ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 959
Скачиваний: 1
1.10.
Совместная измеримость физических величин
Как известно, определенное значение величины
F
можно указать
только для конкретного специально выбранного состояния (описыва-
емого собственной функцией оператора
ˆ
F
). В квантовой теории сов-
местная измеримость двух физических величин
F
и
G
подразумевает
существование таких состояний квантовой системы, в которых как
величина
F
, так и величина
G
имеют определенные значения
. Данная
проблема
специфична только для микромира
и принципиально отсут-
ствует в макромире.
Математическое условие совместной измеримости двух величин со-
стоит, естественно, в наличии у их операторов общих собственных
функций, т. е. общего базиса:
ˆ
F
Ψ
n
(
ξ
) =
F
n
Ψ
n
(
ξ
);
ˆ
G
Ψ
n
(
ξ
) =
G
n
Ψ
n
(
ξ
)
.
(1.68)
Поэтому проблему совместной измеримости можно сформулировать
как поиск универсального критерия, позволяющего установить наличие
у операторов общих собственных функций
без явного решения уравне-
ний
(1.68).
Критерий формулируется следующим образом:
для того, чтобы ли-
нейные операторы
ˆ
F
и
ˆ
G
имели общие собственные функции, необхо-
димо и достаточно, чтобы эти операторы коммутировали
.
Для простоты будем предполагать спектр обоих операторов дис-
кретным и невырожденным.
Докажем
необходимость
, т. е. установим
коммутативность опе-
раторов с общим базисом
. Возьмем
произвольную
7
функцию
Ψ(
ξ
)
и
подействуем на нее коммутатором
[ ˆ
F ,
ˆ
G
]
, предварительно разложив ее
по базису операторов
ˆ
F
и
ˆ
G
в соответствии с (1.55):
[ ˆ
F ,
ˆ
G
]Ψ(
ξ
)
(1.45)
=
X
n
c
n
( ˆ
F
ˆ
G
−
ˆ
G
ˆ
F
)Ψ
n
(
ξ
)
(1.68)
=
=
X
n
c
n
( ˆ
F G
n
−
ˆ
GF
n
)Ψ
n
(
ξ
)
(1.45)
=
X
n
c
n
(
G
n
ˆ
F
−
F
n
ˆ
G
)Ψ
n
(
ξ
)
(1.68)
=
=
X
n
c
n
(
G
n
F
n
−
F
n
G
n
)
|
{z
}
0
Ψ
n
(
ξ
)
≡
0
(собственные значения — это обычные числа, и поэтому их произведе-
ние коммутирует). Мы пришли к определению нулевого оператора, т. е.
доказали необходимость критерия:
[ ˆ
F ,
ˆ
G
] = 0
.
7
Из пересечения
L
2
-пространств операторов
ˆ
F
и
ˆ
G
.
36
Докажем
достаточность
, т. е. установим
наличие общих собствен-
ных функций у коммутирующих операторов
ˆ
F
и
ˆ
G
. Переформулируем
вопрос несколько иначе. Пусть
Ψ
n
(
ξ
)
— собственная функция операто-
ра
ˆ
F
. Докажем, что она является собственной функцией и для комму-
тирующего с ним оператора
ˆ
G
:
ˆ
F
Ψ
n
(
ξ
) =
F
n
Ψ
n
(
ξ
)
?
=
⇒
ˆ
G
Ψ
n
(
ξ
) =
G
n
Ψ
n
(
ξ
)
.
Подействуем на функцию
Ψ
n
(
ξ
)
оператором
ˆ
G
ˆ
F
. С одной стороны, по
определению произведения операторов,
ˆ
G
ˆ
F
Ψ
n
(
ξ
) = ˆ
G
[ ˆ
F
Ψ
n
(
ξ
)] = ˆ
GF
n
Ψ
n
(
ξ
)
(1.45)
=
F
n
ˆ
G
Ψ
n
(
ξ
)
| {z }
Φ
n
(
ξ
)
=
F
n
Φ
n
(
ξ
)
.
(1.69)
С другой в силу коммутативности
ˆ
F
и
ˆ
G
,
ˆ
G
ˆ
F
Ψ
n
(
ξ
) = ˆ
F
ˆ
G
Ψ
n
(
ξ
)
| {z }
Φ
n
(
ξ
)
= ˆ
F
Φ
n
(
ξ
)
.
(1.70)
Сопоставляя (1.69) и (1.70), приходим к равенству:
ˆ
F
Φ
n
(
ξ
) =
F
n
Φ
n
(
ξ
)
.
