ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3460
Скачиваний: 14
52
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Операцию умножения в
R
2
определим по правилу
xy
= (
x
1
y
1
−
x
2
y
2
, x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
.
Таким образом, на
R
2
заданы два закона композиции. Легко проверяют-
ся все аксиомы кольца. Нулевым элементом в нем служит пара (0,0), а пара
(1
,
0) =
e
служит единицей. Ясно также, что
xy
=
yx
∀
x, y
∈
R
2
,
т.е. кольцо
коммутативно.
Докажем, что каждый ненулевой элемент
a
= (
a
1
, a
2
)
из
R
2
обратим.
Для обратного к нему элемента
x
= (
x
1
, x
2
)
должно иметь место равенство
ax
= (
a
1
x
1
−
a
2
x
2
, a
1
x
2
+
a
2
x
1
) = (1
,
0)
,
т.е. для определения чисел
x
1
, x
2
∈
R
получаем систему уравнений
a
1
x
1
−
a
2
x
2
= 1
,
a
2
x
1
+
a
1
x
2
= 0
,
откуда следует, что обратный элемент
a
−
1
имеет вид
x
=
a
−
1
=
a
1
a
2
1
+
a
2
2
,
−
a
2
a
2
1
+
a
2
2
.
Доказанное означает, что рассматриваемое кольцо является полем.
Определение 1.
Введенное в рассмотрение поле называется
полем ком-
плексных чисел
и оно обозначается символом
C
. Элементы этого поля назы-
ваются
комплексными
числами.
Ясно, что элементы вида
(
α,
0)
из
C
образуют подполе, которое изо-
морфно полю
R
. Это позволяет не различать в дальнейшем комплексное
число
(
α,
0)
с действительным числом
α
(т.е. всегда полагать
(
α,
0) =
α
)
и,
значит, считать, что
R
⊂
C
.
Следует отметить, что на
C
можно ввести внешний закон композиции
(умножение комплексных чисел на вещественные) следующим образом
α
(
x, y
) = (
αx, αy
)
.
Тогда числа вида
(
α,
0)
можно записать в виде
α
(1
,
0)
.
Теперь наступает важный момент. Мы укажем такое комплексное чис-
ло
z
= (
x, y
)
∈
C
,
квадрат которого равен
−
1 = (
−
1
.
0)
.
В качестве такого
числа выступает комплексное число
z
= (0
,
1)
, так как
z
2
= (
−
1
,
0)
.
Ком-
плексное число (0.1) называется
мнимой единицей
и обозначается символом
i
(обозначение Л.Эйлера), так что
i
2
= (
−
1
,
0) =
−
1
.
Такое обозначение мнимой единицы позволяет любое комплексное число
z
= (
a, b
)
записать в виде
z
= (
a, b
) = (
a,
0) + (0
, b
) =
a
(1
,
0) +
bi
=
a
+
ib.
(1)
§
8
.
Поле комплексных чисел
53
Число
a
называется
вещественной частью
комплексного числа
z
и обозна-
чается символом
Rez
, а число
b
–
мнимой частью
числа и обозначается
Imz.
Числа вида
ib, b
∈
R
называются
мнимыми числами
. Число
a
−
ib
называют
комплексно сопряженным
к числу
z
=
a
+
ib
и обозначают
z.
Ясно, что
Rez
=
z
+
z
2
и
Imz
=
1
2
z
−
z
i
.
В новых обозначениях комплексных чисел алгебраические операции над
комплексными числами будут задаваться соотношениями для
z
1
=
a
1
+
ib
1
, z
2
=
a
2
+
ib
2
:
z
1
+
z
2
=
a
1
+
ib
1
+
a
2
+
ib
2
= (
a
1
+
a
2
) +
i
(
b
1
+
b
2
)
,
z
1
z
2
= (
a
1
+
ib
1
)(
a
2
+
ib
2
) =
a
1
a
2
−
b
1
b
2
+
i
(
a
1
b
2
+
b
1
a
2
)
,
z
1
z
2
=
z
1
·
1
z
2
=
a
1
a
2
+
b
1
b
2
a
2
2
+
b
2
2
+
i
a
2
b
1
−
a
1
b
2
a
2
2
+
b
2
2
.
Приведенные формулы умножения и особенно деления комплексных чи-
сел довольно-таки громоздки. Для этих операций более удобна другая, так
называемая
тригонометрическая форма
представления комплексных чисел.
Для ее задания рассмотрим плоскость
E
и декартову прямоугольную систему
координат (см. рис.12).
