ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 960
Скачиваний: 1
Поэтому волну де Бройля можно нормировать и на заданный вид плот-
ности потока вероятности. В частности,
при
C
= 1
плотность потока
в плоской волне совпадает с классической скоростью движения ча-
стицы
:
j
=
p
m
=
v
.
1.14.
Стационарные состояния
В микромире особая роль отводится системам со стационарным га-
мильтонианом, т. е. не зависящим от времени явно (
ˆ
H
(
ξ, t
) = ˆ
H
(
ξ
)
),
что соответствует, в частности, микрочастицам, движущимся в посто-
янных внешних полях. Для таких систем согласно известному методу
разделения переменных можно получить решения временного уравне-
ния Шредингера
i
}
∂
∂t
Ψ(
ξ, t
) = ˆ
H
(
ξ
)Ψ(
ξ, t
)
(1.96)
с
факторизованной зависимостью от времени и координат
:
Ψ(
ξ, t
) = Ψ(
ξ
)
T
(
t
)
,
(1.97)
где функции
Ψ(
ξ
)
и
T
(
t
)
подлежат определению.
Подстановка (1.97) в (1.96) приводит к двум уравнениям:
i
}
T
(
t
)
d
T
(
t
)
d
t
=
ˆ
H
(
ξ
)Ψ(
ξ
)
Ψ(
ξ
)
=
E,
(1.98)
где
E
— константа разделения. Для функции
T
(
t
)
получаем:
T
(
t
) =
T
0
exp
−
i
}
Et
,
(1.99)
где
T
0
— произвольный постоянный множитель. Константа разделения
является собственным значением гамильтониана:
ˆ
H
(
ξ
)Ψ
E
(
ξ
) =
E
Ψ
E
(
ξ
)
.
(1.100)
Уравнение (1.100) называется
стационарным уравнением Шредингера
.
Оно определяет состояния с определенными значениями величины, со-
ответствующей гамильтониану. Ее размерность совпадает с размерно-
стью энергии, поэтому
E
в уравнении (1.100) есть
определенное значе-
ние энергии
. По этой причине гамильтониан также называется
опера-
тором полной энергии
.
46
Определение.
Состояния с определенными значениями энергии
называются стационарными
.
Таким образом, если гамильтониан не зависит явно от време-
ни, квантовая система может находиться в стационарных состояниях.
Структура их волновых функций
Ψ
E
(
ξ, t
) = Ψ
E
(
ξ
) exp
−
i
}
Et
,
(1.101)
где
E
— определенное значение энергии,
Ψ
E
(
ξ
)
— функция, зависящая
только от координат
. Эти величины определяются из решения ста-
ционарного уравнения Шредингера (1.100). Граничные условия к нему
определяются общими стандартными условиями для волновой функ-
ции. Множитель
T
0
из выражения (1.99) можно считать включенным
в (1.101), так как функция
Ψ
E
(
ξ
)
еще будет нормироваться.
В случае
инфинитного
движения энергетический спектр квантовой
системы
непрерывен
. При решении стационарного уравнения Шредин-
гера функция
Ψ
E
(
ξ
)
определяется по заданному
E
в соответствии с
граничными условиями.
В случае
финитного
движения энергетический спектр квантовой
системы
дискретен
, т. е. в системе имеются
энергетические уровни
.
Они определяются так, чтобы для функций
Ψ
E
(
ξ
)
выполнялись соот-
ветствующие граничные условия, т. е.
Ψ
E
(
ξ
)
|
ξ
→∞
= 0
(1.102)
для обеспечения конечности нормировочного интеграла.
Состояние с наименьшей энергией называется
основным
. Его общим
свойством является
невырожденность
. Все остальные состояния —
воз-
бужденные
: ближайшее по энергии к основному —
первое возбужден-
ное
, затем
второе
и т.д. (см. рис. 1.5). В зависимости от симметрии
системы возбужденные состояния могут быть вырожденными.
Перечислим
общие свойства стационарных состояний
.
1.
Зависимость волновых функций стационар-
Рис. 1.5.
