ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 961
Скачиваний: 1
Поскольку в соответствии с (2.2)
Ψ
1
(
±∞
) = Ψ
2
(
±∞
) = 0
, то константа
в (2.3) должна тоже быть равной нулю, так что
Ψ
0
1
/
Ψ
1
= Ψ
0
2
/
Ψ
2
. Инте-
грируя еще раз, получим
Ψ
1
= const
·
Ψ
2
, т. е.
линейную зависимость
функций
Ψ
1
и
Ψ
2
. А это противоречит исходному предположению, т. е.
Ψ
1
и
Ψ
2
задают
одно и то же
состояние.
2.
Волновые функции стационарных состояний вещественны
. Для
координатных частей волновых функций всегда можно выбрать посто-
янный фазовый множитель так, чтобы их мнимые части обратились в
нуль. Доказательство данного утверждения также проводится от про-
тивного. Предположим, что функция
Ψ
E
(
x
)
остается комплексной при
любом выборе нормировочной константы. Тогда, вследствие веществен-
ности
V
(
x
)
и
E
, ее вещественная и мнимая части тоже будут
линейно
независимыми
собственными функциями, соответствующими
одному
и тому же
значению энергии
E
. Но это означает
вырождение
энер-
гетического уровня
E
, что
противоречит ранее доказанному утвер-
ждению
. На основании (1.93) можно заключить, что
при одномерном
движении в связанных стационарных состояниях токи отсутству-
ют
.
3.
Выполняется осцилляционная теорема
. Если основное состояние
нумеровать нулем, первое возбужденное — единицей и т.д., то внутри
области движения частицы (за исключением границ) ее координатная
волновая функция, соответствующая
n
-му возбужденному состоянию,
обратится в нуль ровно
n
раз. Данное нетривиальное свойство доказы-
вается в курсе функционального анализа.
4.
При симметричной (относительно
x
= 0
) потенциальной энер-
гии,
V
(
x
) =
V
(
−
x
)
, все волновые функции стационарных состоя-
ний являются либо четными
(Ψ
E
(
−
x
) = Ψ
E
(
x
))
, либо нечетными
(Ψ
E
(
−
x
) =
−
Ψ
E
(
x
))
. Действительно, в силу симметрии гамильтониана,
если
Ψ
E
(
x
)
есть решение, то таковым является и
Ψ
E
(
−
x
)
, а вследствие
невырожденности спектра они могут отличаться лишь на численный
фактор:
Ψ
E
(
−
x
) =
c
Ψ
E
(
x
)
. Меняя в этом соотношении еще раз знак
x
у
Ψ
E
(
x
)
(
Ψ
E
(
x
) =
c
Ψ
E
(
−
x
)
), получаем
c
2
= 1
, откуда
c
=
±
1
, что и
доказывает сделанное утверждение.
К таким же
одномерным
уравнениям (2.1) приводится, очевид-
но, задача о
трехмерном
движении в поле с потенциальной энергией
V
(
x, y, z
) =
V
1
(
x
) +
V
2
(
y
) +
V
3
(
z
)
, разбивающейся на сумму функций,
каждая из которых зависит только от одной из координат.
Задачи о частице в прямоугольной потенциальной яме (пример фи-
нитного движения) и о прохождении частиц через потенциальный ба-
рьер (пример инфинитного движения), имеющие точное аналитическое
решение, разобраны в практическом курсе [3], ч. 2.
56
2.2.
Линейный гармонический осциллятор
Рассмотрим одномерную потенци-
Рис. 2.1.
альную яму
V
(
x
) =
1
2
mω
2
x
2
(2.4)
с параметром
1
ω
(рис. 2.1). Такой по-
тенциал называется
осцилляторным
.
Примерами классических осциллято-
ров являются пружинный, математи-
ческий и физический маятники, со-
вершающие малые колебания. Движе-
ние частиц в таком потенциале всегда
финитное
. В классической механике
частица с массой
m
в поле (2.4) совершает
гармонические колебания
:
x
(
t
) =
A
cos(
ωt
+
α
)
,
где
ω
— циклическая частота,
A
— амплитуда,
α
— начальная фаза. В
квантовой механике линейными гармоническими осцилляторами моде-
лируются колебания ионов в узлах кристаллической решетки, а также
колебательные степени свободы в многоатомных молекулах при доста-
точно малых амплитудах колебаний (т. е. когда межатомный потенциал
можно считать квадратичным). Отметим важность модели одномерно-
го линейного гармонического осциллятора для построения формализма
вторичного квантования и квантовой теории поля.
