ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 963
Скачиваний: 1
∂
ˆ
F
∂t
+
1
i
}
[ ˆ
F ,
ˆ
H
] = 0
.
(1.109)
Можно также сказать, что величина
F
сохраняется, если оператор ее
производной
d ˆ
F
d
t
равен нулю.
С точностью до замен (1.108) условие (1.109) аналогично соответ-
ствующему условию сохранения величины
F
(
q
i
, p
i
, t
)
в классической
механике (где она называется интегралом движения механической си-
стемы). В механике скобка Пуассона, построенная из классических ин-
тегралов движения
F
и
G
, сама является интегралом движения. На ос-
новании критерия (1.109) можно показать, что и в квантовой механике
величина, соответствующая коммутатору операторов двух сохраняю-
щихся величин, также является интегралом состояния.
В наиболее важном случае, когда оператор
ˆ
F
не зависит от времени
(т. е. его частная производная по времени равна нулю), величина
F
,
согласно (1.109), сохраняется
только в случае коммутативности
ˆ
F
с
гамильтонианом
. Таким образом, наличие интегралов состояния пол-
ностью определяется типом физического взаимодействия в квантовой
системе, т. е. видом гамильтониана
ˆ
H
, а точнее — его пространственно-
временн´ой симметрией.
Рассмотрим типичные примеры интегралов состояния, существова-
ние которых доказывается непосредственной проверкой соотношения
(1.109).
Полная энергия.
Если гамильтониан не зависит от времени, то
полная энергия является интегралом состояния
. Подчеркнем, что при
этом сохраняется среднее значение энергии в
любых
квантовых состо-
яниях, а не только в стационарных.
Импульс.
В отсутствие внешних силовых полей полный импульс
квантовой системы сохраняется
. При наличии внешнего поля сохра-
няется проекция импульса на то направление, в котором не действуют
силы.
Проекция орбитального момента
.
В аксиально-симметричных
силовых полях проекция орбитального момента на ось симметрии со-
храняется
.
Квадрат орбитального момента.
В сферически-симметричных
(центральных) силовых полях квадрат орбитального момента сохра-
няется
. В классической механике в этом случае вместо
L
z
и
L
2
инте-
гралом движения является
вектор
орбитального момента
L
(и, есте-
ственно, все его декартовы компоненты). В квантовой механике его
декартовы компоненты неизмеримы совместно
, зато совместно изме-
51
римыми будут
квадрат орбитального момента вместе с любой декар-
товой компонентой
.
Рассмотренные законы сохранения имеют классические аналоги.
Как и в классической механике, их существование для замкнутой (не
подверженной внешним воздействиям) квантовой системы есть след-
ствие однородности времени (энергия), а также однородности и изо-
тропии пространства (импульс и орбитальный момент).
Оператор инверсии. Четность состояний
Определение: Операция пространственной инверсии (отражения)
состоит в замене
r
→ −
r
. Соответствующий оператор обозначается
ˆ
I
и определяется следующим образом:
ˆ
I
Ψ(
r
)
def
= Ψ(
−
r
)
.
(1.110)
В трехмерном пространстве операция инверсии приводит к замене пра-
вой системы декартовых координат на левую. В двумерном случае по-
сле отражения
(
x, y
)
→
(
−
x,
−
y
)
новая система координат с помощью
поворота на 180
◦
превращается в исходную, так что такое преобразо-
вание нельзя считать инверсией. В трехмерном же случае после отра-
жения трех осей изменяется
ориентация
системы координат: правая
система превращается в левую и наоборот. При этом исходная и новая
системы координат не сводятся друг к другу с помощью поворотов.
Именно такое преобразование является инверсией.
Приведем явный вид преобразования инверсии в трехмерном про-
странстве в наиболее важных системах координат:
декартовы координаты:
x
→ −
x,
y
→ −
y,
z
→ −
z
;
сферические координаты:
r
→
r,
θ
→
π
−
θ,
ϕ
→
π
+
ϕ
.
Найдем собственные значения и собственные функции оператора
инверсии. В соответствии с (1.110) и из определения единичного опера-
тора следует, что
ˆ
I
2
= 1
. Поэтому оператор
ˆ
I
2
имеет лишь единственное
собственное значение, равное единице. Спектр оператора
ˆ
I
, очевидно,
будет состоять из двух собственных значений, равных
±
1
:
ˆ
I
Ψ
±
(
r
) =
±
Ψ
±
(
r
)
.
(1.111)
Таким образом,
собственными функциями оператора инверсии явля-
ются любые четные и нечетные функции, удовлетворяющие стан-
дартным условиям
.
Физическая характеристика системы, соответствующая оператору
инверсии, называется
четностью
и обозначается буквой
P
. Она не
имеет классического аналога и свойственна лишь квантовому описанию
52
явлений в микромире. В отличие от известных прежде характеристик
квантовой системы,
четность не аддитивна, а мультипликативна
,
т. е. в состояниях с определенной четностью четность составной си-
стемы равняется
произведению
четностей составляющих ее частей. Со-
стояния с четностью
+1
называются
четными
, а с четностью
−
1
—
нечетными
.
Общий случай сохранения четности рассмотрен в [3] основной лите-
ратуры (ч. 1, гл. 5). В частности, четность сохраняется при движении
частицы в центральном поле.
