ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 962
Скачиваний: 1
Рис. 2.2.
полиномы. Таким образом,
четность
стационарных состояний опреде-
ляется энергией (или, что то же самое, значением
квантового числа
осциллятора
n
):
Ψ
n
(
−
x
) = (
−
1)
n
Ψ
n
(
x
)
,
т. е.
P
n
= (
−
1)
n
.
(2.21)
Полагая
a
1
= 0
(в первом случае) и
a
0
= 0
(во втором случае), мы
обеспечиваем требование сохранения четности.
Для нахождения явного вида волновых функций учтем, что при
условии (2.19) уравнение (2.14) является уравнением для полиномов
Чебышева – Эрмита (см. приложение В). Приведем здесь окончатель-
ный вид нормированных волновых функций стационарных состояний
осциллятора:
Ψ
n
(
x
) =
1
p
2
n
n
!
x
0
√
π
H
n
(
x/x
0
) e
−
x
2
/
(2
x
2
0
)
.
(2.22)
Вычисление нормировочного множителя можно найти, например, в [1]
из списка дополнительной литературы.
Нетрудно убедиться, что для энергий
Рис. 2.3.
стационарных состояний осциллятора (2.20)
и соответствующих им волновых функций
(2.22) выполняются все свойства одномер-
ного финитного движения. Графики некото-
рых волновых функций
Ψ
n
(
x
)
представлены
на рис. 2.2б (цифры у кривых показывают
значения
n
).
Основное состояние осциллятора имеет ненулевую энергию
E
0
=
=
}
ω/
2
(которая отсчитывается от «дна» потенциальной ямы). Это так
называемая
энергия нулевых колебаний
. Наличие нулевых колебаний не
61
противоречит
принципу неопределенностей
, не позволяющему частице
опуститься на «дно». Существование таких колебаний эксперименталь-
но подтверждается, например, при исследовании рассеяния электронов
на ионах кристаллической решетки при температурах вблизи абсолют-
ного нуля. Основному состоянию соответствует волновая функция
Ψ
0
(
x
) =
1
p
x
0
√
π
exp
−
x
2
2
x
2
0
.
Поскольку при удалении от положения равновесия потенциальная
энергия монотонно возрастает непрерывным образом, волновые функ-
ции будут ненулевыми и в классически недоступной области, хотя они и
быстро (экспоненциальным образом) затухают с увеличением
|
x
|
. Гра-
фик плотности вероятности в основном состоянии дается в качестве
примера на рис. 2.3. Он представляет собой гауссову кривую.
2.3.
Одномерное движение в однородном поле
Рассмотрим одномерное движение частицы с массой
m
под действи-
ем постоянной силы
F
. Потенциальная энергия частицы в этом случае
имеет вид
V
(
x
) =
−
F x.
(2.23)
Определим энергии и волновые функции стационарных состояний ча-
стицы в поле (2.23).
Стационарное уравнение Шредингера для та-
Рис. 2.4.
кого движения имеет вид:
−
}
2
2
m
d
2
Ψ(
x
)
d
x
2
−
F x
Ψ(
x
) =
E
Ψ(
x
)
.
(2.24)
Классическое движение частицы в потенциале
(2.23) ограничено только
слева
точкой поворота
a
=
−
E/F
(рис. 2.4). Поэтому движение инфинит-
но в одну сторону
(
x
→
+
∞
)
, а энергетический
спектр непрерывный и невырожденный. Граничные условия, налагае-
мые на
Ψ(
x
)
:
Ψ(
−∞
) = 0;
Ψ(+
∞
)
ограничено.
Заменой переменных
ξ
=
2
mF
}
2
1
/
3
x
+
E
F
при заданном
E
урав-
нение (2.24) приводится к уравнению Эйри
62
Φ
00
(
ξ
) +
ξ
Φ(
ξ
) = 0
(2.25)
с граничными условиями
Φ(
−∞
) = 0;
Φ(+
∞
)
ограничено,
(2.26)
где
Φ(
ξ
) = Ψ(
x
)
.
Решение уравнения (2.25) с граничными условиями (2.26) выража-
ется через функцию Эйри (см. приложение Г):
Φ(
ξ
) =
C
Ai(
−
ξ
)
.
(2.27)
Мы не будем здесь выписывать явный вид нормировочной констан-
ты
C
.
В дальнейшем нам понадобится асимптотический вид (2.27) вдали
от точек поворота (
|
ξ
|
1
), который может быть получен из известных
асимптотических выражений для функций Бесселя:
при
ξ
→ −∞
Φ(
ξ
)
'
C
2
|
ξ
|
1
/
4
exp
−
2
3
|
ξ
|
3
/
2
;
при
ξ
→
+
∞
Φ(
ξ
)
'
C
ξ
1
/
4
sin
2
3
ξ
3
/
2
+
π
4
.
2.4.
Момент количества движения (момент импуль-
са)
Трехмерное движение в микромире, как и в классической механике,
не всегда можно свести к трем независимым одномерным движениям.
В микромире трехмерное движение имеет некоторые качественные от-
личия от классической механики. Его изучение начнем с момента ко-
личества движения.
Момент количества движения материальной точки в классической
механике выражается через координату и импульс соотношением
L
= [
r
×
p
]
.
В квантовой механике соответствующая величина называется также
орбитальным моментом, и ей соответствует эрмитов оператор
ˆ
L
= [
r
×
ˆ
p
]
.