Гамильтониан одномерного квантового осциллятора с потенциалом
(2.4)
ˆ
H
=
−
}
2
2
m
d
2
d
x
2
+
1
2
mω
2
x
2
инвариантен относительно отражения
x
→ −
x
, поэтому, помимо пол-
ной энергии, интегралом состояния будет также и четность. Для на-
хождения дискретных значений энергии
E
>
0
и волновых функций
стационарных состояний осциллятора необходимо решить стационар-
ное уравнение Шредингера
−
}
2
2
m
d
2
d
x
2
Ψ(
x
) +
1
2
mω
2
x
2
Ψ(
x
) =
E
Ψ(
x
)
(2.5)
с граничными условиями
Ψ(
±∞
) = 0
(2.6)
вследствие финитного характера движения.
1
Точнее, параметром является коэффициент упругости
k
:
V
(
x
) =
1
2
kx
2
; цикли-
ческая частота
ω
=
p
k/m
, где
m
— масса частицы, вводится для удобства.
57
Прежде всего перейдем в (2.5) к безразмерной координате
ξ
=
x/x
0
(константа
x
0
с размерностью длины будет определена ниже; это «есте-
ственная» единица длины для осциллятора, позволяющая существенно
упростить все математические выкладки):
d
2
Φ
d
ξ
2
−
mωx
2
0
}
2
|
{z
}
1
ξ
2
Φ(
ξ
) +
2
mx
2
0
}
2
E
Φ(
ξ
) = 0
,
где
Φ(
ξ
) = Ψ(
x
)
. Константу
x
0
определим, потребовав обращения в
единицу безразмерного множителя перед
ξ
2
. Постоянный коэффициент
перед
Φ(
ξ
)
тоже будет безразмерен. Обозначим его
λ
. Таким образом,
в безразмерных переменных
Φ(
ξ
) = Ψ(
x
);
ξ
=
x
x
0
;
x
0
=
r
}
mω
;
λ
=
2
mx
2
0
}
2
E
=
2
E
}
ω
(2.7)
краевая задача (2.5), (2.6) принимает вид:
d
2
Φ
d
ξ
2
+ (
λ
−
ξ
2
) Φ(
ξ
) = 0
,
(2.8)
Φ(
±∞
) = 0
.
(2.9)
Неизвестными в ней являются
λ
и
Φ(
ξ
)
, связанные с исходными неиз-
вестными
E
и
Ψ(
x
)
соотношениями (2.7). Решение задачи всегда бу-
дет удовлетворять стандартному условию непрерывности вследствие
непрерывности коэффициентов уравнения (2.8).
Решение будем искать с помощью разложения
Φ(
ξ
)
в ряд по степе-
ням
ξ
. Для этого вначале найдем асимптотический вид
Φ(
ξ
)
в окрест-
ностях особых точек уравнения (2.8). Таковыми являются
ξ
=
±∞
, при
которых коэффициент при
Φ(
ξ
)
обращается в бесконечность.
При заданном
λ
безразмерную координату
ξ
всегда можно выбрать
настолько большой, что
|
ξ
|
max(
√
λ,
1)
,
(2.10)
и вместо
точного уравнения
(2.8) решать
приближеннoe
:
d
2
Φ
d
ξ
2
−
ξ
2
Φ(
ξ
) = 0
.
(2.11)
Приближенное решение (2.11) при условии (2.10) имеет вид:
Φ(
ξ
)
∼
e
∓
ξ
2
/
2
.
(2.12)
58
Вследствие
граничного условия
(2.9) из (2.12) необходимо выбрать
только
затухающее
решение, т. е. искать
Φ(
ξ
)
в виде:
Φ(
ξ
) =
v
(
ξ
)
|{z}
?
e
−
ξ
2
/
2
(2.13)
с неизвестной функцией
v
(
ξ
)
. Подстановка (2.13) в (2.8) приводит к
следующему уравнению для
v
(
ξ
)
, уже
не содержащему особых точек
(коэффициент при
v
(
ξ
)
конечен):
v
00
(
ξ
)
−
2
ξv
0
(
ξ
) + (
λ
−
1)
v
(
ξ
) = 0
.
