ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 956
Скачиваний: 1
Поскольку число собственных значений оператора обычно превышает
единицу, к собственным значениям и собственным функциям в уравне-
нии (1.49) добавляются нумерующие их индексы (в основном, в случае
дискретного спектра) —
квантовые числа
. Они однозначно соответству-
ют собственным значениям. Во многих случаях, например, в соотноше-
нии (1.54), вместо значений
F
n
фигурируют лишь квантовые числа
n
,
n
0
:
δ
F
n
0
F
n
≡
δ
n
0
n
.
Приведенное выше доказательство ортогональности неприменимо
к собственным функциям
Ψ
nα
(
ξ
) (
α
= 1
,
2
, . . . , f
)
, соответствующим
f
-кратно вырожденному собственному значению
F
n
. Поэтому, вообще
говоря, эти функции
не обязаны быть ортогональными друг другу
. Тем
не менее и их можно ортогонализовать — построить
f
различных вза-
имно ортогональных и нормированных линейных комбинаций (проце-
дура Шмидта, известная из курса линейной алгебры).
Таким образом, мы будем считать, что всякий линейный эрми-
тов оператор имеет ортонормированную систему собственных функций
Ψ
nα
(
ξ
)
:
h
Ψ
nα
|
Ψ
n
0
α
0
i
=
δ
nn
0
δ
αα
0
.
3.
Собственные функции эрмитова оператора образуют полную
систему
в пространстве
L
2
. Полнота означает разложимость любой
функции
Ψ(
ξ
)
из
L
2
в
обобщенный ряд Фурье
по собственным функци-
ям оператора
ˆ
F
:
Ψ(
ξ
) =
X
n
c
n
Ψ
n
(
ξ
)
.
(1.55)
Если справедливо разложение (1.55), то формула для
c
n
получается из
условия ортонормировки (1.54) (проверить самостоятельно!):
c
n
=
h
Ψ
n
|
Ψ
i
=
Z
Ψ
∗
n
(
ξ
)Ψ(
ξ
) d
ξ.
(1.56)
Из курса линейной алгебры известно, что полная ортонормирован-
ная система элементов данного пространства называется его
базисом
.
Поэтому система собственных функций линейного эрмитова оператора
ˆ
F
иногда называется
базисом
пространства
L
2
, порождаемым операто-
ром
ˆ
F
.
Строгое доказательство полноты системы собственных функций эр-
митова оператора (т. е. возможности однозначного представления
лю-
бой
функции
Ψ(
ξ
)
из
L
2
в виде ряда (1.55)) дается в курсе функцио-
нального анализа. Математически условие полноты системы
{
Ψ
n
(
ξ
)
}
можно записать в двух видах. Во-первых, если справедливо разложе-
ние (1.55)), то легко получить следующее условие (аналогичное усло-
вию замкнутости в теории рядов Фурье) для всякой функции
Ψ(
ξ
)
:
31
h
Ψ
|
Ψ
i
=
X
n
0
n
c
∗
n
0
c
n
h
Ψ
n
0
|
Ψ
n
i
| {z }
δ
n
0
n
=
X
n
|
c
n
|
2
.
(1.57)
Во-вторых, из соотношения (1.57) можно получить условие полно-
ты системы функций
Ψ
n
(
ξ
)
и в следующем виде, не содержащем про-
извольной функции
Ψ(
ξ
)
:
X
n
Ψ
n
(
ξ
)Ψ
∗
n
(
ξ
0
) =
δ
(
ξ
−
ξ
0
)
.
(1.58)
Для доказательства перепишем (1.57) с учетом формулы (1.56) для
c
n
:
X
n
|
c
n
|
2
=
X
n
c
∗
n
c
n
=
X
n
Z
Ψ
n
(
ξ
)Ψ
∗
(
ξ
) d
ξ
Z
Ψ
∗
n
(
ξ
0
)Ψ(
ξ
0
) d
ξ
0
Z (Z
Ψ
∗
(
ξ
)
"
X
n
Ψ
n
(
ξ
)Ψ
∗
n
(
ξ
0
)
#
d
ξ
)
Ψ(
ξ
0
) d
ξ
0
=
Z
Ψ
∗
(
ξ
0
)Ψ(
ξ
0
) d
ξ
0
.
