ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 957
Скачиваний: 1
2.6.
Задача двух тел
Рассмотрим две материальные точки с массами
M
1
и
M
2
в силовом
поле с потенциальной энергией
V
(
r
1
,
r
2
)
(включающей и взаимодей-
ствие частиц друг с другом). В общем случае в стационарном уравне-
нии Шредингера для такой системы
−
}
2
2
M
1
∇
2
1
Ψ(
r
1
,
r
2
)
−
}
2
2
M
2
∇
2
2
Ψ(
r
1
,
r
2
) +
V
(
r
1
,
r
2
)Ψ(
r
1
,
r
2
) =
E
Ψ(
r
1
,
r
2
)
,
где
∇
1
≡
∇
r
1
,
∇
2
≡
∇
r
2
, переменные
r
1
и
r
2
разделить невозможно.
Если же частицы взаимодействуют
только друг с другом
, т. е. внешние
силы
отсутствуют
, то
V
(
r
1
,
r
2
)
зависит только от расстояния между
частицами,
V
(
r
1
,
r
2
) =
V
(
r
1
−
r
2
)
,
(2.53)
и ситуация существенно упрощается. Исследуем именно этот случай.
Рассмотрим двухчастичное уравнение Шредингера с потенциалом
(2.53):
−
}
2
2
M
1
∇
2
1
Ψ(
r
1
,
r
2
)
−
}
2
2
M
2
∇
2
2
Ψ(
r
1
,
r
2
) +
V
(
r
1
−
r
2
)Ψ(
r
1
,
r
2
) =
=
E
Ψ(
r
1
,
r
2
)
.
(2.54)
В нем удобно перейти к новым переменным
r
,
R
, связанным с
r
1
,
r
2
соотношениями:
r
=
r
1
−
r
2
,
R
=
M
1
r
1
+
M
2
r
2
M
1
+
M
2
.
(2.55)
В классической механике
r
является относительной
координатой
ма-
териальных точек,
R
— координатой их
центра масс
; преобразование
(2.55) называется переходом в
систему центра масс
.
Запишем уравнение (2.54) в системе центра масс. Для этого выразим
операторы
∇
1
и
∇
2
через
∇
r
и
∇
R
:
∂
∂
r
1
=
∂
r
∂
r
1
∂
∂
r
+
∂
R
∂
r
1
∂
∂
R
(2.55)
=
∂
∂
r
+
M
1
M
1
+
M
2
∂
∂
R
,
∂
∂
r
2
=
∂
r
∂
r
2
∂
∂
r
+
∂
R
∂
r
2
∂
∂
R
(2.55)
=
−
∂
∂
r
+
M
2
M
1
+
M
2
∂
∂
R
,
откуда, в силу независимости частных производных от порядка диф-
ференцирования, имеем:
∇
2
1
=
∂
2
∂
r
2
1
=
∂
2
∂
r
2
+
2
M
1
M
1
+
M
2
∂
2
∂
r
∂
R
+
M
1
M
1
+
M
2
2
∂
2
∂
R
2
,
∇
2
2
=
∂
2
∂
r
2
2
=
∂
2
∂
r
2
−
2
M
2
M
1
+
M
2
∂
2
∂
r
∂
R
+
M
2
M
1
+
M
2
2
∂
2
∂
R
2
.
(2.56)
71
Будем искать решение уравнения (2.54) в виде
Ψ(
r
1
,
r
2
) =
ψ
(
r
)Φ(
R
)
.
(2.57)
После подстановки (2.56) и (2.57) в (2.54) и деления обеих частей
уравнения на (2.57) получаем уравнение с
разделенными
переменны-
ми
r
и
R
:
−
}
2
2
m
∇
2
r
ψ
(
r
)
ψ
(
r
)
+
V
(
r
) =
}
2
2
M
∇
2
R
Φ(
R
)
Φ(
R
)
−
E,
(2.58)
где
M
=
M
1
+
M
2
;
m
=
M
1
M
2
M
1
+
M
2
(2.59)
— соответственно
полная
и
приведенная
массы частиц. Независимость
координат
r
и
R
приводит к тому, что обе части уравнения (2.58) об-
ращаются в некоторую константу
ε
. В результате приходим к двум
независимым
уравнениям для функций
ψ
(
r
)
и
Φ(
R
)
:
−
}
2
2
m
∇
2
r
ψ
(
r
) +
V
(
r
)
ψ
(
r
) =
εψ
(
r
);
(2.60)
−
}
2
2
M
∇
2
R
Φ(
R
) =
ε
0
Φ(
R
);
(2.61)
E
=
ε
+
ε
0
.
