
d
мм
. Используя
односторонний критерий при α=0,05, проверить эту гипотезу,
если в выборке из n=16 шариков средний диаметр оказался
равным 10,3мм, считая, что:
а) Дисперсия известна и равна
2
2
1
мм
;
б) Оценка дисперсии, определенная по выборке,
2
2
1,21
S
мм
.