ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 958
Скачиваний: 1
Данный феномен есть следствие инвариантности оператора
ˆ
L
2
относи-
тельно поворотов системы координат вокруг начала координат.
Состояния с определенными значениями
L
2
обладают и определен-
ной четностью:
Y
lm
(
π
−
θ, π
+
ϕ
) = (
−
1)
l
Y
lm
(
θ, ϕ
)
,
т. е.
P
l
= (
−
1)
l
.
(2.40)
Таким образом, величина четности полностью определяется величиной
L
2
через орбитальное квантовое число.
Сферические функции образуют на единичной сфере полную орто-
нормированную систему — базис:
Z
2
π
0
d
ϕ
Z
π
0
Y
∗
l
0
m
0
(
θ, ϕ
)
Y
lm
(
θ, ϕ
) sin
θ
d
θ
=
δ
l
0
l
δ
m
0
m
;
(2.41)
∞
X
l
=0
l
X
m
=
−
l
Y
∗
lm
(
θ
0
, ϕ
0
)
Y
lm
(
θ, ϕ
) =
δ
(cos
θ
0
−
cos
θ
)
δ
(
ϕ
0
−
ϕ
)
.
(2.42)
Приведем явный вид некоторых сферических функций, часто ис-
пользуемых в приложениях:
Y
00
(
θ, ϕ
) =
1
√
4
π
;
Y
10
(
θ, ϕ
) =
r
3
4
π
cos
θ
;
Y
1
±
1
(
θ, ϕ
) =
∓
r
3
8
π
sin
θ
e
±
i
ϕ
.
(2.43)
Отметим следующий интересный факт: при
|
m
|
=
l
равенство
(
L
2
)
l
= max
L
2
z
=
}
2
l
2
, очевидное из классических соображений,
не
выполняется
! Это прямое следствие совместной неизмеримости декар-
товых компонент
L
. Невозможно подобрать такое состояние, в кото-
ром вектор
L
был бы ориентирован
строго
вдоль оси
Oz
(рис. 2.5).
В противном случае это привело бы к нулевым (т. е.
вполне опреде-
ленным
) значениям проекций
L
x
и
L
y
наряду с
L
z
, что невозможно
в силу их совместной неизмеримости. Таким образом, в любом состо-
янии вектор
L
с
ненулевой
вероятностью отклоняется от оси
Oz
, так
что
h
L
2
x
i
=
h
L
2
y
i
=
}
2
l/
2
. Это и есть
наглядное проявление совместной
неизмеримости проекций
L
. С ростом орбитального квантового числа
такая неопределенность сказывается все слабее:
(
L
2
−
L
2
z
)
/L
2
∼
l
−
1
.
В классическом пределе (
}
→
0
) этот эффект становится исчезающе
малым.
Квантовая теория углового момента чрезвычайно удобна для изу-
чения движения в центральном поле.
66
2.5.
Общие свойства движения в центральном поле
Центральным
называется поле, в котором потенциальная энергия
частицы
зависит только от расстояния до силового центра и не за-
висит от направления радиуса вектора
r
:
V
(
r
) =
V
(
|
r
|
)
.
Задача о движении микрочастицы
Рис. 2.5.
в постоянном центральном поле явля-
ется трехмерной и требует решения
стационарного уравнения Шрединге-
ра в частных производных. Однако
сферическая симметрия гамильтониа-
на позволяет кардинально упростить
задачу.
Исследуем движение точечной ча-
стицы с массой
m
в центральном по-
ле. Гамильтониан удобно представить
в сферических координатах. Вспоми-
ная вид оператора Лапласа в сфери-
ческой системе координат, имеем:
ˆ
H
=
−
}
2
2
m
1
r
2
∂
∂r
r
2
∂
∂r
+
ˆ
L
2
2
mr
2
+
V
(
r
)
.
(2.44)
Данная форма гамильтониана представляется наиболее удобной для
исследования общих свойств движения в центральном поле.