Рис.12
Сопоставим каждому комплексному числу
z
=
a
+
ib
точку
M
на плоскости
с координатами
(
a, b
)
.
Используя полярную систему координат, числа
a
и
b
54
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
можно записать в виде
a
=
r cos ϕ,
b
=
r sin ϕ.
Следовательно, комплексное число
z
можно представить в виде
z
=
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
.
(2)
Выражение вида (2) называется
тригонометрической формой комплексного
числа
. Число
r
называется
модулем
комплексного числа
z
и обозначается
|
z
|
. Из теоремы Пифагора следует, что
|
z
|
=
√
a
2
+
b
2
.
Число
ϕ
называется
аргументом
комплексного числа и обозначается
Arg z
. Аргумент определяется неоднозначно с точностью до слагаемого, крат-
ного
2
π.
Если
z
= 0
, то
|
z
|
= 0
, но угол
ϕ
не вполне определен. Если допол-
нительно сделать ограничение
0
≤
ϕ <
2
π,
то угол
ϕ
обозначается символом
arg z
. Ясно, что
arg z
=
arc tg b/a.
Пусть
z
k
=
r
k
(cos
ϕ
k
+
i
sin
ϕ
k
)
, k
= 1
,
2
– два комплексных числа, запи-
санных в тригонометрической форме. Тогда их произведение можно записать
в виде
z
1
z
2
=
r
1
r
2
[cos
ϕ
1
cos
ϕ
2
−
sin
ϕ
1
sin
ϕ
2
+
i
(sin
ϕ
1
cos
ϕ
2
+ cos
ϕ
1
sin
ϕ
2
)] =
r
1
r
2
[cos(
ϕ
1
+
ϕ
2
) +
i
sin(
ϕ
1
+
ϕ
2
)]
.
(3)
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножают-
ся, а аргументы складываются. Следовательно, при их делении (при
z
2
6
= 0
)
модули делятся, а аргументы вычитаются, т.е.
z
1
/z
2
=
=
r
1
/r
2
[cos(
ϕ
1
−
ϕ
2
) +
i
sin(
ϕ
1
−
ϕ
2
)]
.
Формула (3) позволяет записать равенство
z
n
=
r
n
(cos
nϕ
+
i
sin
nϕ
)
, n
∈
N
,
(4)
если
z
=
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
.
Это равенство называется
формулой Муавра.
Формула (4), в свою очередь, позволяет получить формулу для корня
n
–ой степени
n
√
z
0
из любого комплексного числа
z
0
=
ρ
(cos
α
+
i
sin
α
)
,
т.е.
найти все решения уравнения
z
n
=
z
0
.
(5)
Если
z
=
r
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
,
то уравнение (5) может быть записано в виде
r
n
(cos
nϕ
+
i
sin
nϕ
) =
ρ
(cos
α
+
i
sin
α
)
.
Из этого равенства следует, что
r
=
n
√
ρ
и аргумент
ϕ
должен удовлетворять
соотношению
nϕ
−
α
= 2
πk, k
∈
Z
.
§
8
.
Поле комплексных чисел
55
Поэтому
ϕ
=
2
πk
n
+
α
n
,
где
k
– одно из чисел
0
,
1
, . . . , n
−
1
.
Таким образом,
имеется ровно
n
различных корней
n
√
z
0
:
v
k
=
n
√
ρ
cos
2
πk
n
+
α
n
+
i
sin
2
πk
n
+
α
n
, k
= 0
,
1
, . . . , n
−
1
.
(6)
При естественном отождествлении плоскости
E
с полем
C
(каждая точ-
ка
M
∈
E
с координатами
(
a, b
)
отождествляется с комплексным числом
z
=
a
+
ib
) точки вида (6) расположены на окружности радиуса
n
√
ρ
с центром
в начале координат и расположены в вершинах правильного
n
– угольника.
В частности, все корни
n
– ой степени из единицы есть числа
z
k
= cos
2
πk
n
+ sin
2
πk
n
, k
= 0
,
1
, . . . n
−
1
.
Теперь
введем в
рассмотрение так
называемую
экспоненциальную
функцию
f
(
z
) = exp
z
=
e
z
, f
:
C
→
C
, определенную следующей фор-
мулой
e
z
=
e
a
(cos
b
+
i
sin
b
)
, z
=
a
+
ib.