ных состояний от времени определяется только
значением энергии
E
и имеет вид
e
−
i
Et/
}
. По этой
причине в волновых функциях стационарных со-
стояний зависимость от времени, как правило, не
указывается. Мнимая единица в показателе экспо-
ненты появилась из-за мнимого коэффициента при
первой производной по времени в уравнении Шре-
дингера (1.96), поэтому его решение осциллирует во времени, несмотря
на отсутствие второй производной по времени в (1.96).
47
2.
В стационарных состояниях плотность вероятности и плот-
ность потока вероятности не зависят от времени
. Действительно,
выражения для них (1.89) и (1.93) не содержат операторов, действую-
щих на
t
, а полные волновые функции входят в них в виде квадратич-
ных комбинаций
|
Ψ
|
2
, поэтому вся зависимость от времени сокращает-
ся:
|
e
−
i
Et/
}
|
2
= 1
.
3.
Если оператор физической величины не зависит явно от вре-
мени, то ее среднее значение в стационарном состоянии не зависит
от времени
. Доказательство очевидно, если воспользоваться формулой
(1.29).
Перечисленные свойства делают стационарные состояния удобны-
ми для исследования квантовых систем с не зависящим от времени
гамильтонианом.
Рассмотрим трехмерное движение частицы c массой
m
в постоянном
силовом поле с
потенциальной энергией
V
(
r
)
. Стационарное уравнение
Шредингера (1.100) в этом случае приобретает вид:
−
}
2
2
m
∇
2
Ψ
E
(
r
) +
V
(
r
)Ψ
E
(
r
) =
E
Ψ
E
(
r
)
.
(1.103)
По своей структуре оно идентично классическому уравнению для сто-
ячих волн в среде с
переменным показателем преломления
.
1.15.
Дифференцирование операторов по времени
Если ввести явным образом время
t
в определение (1.29) для сред-
него значения
h
F
i
=
Z
Ψ
∗
(
ξ, t
) ˆ
F
(
t
)Ψ(
ξ, t
) d
ξ,
(1.104)
то видно, что в общем случае среднее значение величины
F
зависит от
времени, причем эта зависимость может быть обусловлена как тем, что
квантовая система находится в нестационарном состоянии
Ψ(
ξ, t
)
, так
и явной зависимостью от времени самого оператора физической вели-
чины
F
:
ˆ
F
= ˆ
F
(
t
)
, так что
∂
ˆ
F /∂t
6
= 0
(правда, это случается крайне
редко — лишь для некоторых характеристик системы, находящейся во
внешнем переменном силовом поле). Хотя производную по времени от
среднего
значения величины
F
легко определить прямым дифференци-
рованием соотношения (1.104), естественно попытаться получить более
общий результат — построить оператор производной величины
F
по
времени, то есть оператор
ˆ
d
F
d
t
, соответствующий величине
d
F
d
t
, который,
в частности
, позволит получить и производную от среднего значения
величины
F
по общей формуле (1.104) для средних значений:
48
d
d
t
h
F
i
def
=
h
d
F
d
t
i
=
Z
Ψ
∗
(
ξ, t
)
ˆ
d
F
d
t
Ψ(
ξ, t
) d
ξ.
(1.105)
Вид искомого оператора легко получить дифференцированием вы-
ражения (1.104), выполняя дифференцирование под знаком интеграла
и рассматривая подынтегральное выражение как произведение трех со-
множителей:
d
d
t
h
F
i
=
h
∂
t
Ψ
|
ˆ
F
|
Ψ
i
+
h
Ψ
|
∂
ˆ
F
∂t
|
Ψ
i
+
h
Ψ
|
ˆ
F
|
∂
t
Ψ
i
(1.86)
=
=
−
1
i
}
D
ˆ
H
Ψ
ˆ
F
Ψ
E
+
D
Ψ
∂
ˆ
F
∂t
Ψ
E
+
1
i
}
D
Ψ
ˆ
F
ˆ
H
Ψ
E
.