Прежде всего, найдем интегралы состояния.
Полная энергия
E
яв-
ляется интегралом состояния для всякого стационарного состояния. В
сферической системе координат операторы
ˆ
L
2
и
ˆ
L
z
действуют толь-
ко на
угловые переменные
(см. (2.29), (2.30)). Поэтому
специфически-
ми для центрального поля
интегралами состояния будут также
L
2
и
L
z
вследствие коммутации соответствующих операторов с гамильто-
нианом (2.44). Таким образом, в центральном поле имеется три инте-
грала состояния.Число указанных интегралов состояния равно числу
степеней свободы частицы. Все они независимы и измеримы совмест-
но. Поэтому данные интегралы состояния образуют
полный набор
. Их
достаточно для максимально полного описания движения частицы в
центральном поле.
Стационарное уравнение Шредингера с гамильтонианом (2.44)
ˆ
Hψ
(
r, θ, ϕ
) =
Eψ
(
r, θ, ϕ
)
(2.45)
является трехмерным дифференциальным уравнением в частных про-
изводных. Стандартным математическим методом разделения пере-
менных все три переменные можно разделить. Здесь, однако, более
67
удобным будет отделение угловых переменных из
физических сообра-
жений
.
Поскольку операторы (2.44),
ˆ
L
2
и
ˆ
L
z
коммутируют друг с другом,
у них есть общие собственные функции. Поэтому будем искать такие
решения уравнения Шредингера (2.45), которые автоматически удовле-
творяют и уравнениям (2.31), (1.50). Так как
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
— собственные
функции и для
ˆ
L
2
, и для
ˆ
L
z
, решение (2.45) следует искать в виде:
ψ
(
r, θ, ϕ
) =
1
r
R
(
r
)
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
,
(2.46)
где
R
(
r
)
— неизвестная
радиальная волновая функция
. Множитель
r
−
1
введен для дальнейшего удобства (исключения первой производной в
уравнении для
R
(
r
)
). При выборе функции
ψ
в виде (2.46) автомати-
чески фиксируются определенные значения
L
2
и
L
z
.
После подстановки (2.46) в (2.45) и преобразований с учетом (2.31)
приходим к
радиальному уравнению Шредингера
для функции
R
(
r
)
:
−
}
2
2
m
d
2
d
r
2
R
El
(
r
) +
}
2
2
m
l
(
l
+ 1)
r
2
+
V
(
r
)
R
El
(
r
) =
ER
El
(
r
)
.
(2.47)
По своей структуре оно является уравнением Шредингера для
более
простого одномерного движения
этой частицы в поле с эффективной
потенциальной энергией
V
eff
(
r
) =
}
2
2
m
l
(
l
+ 1)
r
2
+
V
(
r
)
,
(2.48)
отличающейся от
V
(
r
)
дополнительным центробежным отталкиванием
(рис. 2.6).
Эффективный потенциал (2.48) не
Рис. 2.6.
зависит от магнитного квантового
числа
m
, поэтому радиальная вол-
новая функция в уравнении (2.47)
определяется только
полной энерги-
ей и квадратом орбитального момен-
та, но не его проекцией
(в уравнении
(2.47) к функции добавлены соответ-
ствующие квантовые числа). Полная
энергия, в свою очередь, тоже не бу-
дет зависеть от магнитного квантово-
го числа, так что
в центральном поле все стационарные состояния
68
оказываются всегда вырожденными по величине
L
z
с кратностью
2
l
+ 1
.
Важная роль величины
L
2
делает целесообразной классификацию
стационарных состояний в центральном поле по величине орбитально-
го квантового числа
l
(такие состояния называют иногда
орбиталями
).
При этом используются
спектроскопические обозначения
. Так, напри-
мер, состояния с
l
= 0
называются s-состояниями, состояния с
l
= 1
—
p-состояниями и т.д. (см. табл. 2.1). Данные символы являются пер-
выми буквами соответствующих английских терминов, используемых
в описании оптических спектров.
