ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 994
Скачиваний: 1
— на
Ψ(
ξ, t
)
. Вычтем теперь второе соотношение из первого, и получен-
ное равенство проинтегрируем по всем возможным значениям
ξ
, вынося
в левой части производную по времени за знак интеграла:
i
}
∂
∂t
h
Ψ
|
Ψ
i
=
n
h
Ψ
|
ˆ
H
|
Ψ
i − h
Ψ
|
ˆ
H
|
Ψ
i
∗
o
.
Для обращения левой части в этом соотношении в нуль (т. е. для сохра-
нения нормировочного интеграла во времени) выражение в фигурных
скобках в правой части также должно обратиться в нуль, что и озна-
чает самосопряженность оператора
ˆ
H
в соответствии с (1.42).
В общем случае произвольной квантовой системы явный вид линей-
ного самосопряженного оператора
ˆ
H
(который может также парамет-
рически зависеть от времени при воздействии на систему переменных
внешних полей) должен быть постулирован. Наводящие соображения
для такого постулирования дает пример свободной частицы с опреде-
ленным импульсом, для которой вид оператора
ˆ
H
можно установить
теоретически из следующих рассуждений. Подстановка волны де Брой-
ля (1.4) в уравнение (1.75) приводит его к виду
E
Ψ
p
(
r
, t
) = ˆ
H
Ψ
p
(
r
, t
)
.
(1.77)
Поскольку для свободного электрона
E
=
p
2
/
(2
m
)
, правая часть (1.77)
после действия оператора
ˆ
H
на пространственную часть функции
Ψ
p
(
r
, t
)
также должна превратиться в
p
2
2
m
Ψ
p
(
r
, t
)
. Наиболее простой
оператор
ˆ
H
, приводящий правую часть к такому виду, есть
ˆ
H
=
−
}
2
2
m
∇
2
=
ˆ
p
2
2
m
.
Таким образом, уравнение (1.75) для волны де Бройля можно предста-
вить в виде:
i
}
∂
∂t
Ψ
p
(
r
, t
) = ˆ
T
Ψ
p
(
r
, t
)
,
(1.78)
где
ˆ
T
есть оператор кинетической энергии электрона:
ˆ
T
=
ˆ
p
2
2
m
=
−
}
2
2
m
∇
2
.
(1.79)
Как известно, в классической механике кинетическая энергия сво-
бодной частицы
T
=
p
2
/
(2
m
)
совпадает с е функцией Гамильтона
H
:
H
(
p
,
r
) =
p
2
2
m
=
T.
(1.80)
41
Поэтому оператор, действующий на
Ψ
p
(
r
, t
)
в правой части (1.78), мо-
жет быть получен из функции Гамильтона (1.80) заменой
p
→
ˆ
p
=
=
−
i
}
∇
. Другими словами, в правой части (1.78) мы имеем
гамильто-
ниан
ˆ
H
(оператор Гамильтона) свободной частицы:
ˆ
H
= ˆ
T
=
ˆ
p
2
2
m
.
(1.81)
Теперь становится понятной идея обобщения уравнения (1.78) на слу-
чай электрона во
внешнем силовом поле с потенциальной функци-
ей
V
(
r
, t
)
. В этом случае классическая функция Гамильтона дается
суммой кинетической энергии и потенциальной функции:
H
(
p
,
r
) =
=
p
2
2
m
+
V
(
r
, t
)
. Заменяя в ней кинетическую энергию на оператор
ˆ
T
,
получаем гамильтониан электрона во внешнем поле
ˆ
H
=
ˆ
p
2
2
m
+
V
(
r
, t
) =
−
}
2
2
m
∇
2
+
V
(
r
, t
)
.
(1.82)
Теперь можно предположить, что уравнение (1.75) с гамильтонианом
(1.82), или (в развернутой записи) уравнение
i
}
∂
∂t
Ψ(
r
, t
) =
−
}
2
2
m
∇
2
+
V
(
r
, t
)
Ψ(
r
, t
)
(1.83)
и является уравнением для волновой функции электрона во внешнем
поле
V
(
r
, t
)
. Уравнение (1.75) для волновой функции, в котором опера-
тор
ˆ
H
является гамильтонианом квантовой системы, было предложено
Э. Шредингером в 1926 г. и является основным уравнением кванто-
вой механики. Оно называется
временн´
ым уравнением Шредингера
и
в квантовой теории играет ту же роль, что и уравнения Ньютона в
классической механике: зная состояние системы в начальный момент
времени
t
=
t
0
(т. е. начальное состояние
Ψ(
r
, t
0
)
), оно позволяет по-
лучить волновую функцию этого состояния в произвольный момент
времени
t
.