(1.106)
Полная производная в этих вычислениях заменена частной, поскольку
волновые функции и оператор
ˆ
F
зависят от времени только явно. Пре-
образуем теперь первое слагаемое в последней строке (1.106), учитывая
самосопряженность гамильтониана:
D
ˆ
H
Ψ
ˆ
F
Ψ
E
=
D
ˆ
H
Ψ
ˆ
F
Ψ
E
(1.12)
=
D
ˆ
F
Ψ
ˆ
H
Ψ
E
∗
(1.42)
=
h
Ψ
|
ˆ
H
ˆ
F
|
Ψ
i
.
В результате (1.106) принимает вид:
d
d
t
h
F
i
=
h
Ψ
|
∂
ˆ
F
∂t
|
Ψ
i
+
1
i
}
h
Ψ
|
[ ˆ
F ,
ˆ
H
]
|
Ψ
i
(1.105)
=
h
Ψ
|
ˆ
d
F
d
t
|
Ψ
i
.
Чтобы данное равенство, в соответствии с определением (1.105), вы-
полнялось для произвольного состояния
Ψ
, должно выполняться опе-
раторное равенство:
ˆ
d
F
d
t
=
∂
ˆ
F
∂t
+
1
i
}
[ ˆ
F ,
ˆ
H
]
.
(1.107)
Выражение (1.107) решает поставленную задачу, т. е. дает определе-
ние
оператора производной по времени физической величины
F
через
частную производную оператора
ˆ
F
по времени и коммутатор операто-
ра
ˆ
F
с гамильтонианом. Соотношение (1.107) можно понимать и как
определение
производной по времени оператора
ˆ
F
физической вели-
чины
F
, т. е. оператора
d ˆ
F
d
t
, не забывая при этом об условности это-
го понятия: это не определение производной по времени абстрактного
оператора (например, оператора импульса
ˆ
p
=
−
i
}
∇
как такового, т. е.
для любой квантовой частицы), а производная по времени оператора
49
ˆ
F
, относящегося к конкретной квантовой системе с гамильтонианом
ˆ
H
.
Поэтому, например, для свободного электрона
dˆ
p
d
t
= 0
, а для электрона
во внешнем поле с потенциальной энергией
U
(
r
)
оператор производной
импульса уже отличен от нуля:
dˆ
p
d
t
=
−
∇
U
(
r
)
(приведенные соотноше-
ния легко проверяются, вычисляя коммутатор в (1.107) с
ˆ
F
= ˆ
p
).
По своей структуре соотношение (1.107) с
ˆ
d
F
d
t
=
d ˆ
F
d
t
аналогично со-
ответствующему уравнению для производной по времени классической
величины
F
(
q
i
, p
i
, t
)
в механической системе с функцией Гамильтона
H
(
q
i
, p
i
, t
)
d
F
d
t
=
∂
F
∂t
+
{F
,
H}
,
где
{F
,
H}
=
X
i
∂
F
∂p
i
∂
H
∂q
i
−
∂
F
∂q
i
∂
H
∂p
i
— скобка Пуассона, и получается из него при помощи формальных за-
мен:
F →
ˆ
F
;
H →
ˆ
H
;
{
. . . , . . .
} →
1
i
}
[
. . . , . . .
]
.
(1.108)
По аналогии второе слагаемое в правой части (1.107) называется
кван-
товой скобкой Пуассона
.
С помощью (1.107) можно получить следующие соотношения:
d
d
t
(
µ
ˆ
F
) =
µ
d ˆ
F
d
t
,
µ
= const;
d
d
t
( ˆ
F
+ ˆ
G
) =
d ˆ
F
d
t
+
d ˆ
G
d
t
;
d
d
t
( ˆ
F
ˆ
G
) =
d ˆ
F
d
t
ˆ
G
+ ˆ
F
d ˆ
G
d
t
,
аналогичные соответствующим формулам математического анализа
для дифференцирования функций (следует лишь
соблюдать порядок
следования сомножителей в произведениях операторов
).
1.16.
Интегралы состояния
Определение.
Интегралом состояния квантовой системы (или
сохраняющейся величиной) называется физическая величина, среднее
значение которой в любом состоянии рассматриваемой квантовой си-
стемы не зависит от времени
.
В соответствии с формулой (1.105) критерием сохранения величины
F
является
обращение в нуль оператора ее производной по времени
ˆ
d
F
d
t
,
или, согласно уравнению (1.107), выполнение условия
50