(2.14)
Граничные условия для
v
(
ξ
)
формулируются, исходя из (2.9) и (2.13):
v
(
ξ
) e
−
ξ
2
/
2
ξ
→±∞
= 0
.
(2.15)
Представим неизвестную функцию
v
(
ξ
)
в виде ряда Тейлора по сте-
пеням
ξ
с неизвестными коэффициентами:
v
(
ξ
) =
∞
X
k
=0
a
k
|{z}
?
ξ
k
.
(2.16)
После подстановки (2.16) уравнение (2.14) принимает вид:
∞
X
k
=0
{
(
k
+ 2)(
k
+ 1)
a
k
+2
−
[2
k
−
(
λ
−
1)]
a
k
}
ξ
k
= 0
.
(2.17)
При приведении подобных слагаемых (с одинаковой степенью
ξ
) в пер-
вой сумме левой части (2.17) мы сделали замену индекса суммирования
k
→
k
+ 2
.
Уравнение (2.17) эквивалентно уравнению (2.14). Чтобы (2.17) вы-
полнялось
тождественно при любых значениях
ξ
, коэффициенты при
всех
степенях
ξ
должны обратиться в нуль, откуда получаем следую-
щее рекуррентное соотношение для коэффициентов
a
k
:
a
k
+2
=
2
k
−
(
λ
−
1)
(
k
+ 2)(
k
+ 1)
a
k
.
(2.18)
Исследуем ряд (2.13) при условии (2.10). Рассмотрим его далекие
слагаемые (
k
1
). На основании (2.18) имеем:
a
k
+2
a
k
k
1
'
2
k
.
59
Но такому же соотношению удовлетворяют коэффициенты разложения
функции
e
ξ
2
:
e
ξ
2
=
∞
X
m
=0
ξ
2
m
m
!
=
X
k
=0
,
2
,...
1
(
k/
2)!
| {z }
a
k
ξ
k
.
Действительно,
a
k
+2
a
k
=
[
k/
2]!
[(
k
+ 2)
/
2]!
=
[
k/
2]!
[1 +
k/
2]!
=
2
k
+ 2
k
1
'
2
k
.
Итак, ряд (2.16) для
v
(
ξ
)
имеет асимптотику
e
ξ
2
и функция
Φ(
ξ
)
в (2.13)
не удовлетворяет
граничному условию (2.15), а именно, она
растет
на бесконечности
как
e
ξ
2
/
2
, что противоречит стандартному условию
конечности. Тем не менее, все же можно обеспечить выполнение усло-
вия (2.15), поскольку рекуррентное соотношение (2.18) содержит пока
произвольный параметр
λ
. Его можно подобрать так, чтобы ряд (2.16)
содержал конечное число слагаемых
, т. е. стал полиномом. Действи-
тельно, выбрав
λ
положительным нечетным
λ
=
λ
n
= 2
n
+ 1
,
n
= 0
,
1
, . . . ,
(2.19)
в соответствии c (2.18) получим:
a
n
+2
=
2
n
−
[(2
n
+ 1)
−
1]
(
n
+ 1)(
n
+ 2)
a
n
= 0 =
a
n
+4
=
a
n
+6
=
. . .
при
a
n
6
= 0
.
При этом условии ряд (2.16), превратившись в полином конечной сте-
пени
n
, обеспечит выполнение условия (2.15).
Выясним смысл найденных значений
λ
. Этот безразмерный пара-
метр связан с энергией соотношением (2.7), поэтому с помощью (2.19)
находим значения энергий стационарных состояний осциллятора:
E
n
=
}
ω
n
+
1
2
,
n
= 0
,
1
, . . .
(2.20)
Таким образом, энергия осциллятора
квантуется
вследствие финит-
ного характера движения. Число энергетических уровней бесконечно.
Уровни расположены
эквидистантно
на расстоянии
}
ω
друг от друга
(рис. 2.2а).
Ненормированные волновые функции стационарных состояний
(точнее — их множители
v
(
ξ
)
) можно получить по рекуррентной фор-
муле (2.18). Положив
a
0
= 1
,
a
1
= 0
, мы получаем коэффициенты всех
четных
полиномов; положив
a
0
= 0
,
a
1
= 1
, мы получаем все
нечетные
60