На основании анализа структуры уравнения (1.83) можно сформу-
лировать следующее правило для формального построения уравнения
Шредингера квантовой системы, для которой классическая функция
Гамильтона имеет известный вид
H
(
p
,
r
)
: в классическом соотношении
H
(
p
,
r
) =
E
осуществляется замена
p
→
ˆ
p
=
−
i
}
∇
=
−
i
}
∂
∂
r
;
E
= i
}
∂
∂t
,
(1.84)
а затем к обеим его частям справа добавляется функция
Ψ(
r
, t
)
.
42
Для важного случая системы
N
взаимодействующих частиц с пар-
ным взаимодействием
U
(
r
,
r
0
)
, движущихся во внешнем силовом поле
V
(
r
, t
)
, гамильтониан принимает вид:
ˆ
H
=
N
X
i
=1
−
}
2
2
m
i
∇
2
i
+
N
X
i
=1
V
i
(
r
i
, t
) +
N
X
i,j
=1
i<j
U
ij
(
r
i
,
r
j
)
.
(1.85)
Здесь
m
i
— масса
i
-й частицы, а
∇
i
=
∂/∂
r
i
— оператор дифференци-
рования по радиус-вектору
i
-й частицы.
Самый общий вид временн´ого уравнения Шредингера в конфигура-
ционном пространстве
i
}
∂
∂t
Ψ(
ξ, t
) = ˆ
H
(
ξ, t
)Ψ(
ξ, t
)
(1.86)
получается из классического соотношения
H
(
p
ξ
, ξ
) =
E
по аналогии с
(1.83) с помощью обобщенной замены
p
ξ
→
ˆ
p
ξ
;
E
= i
}
∂
∂t
,
(1.87)
где
p
ξ
— обобщенный импульс, соответствующий обобщенной коорди-
нате
ξ
.
При этом необходимо обеспечить самосопряженность гамиль-
тониана!
В частности, при наличии в функции Гамильтона произве-
дений типа
xp
x
для перехода к гамильтониану необходимо произвести
нетривиальную замену
xp
x
→
1
2
{
x,
ˆ
p
x
}
.
Приведенные выше соображения о явном виде оператора
ˆ
H
в урав-
нении (1.75) для одной квантовой частицы во внешнем силовом по-
ле, а также его обобщение для системы
N
взаимодействующих частиц,
не являются строгим выводом
уравнения Шредингера. В квантовой
механике уравнение Шредингера
постулируется
подобно уравнению
Ньютона в классической механике и уравнениям Максвелла в класси-
ческой электродинамике.
Временн´ое уравнение Шредингера является уравнением в частных
производных
второго
порядка по координатам и
первого
порядка по
времени. В отличие от волновых уравнений классической физики (элек-
тродинамики и акустики), уравнение Шредингера содержит
первую
43
производную по времени с мнимым коэффициентом
(этим коэффици-
ентом оно отличается от
уравнения диффузии
):
i
∂
∂t
(
. . .
) =
−
∇
2
(
. . .
)
вместо
∂
∂t
(
. . .
) = +
∇
2
(
. . .
)
,
что обеспечивает существование осциллирующих во времени решений
уравнения Шредингера. В качестве
начального условия
следует взять
значение волновой функции в начальный момент времени
Ψ(
ξ,
0)
.
Гра-
ничные условия
определяются стандартными условиями (требованием
конечности, однозначности и непрерывности).
1.13.
Плотность потока вероятности
Согласно гипотезе М. Борна, квадрат модуля волновой функции да-
ет плотности вероятности распределения частицы. Объемная же плот-
ность
ρ
cl
(
r
, t
)
скалярной физической величины (массы, заряда, энергии
и т.д.) подчиняется
уравнению непрерывности
∂
∂t
ρ
cl
(
r
, t
) + div
j
cl
(
r
, t
) = 0
,
(1.88)
выражающему
закон сохранения
этой физической величины. Здесь
j
cl
(
r
, t
)
— плотность ее потока.