Это означает, что у оператора
ˆ
F
при
невырожденном
собственном зна-
чении
F
n
есть
две
собственные функции:
Ψ
n
(
ξ
)
и
Φ
n
(
ξ
) = ˆ
G
Ψ
n
(
ξ
)
. Но
в таком случае эти функции в силу
линейности
операторов должны
отличаться
только постоянным множителем
:
ˆ
G
Ψ
n
(
ξ
) =
G
n
Ψ
n
(
ξ
)
,
т. е. функция
Ψ
n
(
ξ
)
является общей собственной функцией для обоих
операторов
. Достаточность доказана.
Данный критерий обобщается и на случай вырожденного спектра
(см. [1] основной литературы).
Заметим, что доказанный критерий требует
только линейности
и
справедлив даже для неэрмитовых операторов. Случай неэрмитова опе-
ратора возникает, в частности, при доказательстве теоремы Блоха в
курсе «Физика твердого тела».
Как следствие,
для совместной измеримости двух физических ве-
личин необходимо и достаточно, чтобы их операторы коммутирова-
ли
.
Приведем примеры пар
совместно измеримых
величин:
(
x, p
y
)
,
(
z, L
z
)
,
(
p
x
, L
x
)
,
(
L
z
,
L
2
)
.
Примеры пар
совместно неизмеримых
величин:
(
x, p
x
)
,
(
x, L
y
)
,
(
p
x
, L
y
)
,
(
L
x
, L
y
)
. Обратим особое внимание на одноименные декартовы
компоненты координаты и импульса: они совместно неизмеримы, т. е.
в микромире отсутствует понятие классической траектории
!
37
1.11.
Соотношение неопределенностей
Рассмотрим две совместно неизмеримые величины
F
и
G
. Для них
отсутствуют состояния, в которых они обе имели бы определенные зна-
чения. Это проявляется в том, что их измерение в любом
одном и том
же
состоянии даст
хотя бы для одной
из этих величин ненулевой раз-
брос определенных значений. Как известно, такой разброс характери-
зуется
среднеквадратичным отклонением
. Получим общее соотноше-
ние между среднеквадратичными отклонениями
h
(∆
F
)
2
i
и
h
(∆
G
)
2
i
в
произвольном
состоянии
Ψ
.
Рассмотрим вначале несколько пар совместно неизмеримых вели-
чин. Коммутаторы их операторов будут ненулевыми:
[
x,
ˆ
p
x
] = i
}
;
[
x,
ˆ
L
y
] = i
}
z
;
[ˆ
p
x
,
ˆ
L
y
] = i
}
ˆ
p
z
;
[ ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
] = i
}
ˆ
L
z
.
Структура всех этих коммутаторов одинакова:
[ ˆ
F ,
ˆ
G
] = i ˆ
B,
(1.71)
где
ˆ
B
— самосопряженный оператор (напомним, что коммутатор двух
эрмитовых операторов всегда антиэрмитов — отсюда и мнимая единица
в правой части (1.71)).
Выберем некоторое состояние
Ψ
и введем средние значения величин
F
и
G
в этом состоянии и вспомогательные эрмитовы операторы
d
∆
F
= ˆ
F
− h
F
i
;
d
∆
G
= ˆ
G
− h
G
i
.
Легко проверить, что они удовлетворяют тому же самому коммутаци-
онному соотношению (1.71), что и исходные операторы (среднее значе-
ние — обычное число и коммутирует с любым оператором):
[
d
∆
F ,
d
∆
G
] = i ˆ
B,
(1.72)
Используя ту же самую волновую функцию, построим функционал
f
(
α
) =
Z
(
α
d
∆
F
−
i
d
∆
G
)Ψ(
ξ
)
2
d
ξ.
При вещественном
α
он является положительно определенной квад-
ратичной формой относительно
α
с вещественными коэффициентами.
Запишем ее в явном виде (в дираковских обозначениях), используя са-
мосопряженность операторов
d
∆
F
и
d
∆
G
:
f
(
α
) =
D
(
α
d
∆
F
−
i
d
∆
G
)Ψ
(
α
d
∆
F
−
i
d
∆
G
)Ψ
E
=
38
=
D
(
d
∆
F
)Ψ
(
d
∆
F
)Ψ
E
α
2
+
D
(
d
∆
G
)Ψ
(
d
∆
G
)Ψ
E
−
−
i
α
D
(
d
∆
G
)Ψ
(
d
∆
F
)Ψ
E
∗
+ i
α
D
(
d
∆
F
)Ψ
(
d
∆
G
)Ψ
E
∗
=
=
h
Ψ
|
(
d
∆
F
)
2
|
Ψ
i
∗
α
2
−
i
h
Ψ
|
[
d
∆
F ,
d
∆
G
]
|
Ψ
i
α
+
h
Ψ
|
(
d
∆
G
)
2
|
Ψ
i
∗
(1.72)
=
=
h
(∆
F
)
2
i
α
2
+
h
B
i
α
+
h
(∆
G
)
2
i
>
0
.