(2.28)
В квантовой механике невозможно указать определенные значения
L
ввиду совместной неизмеримости его декартовых компонент:
[ ˆ
L
x
,
ˆ
L
y
] = i
}
ˆ
L
z
;
[ ˆ
L
y
,
ˆ
L
z
] = i
}
ˆ
L
x
;
[ ˆ
L
z
,
ˆ
L
x
] = i
}
ˆ
L
y
.
63
Совместно измеримыми здесь оказываются лишь
L
2
и проекция
L
на выделенное направление, например,
L
z
. Собственные значения
ˆ
L
z
квантуются и равны целому числу постоянных Планка:
L
z
=
m
}
,
m
= 0
,
±
1
, . . .
. Соответствующие собственные функции также извест-
ны в полярных координатах (см. (1.50)). Ниже мы рассмотрим задачу
нахождения определенных значений
L
2
.
Рассмотрение удобно провести в сферических координатах
(
r, θ, ϕ
)
,
связанных с декартовыми известными соотношениями:
x
=
r
sin
θ
cos
ϕ
;
y
=
r
sin
θ
sin
ϕ
;
z
=
r
cos
θ,
где
r
>
0;
0
6
ϕ
6
2
π
;
0
6
θ
6
π.
В сферических координатах оператор орбитального момента содержит
только угловые переменные:
ˆ
L
z
=
−
i
}
∂
∂ϕ
;
(2.29)
ˆ
L
2
=
−
}
2
∇
2
θϕ
=
−
}
2
1
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
,
(2.30)
где
∇
2
θϕ
— угловая часть оператора Лапласа.
Запишем уравнение для собственных функций и собственных зна-
чений оператора
ˆ
L
2
в сферических координатах:
−
}
2
1
sin
θ
∂
∂θ
sin
θ
∂
∂θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂ϕ
2
Ψ(
θ, ϕ
) = (
L
2
)Ψ(
θ, ϕ
)
.
(2.31)
Собственное значение здесь следует понимать как единый символ, а не
«
L
в квадрате». Поэтому оно взято в скобки.
Граничные условия к уравнению (2.31) сводятся к периодичности
(для обеспечения однозначности):
Ψ(
θ, ϕ
) = Ψ(
θ, ϕ
+ 2
π
);
Ψ(
θ, ϕ
) = Ψ(
θ
+
π, ϕ
)
.
(2.32)
Условие однозначности требует
регулярности
Ψ(
θ, ϕ
)
в особых точках
θ
= 0
, π
.
Решения уравнения (2.31) целесообразно искать с учетом опреде-
ленных значений
L
z
вследствие его совместной измеримости с
L
2
, т. е.
в факторизованном виде
Ψ(
θ, ϕ
) = Ψ
m
l
(
θ, ϕ
) = Θ
m
l
(
θ
) e
i
m
l
ϕ
,
(2.33)
где
m
l
— так называемое
магнитное квантовое число
, соответствующее
значению
L
z
=
m
l
}
.
64
Подстановка (2.33) в (2.31) приводит к обыкновенному дифферен-
циальному уравнению для
Θ(
θ
)
:
1
sin
θ
d
d
θ
sin
θ
dΘ
m
l
d
θ
−
m
2
l
sin
2
θ
Θ
m
l
(
θ
) +
λ
Θ
m
l
(
θ
) = 0
,
(2.34)
где
λ
= (
L
2
)
/
}
2
.
(2.35)
Заменой переменных
t
= cos
θ
(при этом из требования периодичности
по
θ
получаем, что
sin
θ
= +
√
1
−
t
2
) это уравнение преобразуем к виду:
d
d
t
(1
−
t
2
)
d
d
t
−
m
2
l
1
−
t
2
+
λ
Q
m
l
(
t
) = 0
,
(2.36)
где
Q
m
l
(
t
) = Θ
m
l
(
θ
)
,
|
t
|
6
1
. Непрерывность его решений следует из
непрерывности коэффициентов при
Θ
m
l
(
t
)
.
Уравнение (2.36) имеет регулярные в особых точках
t
=
±
1
решения
при дискретных значениях
λ
:
λ
=
λ
l
=
l
(
l
+ 1)
,
где
l
=
|
m
l
|
,
|
m
l
|
+ 1
, . . .
Это присоединенные функции Лежандра
P
|
m
l
|
l
(
t
)
(см. приложение Д).
Собственные значения
L
2
выражаются через
λ
в соответствии с
(2.35):
(
L
2
)
l
=
}
2
l
(
l
+ 1)
,
l
= 0
,
1
, . . .
(2.37)
Квантовое число
l
называется
орбитальным
.
Нормированные на единичной сфере собственные функции
L
2
на-
зываются
сферическими функциями
:
Y
lm
l
(
θ, ϕ
) =
s
2
l
+ 1
4
π
(
l
− |
m
l
|
)!
(
l
+
|
m
l
|
)!
P
|
m
l
|
l
(cos
θ
) e
i
m
l
ϕ
.
(2.38)
При заданном орбитальном квантовом числе
l
магнитное квантовое
число
m
l
может принимать значения
0
,
±
1
, . . . ,
±
l
. Собственные зна-
чения
ˆ
L
2
не зависят от магнитного квантового числа
, поэтому они
будут
вырожденными
с кратностью
g
l
= 2
l
+ 1
.
(2.39)
Магнитное квантовое число
m
соответствует определенным значени-
ям
L
z
. Поэтому собственные значения
ˆ
L
2
вырождены по величине
L
z
.
65