Поскольку для плотности вероятности распределения микрочасти-
цы в 3-мерном пространстве
ρ
(
r
, t
) =
|
Ψ(
r
, t
)
|
2
(1.89)
нормировочный интеграл не меняется с течением времени (вследствие
сохранения вещества в нерелятивистской механике
), для этой плот-
ности тоже должно выполняться уравнение непрерывности (1.88). Тре-
буется лишь
выразить плотность потока вероятности
j
(
r
, t
)
через
волновую функцию
подобно (1.89).
Для установления вида
j
(
r
, t
)
запишем уравнение, комплексно-
сопряженное уравнению Шредингера (1.83):
−
i
}
∂
∂t
Ψ
∗
(
r
, t
) =
−
}
2
2
m
∇
2
+
V
(
r
, t
)
Ψ
∗
(
r
, t
)
.
(1.90)
Умножим теперь уравнение (1.83) на
Ψ
∗
(
r
, t
)
, а (1.90) — на
Ψ(
r
, t
)
и
вычтем из первого соотношения второе:
i
}
∂
∂t
|
Ψ(
r
, t
)
|
2
=
−
}
2
2
m
Ψ
∗
(
r
, t
)
∇
2
Ψ(
r
, t
)
−
Ψ(
r
, t
)
∇
2
Ψ
∗
(
r
, t
)
.
(1.91)
44
Левая часть (1.91) сводится к производной произведения функций, т. е.
в соответствии с (1.89) к производной
ρ
(
r
, t
)
по времени. Правую часть
(1.91) можно преобразовать по формулам векторного анализа:
div(
f
grad
g
) =
∇
(
f
∇
g
) = (
∇
f
)(
∇
g
) +
f
∇
2
g,
откуда
f
∇
2
g
= div(
f
∇
g
)
−
(
∇
f
)(
∇
g
)
.
Следовательно,
Ψ
∗
(
r
, t
)
∇
2
Ψ(
r
, t
)
−
Ψ(
r
, t
)
∇
2
Ψ
∗
(
r
, t
) =
= div
{
Ψ
∗
(
r
, t
)
∇
Ψ(
r
, t
)
−
Ψ(
r
, t
)
∇
Ψ
∗
(
r
, t
)
}
.
(1.92)
Учитывая (1.89) и (1.92) и сопоставляя (1.88) и (1.91), получаем сле-
дующее выражение для плотности потока вероятности в состоянии с
волновой функцией
Ψ(
r
, t
)
:
j
(
r
, t
) =
}
2
m
i
[Ψ
∗
(
r
, t
)
∇
Ψ(
r
, t
)
−
Ψ(
r
, t
)
∇
Ψ
∗
(
r
, t
)]
.
(1.93)
Напомним, что
m
— масса частицы. Обратим внимание, что
j
(
r
, t
) = 0
в случае вещественной волновой функции.
Стандартное условие непрерывности волновой функции необходи-
мо для обеспечения конечности плотности потока вероятности
.
Рассмотрим электрон в состоянии с волновой функцией
Ψ(
r
, t
)
. В
соответствии с (1.89) пространственное распределение заряда в состо-
янии
Ψ(
r
, t
)
есть
ρ
e
(
r
, t
) =
−
eρ
(
r
, t
) =
−
e
|
Ψ(
r
, t
)
|
2
.
(1.94)
Здесь
−
e
(
e >
0
) — заряд электрона. В классической механике распре-
деление точечного заряда задается
δ
-функцией. В квантовой механике
плотность заряда оказывается «размазанной» («облако» электрическо-
го заряда) вследствие отсутствия определенной траектории движения
электрона. Аналогичным образом из (1.93) получаем выражение для
плотности электрического тока, создаваемого электроном в состоянии
Ψ(
r
, t
)
:
j
e
(
r
, t
) =
−
e
}
2
m
i
[Ψ
∗
(
r
, t
)
∇
Ψ(
r
, t
)
−
Ψ(
r
, t
)
∇
Ψ
∗
(
r
, t
)]
.
(1.95)
В применении к волне де Бройля (1.4) плотность потока вероятности
по формуле (1.93) имеет вид:
j
(
r
, t
) =
j
=
|
C
|
2
p
m
.
45