(1.59)
Из последнего равенства в этом соотношении следует
Ψ
∗
(
ξ
0
) =
Z
Ψ
∗
(
ξ
)
"
X
n
Ψ
n
(
ξ
)Ψ
∗
n
(
ξ
0
)
#
d
ξ ,
что, в соответствии с основным свойством
δ
-функции, и дает условие
полноты в форме (1.58). Можно также проверить и обратное утвер-
ждение (самостоятельно!): из условия (1.58) следует справедливость
соотношения (1.57) для любой функции
Ψ(
ξ
)
из
L
2
.
Возвращаясь к квантовой теории, покажем, что коэффициентам
разложения в (1.55) можно придать важный
физический смысл
.
Если функция
Ψ(
ξ
)
в левой части (1.55) нормирована на единицу,
то из условия полноты (1.57) следует «условие нормировки» коэффи-
циентов:
X
n
|
c
n
|
2
= 1
.
(1.60)
Оно полностью идентично соответствующему соотношению для коэф-
фициентов разложения (1.22) по волнам де Бройля. Напомним, что
в разделе «Средние значения координаты и импульса» величине
|
c
k
|
2
придавался смысл вероятности получения значения импульса
p
=
}
k
в
состоянии
Ψ(
r
)
. Обобщим теперь данное утверждение на
произвольную
величину
F
:
|
c
n
|
2
есть вероятность получения значения
F
=
F
n
при
32
измерении
F
в состоянии
Ψ(
ξ
)
. Смысл этого утверждения становится
совершенно понятным, если (учитывая полноту системы собственных
функций оператора
ˆ
F
) представить среднее значение величины
F
в
состоянии
Ψ(
r
)
в виде:
h
F
i
=
h
Ψ
|
ˆ
F
|
Ψ
i
=
X
n
|
c
n
|
2
F
n
.
(1.61)
Условие (1.60) соответствует условию нормировки в теории вероятно-
стей, а (1.61) — определению математического ожидания дискретной
случайной величины
F
. Так решается вопрос о вероятности получения
того или иного определенного значения величины
F
при ее измерении
в состоянии
Ψ(
ξ
)
.
1.9.
Оператор с непрерывным спектром собствен-
ных значений
Переформулируем утверждения предыдущего раздела для операто-
ра с
дискретным
спектром, на случай оператора с
непрерывным
спек-
тром:
ˆ
F
Ψ
F
(
ξ
) =
F
Ψ
F
(
ξ
)
.
Заметим, что роль квантовых чисел здесь играет величина
F
, принима-
ющая непрерывный ряд значений. Иногда используется и другое обо-
значение собственных функций:
Ψ
F
(
ξ
)
≡
Ψ(
F, ξ
)
.
Утверждение о вещественности собственных значений по-прежнему
остается в силе. Соотношения же ортонормировки и полноты требуют
уточнения. Действительно, как можно видеть на примере оператора
ˆ
p
x
(см. (1.51)), в случае
p
0
x
=
p
x
нормировочный интеграл в (1.54) расхо-
дится:
Z
+
∞
−∞
Ψ
∗
p
x
(
x
)Ψ
p
x
(
x
) d
x
=
|
C
|
2
Z
+
∞
−∞
d
x
→ ∞
.
Физически причина данной расходимости заключается в том, что ситу-
ация с бесконечными пределами интегрирования является в некоторой
степени искусственной, поскольку реальное движение всегда происхо-
дит в конечной области пространства. С такой проблемой мы уже стал-
кивались при нормировке волн де Бройля. Для ее решения мы ограни-
чили область движения частицы. Здесь же мы изложим другой способ,
позволяющий обойти трудности с расходимостями при анализе волно-
вых функций непрерывного спектра.
Поскольку собственные функции эрмитова оператора с непрерыв-
ным спектром ненормируемы стандартным образом (хотя и конечны
33
во всем пространстве), они уже не принадлежат гильбертову простран-
ству
L
2
. Тем не менее, как показывается в функциональном анализе,
они по-прежнему образуют базис этого пространства, то есть всякая
нормируемая функция
Ψ(
ξ
)
может быть представлена в виде «обоб-
щенного интеграла Фурье», соответствующего замене суммирования в
разложении (1.55) на интегрирование по всем возможным значениям
F
:
Ψ(
ξ
) =
Z
c
F
Ψ
F
(
ξ
) d
F.
(1.62)
Соответственно математическая запись условия полноты системы
функций
Ψ
F
(
ξ
)
получается из (1.57) заменой
c
n
на
c
F
и интегриро-
ванием по
F
:
h
Ψ
|
Ψ
i ≡
Z
Ψ
∗
(
ξ
)Ψ(
ξ
) d
ξ
=
Z
|
c
F
|
2
d
F .