Таблица 2.1
Спектроскопические символы
l
0
1
2
3
4
. . .
символ
s
p
d
f
g
. . .
расшифровка
sharp
principal
diffuse
fundamental
–
–
Все дальнейшее рассмотрение базируется теперь на уже известных
свойствах одномерного движения.
Сформулируем, например, граничные условия к уравнению (2.47).
Его особой точкой является
r
= 0
. Поэтому для ограниченности полной
волновой функции
ψ
(
r, θ, ϕ
)
в начале координат необходимо потребо-
вать выполнение
первого
граничного условия (см. формулу (2.46), где
в знаменателе стоит
r
)
R
El
(0) = 0
.
(2.49)
Данный факт согласуется с наличием центробежного отталкивания.
Второе
граничное условие формулируется для случая
r
→ ∞
и
определяется характером одномерного движения. В случае
финитного
движения частица не может уйти на бесконечность, так что
R
El
(
r
)
|
r
→∞
= 0
.
(2.50)
В случае
инфинитного
движения условие (2.50) заменяется условием
конечности
, т.е
ограниченности
решения при всех
r
.
Структура
энергетического спектра
определяется как видом потен-
циала
V
(
r
)
, так и характером движения (финитное или инфинитное).
Условие ортонормировки для радиальных функций
R
El
(
r
)
наиболее
просто формулируется опять же с использованием аналогии эффектив-
ного потенциала (2.48) с потенциалом
одномерного движения
. Исходя
69
из свойств радиального уравнения Шредингера (2.47), получаем для
финитного движения (дискретного спектра энергий)
Z
∞
0
R
E
n
0
l
(
r
)
R
E
n
l
(
r
) d
r
=
δ
E
n
0
E
n
(2.51)
(в этом случае функции можно выбрать вещественными); для инфи-
нитного движения (непрерывный спектр энергий)
2
Z
∞
0
R
∗
E
0
l
(
r
)
R
El
(
r
) d
r
=
δ
(
E
0
−
E
)
.
(2.52)
Заметим также, что гамильтониан (2.44) не изменяется при
инвер-
сии
системы координат (
r
→
r
,
θ
→
π
−
θ
,
ϕ
→
π
+
ϕ
), так что ин-
тегралом состояния в центральном поле будет и
четность
. Однако,
для заданного значения квадрата момента импульса четность не явля-
ется независимой величиной, а однозначно определяется орбитальным
квантовым числом
l
(см. (2.40)).
Таким образом, решение квантовомеханической задачи в централь-
ном поле базируется на той же идее, что и в соответствующей клас-
сической задаче: вместо трехмерного исследуется более простое одно-
мерное движение в эффективном потенциале. Наиболее существенное
физическое различие состоит в том, что значения квантовых интегра-
лов состояния образуют дискретный набор чисел.
Мы уже знакомы с волновой функцией свободного движения с опреде-
ленным импульсом. Это волна де Бройля (1.4). Вместе с тем, существуют
также состояния свободного движения с определенными энергией,
L
2
и
L
z
.
Волновые функции таких состояний имеют следующий вид:
Ψ
Elm
l
(
r
) =
Aj
l
(
kr
)
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
,
где
k
=
p/
}
,
p
=
√
2
mE
,
j
l
(
x
)
— сферическая функция Бесселя (см. приложе-
ние Г). Состояния с определенным импульсом и состояния с определенными
E
,
L
2
и
L
z
связаны друг с другом соотношением:
e
i
pr
/
}
= 4
π
X
l m
l
i
l
j
l
(
kr
)
Y
∗
lm
l
(
θ
p
, ϕ
p
)
Y
lm
l
(
θ, ϕ
)
,
где углы
θ
p
,
ϕ
p
задают направление вектора
p
. Данное соотношение наглядно
иллюстрирует совместную неизмеримость импульса и квадрата орбитального
момента.
2
Обратим внимание, что нормируется функция
R
El
(
r
)
/r
с весом
r
2
.
70