Мы получаем существенное упрощение задачи по сравнению с (2.54).
Дадим интерпретацию уравнений (2.60), (2.61). Уравнение (2.60)
является
одночастичным
стационарным уравнением Шредингера для
фиктивной
частицы с массой
µ
(уравнение движения частицы с приве-
денной массой). Уравнение (2.61) — это тоже
одночастичное
стационар-
ное уравнение Шредингера, но для
свободного
движения
фиктивной
частицы с массой
M
(уравнение движения центра масс, или
переносно-
го
движения). Таким образом, в квантовой механике задача двух тел
решается в полной аналогии с задачей двух тел в классической механи-
ке, т. е. переходом из лабораторной системы отсчета в систему центра
масс, только вместо уравнения Ньютона используется уравнение Шре-
дингера.
Отметим в заключение, что если массы частиц различаются суще-
ственно (например,
M
1
M
2
), то влияние легкой частицы на движение
тяжелой будет пренебрежимо малым:
m
≈
M
1
и
M
≈
M
2
.
2.7.
Движение в кулоновском поле притяжения.
Атом водорода
Рассмотрим движение двух точечных частиц: электрона с массой
m
e
и зарядом
−
e
(
e >
0
) и ядра с массой
M
и зарядом
+
Ze
. Они
72
взаимодействуют по закону Кулона:
V
(
r
) =
−
Ze
2
r
,
(2.62)
где
r
— относительное расстояние. Для исследования такого движения
можно использовать результаты, полученные в предыдущих разделах.
После подстановки (2.46) в (2.45) и преобразований с учетом (2.31) при-
ходим к
радиальному уравнению Шредингера
(см. (2.47)):
−
}
2
2
m
d
2
d
r
2
R
El
(
r
) +
}
2
2
m
l
(
l
+ 1)
r
2
−
Ze
2
r
R
El
(
r
) =
ER
El
(
r
)
,
(2.63)
где
l
= 0
,
1
, . . .
Уравнение (2.63) описывает одномерное движение в эффективном
потенциале
V
eff
(
r
) =
−
Ze
2
r
+
}
2
l
(
l
+ 1)
2
mr
2
.
(2.64)
График
V
eff
(
r
)
дается на рис. 2.7.
Рис. 2.7.
При
E <
0
движение будет финитным, т. к. электрон находится
в «потенциальной яме», образованной возрастающим кулоновским по-
тенциалом и квадратично убывающим центробежным отталкиванием;
при
E >
0
— инфинитным. Мы будем рассматривать случай финитного
движения, т. е. связанных состояний с дискретным спектром энергии.
Таким образом, электрон и атомное ядро с зарядом
Z
образуют связан-
ную атомную систему с одним электроном: случай
Z
= 1
соответствует
атому водорода,
Z
= 2
— иону He
+
,
Z
= 3
— иону Li
2+
и т.д. В дальней-
шем мы будем использовать также понятие «водородоподобный ион».
Будем искать энергии стационарных состояний и волновые функции
относительного движения в водородоподобном ионе. Для связанных со-
стояний граничные условия к уравнению (2.63) даются выражениями
(2.49) и (2.50). Неизвестными являются
E
и
R
El
(
r
)
.
73
Для решения уравнения (2.63) используем тот же самый метод, что
и в случае осциллятора. Прежде всего перейдем в (2.63) к безразмер-
ной координате
ρ
=
rZ/a
0
(константа
a
0
с размерностью длины будет
определена позднее; это «естественная» единица длины для атома, поз-
воляющая существенно упростить все математические выкладки):
d
2
R
εl
d
ρ
2
−
l
(
l
+ 1)
ρ
2
R
εl
(
ρ
) +
ma
0
e
2
}
2
| {z }
1
2
ρ
R
εl
(
ρ
) + 2
ma
2
0
}
2
Z
2
E
| {z }
ε
R
εl
(
ρ
) = 0
,
где
R
εl
(
ρ
) =
R
El
(
r
)
. Константу
a
0
определим, потребовав обращения
в единицу множителя перед
2
/ρ
. Если в качестве ядра рассматривать
протон, то приведенная масса
m
будет слабо отличаться от массы элек-
трона (
m
p
/m
e
≈
1836
). Для электрона
a
0
= 0
,
529
˚
A — так называемый
боровский радиус
, или
атомная единица длины
. Соответственно вели-
чина
}
2
/ma
2
0
=
e
2
/a
0
= 27
,
24
эВ называется
атомной единицей энер-
гии
. Постоянный коэффициент перед
R
εl
(
ρ
)
тоже будет безразмерным.