Поскольку квадратичная форма знакопостоянна при отрицательном
дискриминанте
D
, из условия положительной определенности
f
(
α
)
сле-
дует, что
D
=
h
B
i
2
−
4
h
(∆
F
)
2
ih
(∆
G
)
2
i
6
0
,
или
h
(∆
F
)
2
ih
(∆
G
)
2
i
>
1
4
h
B
i
2
.
(1.73)
Неравенство (1.73) выполняется в
произвольном
состоянии и поэтому
решает поставленную задачу. Оно называется
соотношением неопре-
деленностей
. Напомним, что оператор величины
B
определяется в со-
ответствии с (1.71).
Раскроем смысл соотношения (1.73).
В случае
совместно неизмеримых
величин
ˆ
B
6
= 0
, и правая часть
(1.73) может обратиться в нуль лишь
в некоторых состояниях при
определенных свойствах симметрии
(при этом, естественно, оба со-
множителя в левой части не обязаны обращаться в нуль одновременно).
А это означает
принципиальную невозможность выбора состояния с
нулевым разбросом определенных значений как для
F
, так и для
G
:
при
h
(∆
F
)
2
i →
0
h
(∆
G
)
2
i → ∞
и наоборот.
В качестве примера рассмотрим соотношение (1.73) применительно
к координате и импульсу (соотношение Гейзенберга, полученное им в
1927 г.):
h
(∆
x
)
2
ih
(∆
p
x
)
2
i
>
}
2
4
.
(1.74)
Если подбирать состояние таким образом, чтобы свести к нулю неопре-
деленность координаты, то, в соответствии с (1.74), неопределенность
импульса неограниченно возрастет.
Состояния, в которых соотношение неопределенностей превращает-
ся в строгое равенство, называются
когерентными
.
Вернемся теперь к вопросу о траектории движения, понятие кото-
рой отсутствует в микромире. Рассмотрим, например, движение тела
массой 1 кг со скоростью 1 м/с. Пусть приемлемой погрешностью в
39
определении скорости будет 0,001 м/с. Оценим с помощью соотноше-
ния неопределенностей (1.74) неточность в значении величины коор-
динаты. Она оказывается порядка 5
·
10
−
32
м, что на много порядков
меньше размеров атомного ядра и совершенно несравнимо с величина-
ми погрешностей при измерении координат в реальном эксперименте.
Таким образом,
в макромире соотношение неопределенностей практи-
чески не сказывается
(точнее — неопределенности пренебрежимо ма-
лы). Причиной является наличие малого параметра
}
в правой части
соотношения неопределенностей.
В случае
совместно измеримых
величин
ˆ
B
= 0
и правая часть
(1.73) оказывается строго нулевой. А это означает
возможность выбо-
ра состояния с нулевым разбросом определенных значений и для
F
, и
для
G
.
1.12.
Временное уравнение Шредингера
До сих пор мы не затрагивали вопросов о зависимости волновой
функции от времени и о возможности определения квантовых состоя-
ний конкретной квантовой системы. Относительно общего вида уравне-
ния для
Ψ(
ξ, t
)
можно лишь утверждать, что оно должно быть линей-
ным и однородным (на основании принципа суперпозиции) и выражать
первую производную
∂
Ψ
/∂t
волновой функции по времени через зна-
чение самой волновой функции в тот же момент времени
t
. Последнее
обстоятельство обусловлено тем, что волновая функция
Ψ(
ξ, t
)
полно-
стью определяет состояние системы в момент времени
t
, а, следователь-
но, и производную
∂
Ψ
/∂t
в этот момент времени (аналогично тому, как
в классической механике задание обобщенных координат и скоростей
(
q
i
(
t
)
и
˙
q
i
(
t
)
) однозначно определяет и обобщенные ускорения
¨
q
i
(
t
)
). В
наиболее общем виде уравнение, удовлетворяющее указанным услови-
ям, можно записать следующим образом:
i
}
∂
∂t
Ψ(
ξ, t
) = ˆ
H
Ψ(
ξ, t
)
,
(1.75)
где
ˆ
H
— некоторый подлежащий определению линейный оператор, име-
ющий размерность энергии (учитывая введенный для удобства множи-
тель
i
}
в левой части уравнения (1.75)).
Из требования сохранения нормировки волновой функции с тече-
нием времени можно установить также, что оператор
ˆ
H
должен быть
самосопряженным (эрмитовским). Для этого умножим слева уравнение
(1.75) на
Ψ
∗
(
ξ, t
)
, а уравнение, комплексно-сопряженное к (1.75):
−
i
}
∂
∂t
Ψ
∗
(
ξ, t
) = ˆ
H
∗
Ψ
∗
(
ξ, t
)
,
(1.76)
40