Полные наборы интегралов состояния
Познакомившись с основными положениями квантовой механики,
можно более детально рассмотреть вопрос об иерархии возможных со-
стояний квантовой системы. Мы будем рассматривать наиболее важ-
ный случай, когда гамильтониан не зависит от времени и следователь-
но существуют
стационарные
состояния системы, в которых энергия
сохраняется, а вся временная зависимость волновой функции описыва-
ется простым экспоненциальным множителем (см. выражение (1.101)).
Это один из возможных типов квантовых состояний системы. Конечно,
можно приготовить систему в момент времени
t
0
= 0
и в произволь-
ной суперпозиции стационарных состояний с различными энергиями,
но теперь уже при
t >
0
система будет находиться в
нестационарном
состоянии, ее волновая функция будет сложным образом зависеть от
времени, и каждое измерение энергии будет давать лишь одно из соб-
ственных значений гамильтониана. Ясно, что в нестационарных состоя-
ниях система описывается менее полным образом, чем в стационарных
(теряется информация об одной из возможных характеристик систе-
мы — энергии), хотя формально такие состояния наравне со стационар-
ными входят в полную совокупность возможных квантовых состояний
системы (образующих гильбертово пространство функций). Эта ситуа-
ция кардинально отлична от классической механики, в которой любое
механическое состояние системы в любой момент времени описывает-
ся с одинаковой степенью полноты заданием обобщенных координат
и импульсов. Поэтому возникает вопрос, какие состояния квантовой
системы можно считать описанными наиболее полным образом (или,
по-другому, в каких состояниях должна находиться система, чтобы пу-
тем измерений можно было получить наиболее детальную информацию
о физических характеристиках системы, допускаемую квантовой меха-
никой)? Ответ на этот вопрос дают теоремы о существовании интегра-
лов состояния и об условиях совместной измеримости нескольких фи-
зических величин: максимально полно описанное квантовое состояние
53
характеризуется максимальным числом
независимых совместно изме-
римых
интегралов состояния рассматриваемой квантовой системы (эта
совокупность интегралов состояния называется
полным набором
). По-
скольку не все интегралы состояния данной квантовой системы одно-
временно измеримы (т. е. соответствующие операторы коммутируют),
полные наборы могут быть выбраны по-разному. В качестве примера
укажем, что для свободной частицы полный набор сохраняющихся ве-
личин может включать как импульс
p
, так и
E
,
L
z
и
L
2
. Как видно,
в обоих случаях максимально полно описанные квантовые состояния
характеризуются тремя независимыми сохраняющимися физическими
характеристиками, число которых равно числу степеней свободы ча-
стицы.
Поскольку общая система собственных функций эрмитовых опе-
раторов, соответствующих полному набору интегралов состояния, об-
разует базис гильбертова пространства, можно сказать, что волновая
функция любого квантового состояния является либо одним из элемен-
тов этого базиса (тогда это состояние описывается наиболее полным
образом), либо может быть представлена в виде линейной суперпози-
ции волновых функций указанного базисного набора полным образом
описанных состояний (тогда это состояние описано менее информатив-
но,чем это в принципе допускается квантовой механикой). В более об-
щей формулировке квантовой механики состояния, описываемые (лю-
бой) волновой функцией, называются «чистыми». Оказывается, кван-
товая система может находиться и в состояниях (называемых «смешан-
ными»), которым нельзя приписать определенную волновую функцию,
а можно указать лишь
вероятности
нахождения системы в различных
чистых состояниях. С этими вопросами читатель познакомится в курсе
квантовой статистической физики.
54
Глава 2.
Простейшие задачи квантовой механики
В данной главе рассматриваются простейшие стационарные задачи
квантовой механики, допускающие точное аналитическое решение.
2.1.
Одномерное движение
Стационарное уравнение Шредингера для одномерного движения
частицы с массой
m
в поле
V
(
x
)
выглядит следующим образом:
−
}
2
2
m
d
2
d
x
2
Ψ
E
(
x
) +
V
(
x
)Ψ
E
(
x
) =
E
Ψ
E
(
x
)
.
(2.1)
Граничные условия к нему определяются характером движения, поста-
новкой задачи и стандартными условиями.
В случае
инфинитного
движения энергетический спектр непреры-
вен, так что граничные условия, т. е.
Ψ
E
(
±∞
)
, выбираются конечны-
ми, однозначными, непрерывными и учитывающими постановку задачи
(например, о прохождении микрочастиц через потенциальный барьер).
В случае
финитного
движения граничные условия берутся нулевы-
ми
Ψ
E
(
±∞
) = 0
,
(2.2)
чтобы обеспечить конечное значение нормировочного интеграла. В дан-
ном разделе мы будем рассматривать только финитное движение.
Сформулируем общие свойства одномерного финитного движения.
1.
Энергетические уровни не вырождены
. Для доказательства пред-
положим противное, и пусть
Ψ
1
и
Ψ
2
— две различные (
линейно неза-
висимые
) собственные функции, соответствующие одному и тому же
значению энергии. Поскольку обе они удовлетворяют одному и тому
же уравнению (2.1), то имеем:
Ψ
00
1
Ψ
1
=
2
m
}
2
[
V
(
x
)
−
E
] =
Ψ
00
2
Ψ
2
,
или
Ψ
00
1
Ψ
2
−
Ψ
1
Ψ
00
2
= 0
(штрих означает дифференцирование по
x
).
Интегрируя это соотношение, находим:
Ψ
0
1
Ψ
2
−
Ψ
1
Ψ
0
2
= const
.
(2.3)
55