(1.63)
Если функция
Ψ(
ξ
)
нормированная, то из (1.63) следует «условие нор-
мировки» для коэффициентов
c
F
:
Z
|
c
F
|
2
d
F
=
Z
c
∗
F
c
F
d
F
= 1
.
(1.64)
Обобщение нормировочного условия (1.54) на случай состояний
непрерывного спектра можно получить, если переписать соотношение
(1.63) (с учетом (1.64)) в виде (после изменения порядка интегрирова-
ния):
Z
Ψ
∗
(
ξ
)Ψ(
ξ
) d
ξ
|
{z
}
1
(1.62)
=
ZZ Z
Ψ
∗
F
0
(
ξ
)Ψ
F
(
ξ
) d
ξ
c
∗
F
0
c
F
d
F
0
d
F
= 1
.
Отсюда видно, что для согласования с (1.64) необходимо, чтобы квад-
ратная скобка в этом выражении являлась дельта-функцией
δ
(
F
0
−
F
)
:
h
Ψ
F
0
|
Ψ
F
i
=
Z
Ψ
∗
F
0
(
ξ
)Ψ
F
(
ξ
) d
ξ
=
δ
(
F
0
−
F
)
.
(1.65)
Полученное соотношение обобщает (1.54) на случай состояний непре-
рывного спектра и называется
нормировкой на дельта-функцию
: хотя
интеграл от
|
Ψ
F
(
ξ
)
|
2
по
F
по-прежнему расходится, условие (1.65) поз-
воляет подобрать независящий от
ξ
коэффициент в
Ψ
F
(
ξ
)
так, чтобы
коэффициент при дельта-функции в (1.65) равнялся единице.
34
Существует и другое обоснование условия нормировки (1.65). Для непре-
рывно меняющейся величины физически бессмысленно говорить о ее
абсо-
лютно точном
значении
F
— следует говорить о ее значении в интервале
(
F, F
+ ∆
F
)
, где
∆
F
F
. Тогда вместо
Ψ
F
(
ξ
)
следует рассматривать
волно-
вые пакеты
:
∆Ψ
F
(
ξ
) =
Z
F
+∆
F
F
−
∆
F
Ψ
F
(
ξ
) d
F.
Они
локализованы
в пространстве и могут нормироваться как и в случае
финитного движения. П.А.М. Дирак показал, что в этом случае можно со-
хранить всю математику состояний дискретного спектра, если нормировать
Ψ
F
(
ξ
)
на
δ
-функцию. Для этого
δ
-функция и была введена.
С учетом (1.65) легко получить явный вид коэффициента
c
F
в раз-
ложении (1.62), умножая его на
Ψ
F
0
(
ξ
)
и интегрируя по
ξ
:
c
F
=
h
Ψ
F
|
Ψ
i
=
Z
Ψ
∗
F
(
ξ
)Ψ(
ξ
) d
ξ.
(1.66)
Здесь видна полная аналогия с формулой (1.56) для дискретного спек-
тра.
Полностью аналогично выводу соотношения (1.58) для случая дис-
кретного спектра (с заменой суммирования по
n
на интегрирование по
F
), для состояний непрерывного спектра условие полноты (1.63) также
можно переписать в эквивалентном виде на языке функций
Ψ
F
(
ξ
)
:
Z
Ψ
F
(
ξ
)Ψ
∗
F
(
ξ
0
)d
F
=
δ
(
ξ
−
ξ
0
)
.
(1.67)
В качестве иллюстрации покажем, как из (1.67) следует (1.63):
Z
|
c
F
|
2
d
F
=
Z
c
∗
F
c
F
d
F
=
=
ZZ
Ψ
∗
(
ξ
)Ψ(
ξ
0
)
Z
Ψ
F
(
ξ
)Ψ
∗
F
(
ξ
0
)d
F
d
ξ
d
ξ
0
=
Z
Ψ(
ξ
)Ψ
∗
(
ξ
) d
ξ .
Подобно
|
c
n
|
2
, величине
|
c
F
|
2
d
F
следует придать смысл вероятности
обнаружения величины
F
в интервале
[
F, F
+ d
F
]
при ее измерении в
состоянии
Ψ
, т. е.
|
c
F
|
2
есть плотность вероятности распределения
определенных значений
F
в состоянии
Ψ
.
Таким образом, для формального перехода от дискретного спектра
к непрерывному во всех соответствующих выражениях необходимо сде-
лать следующие замены:
F
n
→
F,
X
n
(
. . .
)
→
Z
(
. . .
) d
F,
δ
n
0
n
→
δ
(
F
0
−
F
)
.
35