Обозначим его
ε
. Таким образом, в безразмерных переменных
R
εl
(
ρ
) =
R
El
(
r
);
ρ
=
r
Za
0
;
a
0
=
}
2
me
2
;
ε
=
E
Z
2
E
0
;
E
0
=
e
2
a
0
(2.65)
краевая задача (2.63), (2.49), (2.50) принимает вид:
d
2
R
εl
d
ρ
2
−
l
(
l
+ 1)
ρ
2
R
εl
(
ρ
) +
2
ρ
R
εl
(
ρ
) + 2
ε
R
εl
(
ρ
) = 0;
(2.66)
R
εl
(0) = 0;
(2.67)
R
εl
(
∞
) = 0
.
(2.68)
Неизвестными в ней являются
ε
и
R
εl
(
ρ
)
, связанные с
E
и
R
El
(
r
)
со-
отношениями (2.65). Решение задачи всегда будет удовлетворять стан-
дартному условию непрерывности вследствие непрерывности коэффи-
циентов уравнения (2.66).
Исследуем решение уравнения (2.66) в особых точках
ρ
= 0
,
∞
.
При
ρ
1
в (2.66) достаточно ограничиться центробежным слагае-
мым:
d
2
R
εl
d
ρ
2
−
l
(
l
+ 1)
ρ
2
R
εl
(
ρ
) = 0
(2.69)
и искать решение (2.69) в виде
R
εl
(
ρ
) =
ρ
λ
с неизвестным
λ
. После
соответствующей подстановки в (2.69) находим:
λ
=
l
+ 1
,
−
l.
74
Второе решение не удовлетворяет граничному условию (2.67) и должно
быть исключено. Таким образом, в окрестности нуля решение уравне-
ние (2.66) имеет вид:
R
εl
(
ρ
)
∼
ρ
l
+1
.
(2.70)
При
ρ
1
в (2.66) можно пренебречь и кулоновским, и центробеж-
ным слагаемыми:
d
2
R
εl
d
ρ
2
+ 2
ε
R
εl
(
ρ
) = 0
(2.71)
и искать решение (2.71) в виде
R
εl
(
ρ
) = e
−
αρ
с неизвестным
α
. После
соответствующей подстановки в (2.71) находим
α
=
√
−
2
ε.
(2.72)
Решение с
α
=
−
√
−
2
ε
необходимо исключить, так как оно противоре-
чит граничному условию (2.68) (напомним, что
ε <
0
).
Таким образом, решение уравнения (2.66) следует искать в виде:
R
εl
(
ρ
) =
v
(
ρ
) e
−
αρ
,
(2.73)
где неизвестная функция
v
(
ρ
)
, с одной стороны, при
ρ
1
должна
иметь вид (2.70), а с другой, вследствие (2.68), должна удовлетворять
условию:
v
(
ρ
) e
−
αρ
ρ
→∞
→
0
.
(2.74)
Функцию
v
(
ρ
)
удобно представить в виде ряда
v
(
ρ
) =
∞
X
ν
=0
β
ν
ρ
ν
+
l
+1
(2.75)
с неизвестными коэффициентами
β
ν
.
Подстановка (2.73) и (2.75) в (2.66) приводит к следующему рекур-
рентному соотношению для коэффициентов
β
ν
:
β
ν
+1
=
2[
α
(
ν
+
l
+ 1)
−
1]
(
ν
+
l
+ 2)(
ν
+
l
+ 1)
−
l
(
l
+ 1)
β
ν
,
(2.76)
позволяющему выразить все слагаемые ряда (2.75) через произвольное
β
0
, которое может быть определено из условия нормировки.
При
ν
1
β
ν
β
ν
−
1
'
2
α
ν
.
Это означает, что при произвольном
α
ряд (2.75) ведет себя как
e
2
αρ
(проверить самостоятельно!), что противоречит граничному условию
75