(7)
К комплексным числам, записанным в виде (7), применимы правила действий
над степенью. А именно, если
z
k
=
a
k
+
ib
k
, k
= 1
,
2
, то
e
z
1
+
z
2
=
e
a
1
+
a
2
[cos(
b
1
+
b
2
) +
i
sin(
b
1
+
b
2
)] =
=
e
a
1
e
a
2
(cos
b
1
+
i
sin
b
1
)((cos
b
2
+
i
sin
b
2
) =
e
z
1
e
z
2
.
Таким образом, используя введенную функцию
f
(
z
) =
e
z
, любое ком-
плексное число
z
=
a
+
ib
=
|
z
|
(cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
можно записать в виде
z
=
|
z
|
e
iϕ
, ϕ
= arg
z.
Такую форму записи комплексных чисел предложил
Л.Эйлер. В частности, при
|
z
|
= 1
получаем соотношение
e
iϕ
= cos
ϕ
+
i
sin
ϕ,
называемое
тождеством Эйлера
.
Поскольку
e
−
iϕ
= cos
ϕ
−
i
sin
ϕ,
то получаем следующие два широко
используемые равенства
cos
ϕ
=
e
iϕ
+
e
−
iϕ
2
,
sin
ϕ
=
e
iϕ
−
e
−
iϕ
2
i
.
Так же, как и для вещественных чисел, можно рассмотреть понятие схо-
дящейся последовательности, понятие непрерывной функции, определенной
в
C
, и другие понятия математического анализа.
56
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Определение 2.
Расстоянием
между двумя комплексными числами
z
1
и
z
2
называется число
|
z
1
−
z
2
|
.
Определение 3.
Последовательность
комплексных чисел
(
z
n
)
назы-
вается
сходящейся
к комплексному числу
z
0
, если
lim
n
→∞
|
z
n
−
z
0
|
= 0
.
Число
z
0
называется
пределом
этой последовательности и используется обозначение
lim
n
→∞
z
n
=
z
0
.
Определение 4.
Множество
A
⊂
C
называется
ограниченным
, если
sup
z
∈
A
|
z
|
<
∞
.
Т е о р е м а 1.
Если
A
– ограниченное множество из
C
,
то из любой по-
следовательности
(
z
n
)
элементов множества
A
можно выделить сходящуюся
подпоследовательность.
Доказательство.
Утверждение теоремы верно для ограниченных мно-
жеств из
R
. Поэтому достаточно заметить, что из равенства
|
z
|
=
=
p
(
Rez
)
2
+ (
Imz
)
2
, z
∈
C
следует, что последовательность
(
z
n
)
⊂
C
схо-
дится к
z
0
∈
C
тогда и только тогда, когда
lim
n
→∞
Rez
n
=
Rez
0
и
lim
n
→∞
Imz
n
=
Imz
0
.
Определение 5.
Функция
f
:
C
→
C
называется
непрерывной в точке
z
0
∈
C
, если
∀
ε >
0
∃
δ >
0
,
такое что
|
f
(
z
)
−
f
(
z
0
)
|
< ε
∀
z,
удовлетворя-
ющего условию
|
z
−
z
0
|
< δ
. Функция
f
называется
непрерывной
, если она
непрерывна в любой точке из
C
.
Обычным образом (как и для функций вещественной переменной) дока-
зывается, что если
f, ϕ
:
C
→
C
– непрерывные функции, то непрерывными
будут функции
f ϕ, αf
+
βϕ
∀
α, β
∈
C
.
Поскольку функция
f
(
z
) =
z, f
:
C
→
C
непрерывна, то в силу указан-
ных выше свойств непрерывной будет функция
ϕ
:
C
→
C
вида
ϕ
(
z
) =
a
0
z
n
+
a
1
z
n
−
1
+
· · ·
+
a
n
−
1
z
+
a
n
, z
∈
C
,
где
a
0
, a
1
, . . . , a
n
∈
C
.
Эта функция называется
многочленом
(см.
§
9
).
Определение 6.
Функция
f
:
C
→
C
называется
дифференцируемой
в
точке
z
0
∈
C
, если существует
lim
z
→
z
0
f
(
z
)
−
f
(
z
0
)
z
−
z
0
=
f
0
(
z
0
)
.
Число
f
0
(
z
0
)
называется
производной
функции
f
в точке
z
0
. Если
f
дифференцируема в каждой точке
z
∈
C
, то функция
f
0
:
C
→
C
называется производной функции
f
.
Отметим (без доказательства, которое проводится как и для функций
вещественного переменного), что имеет место
Т е о р е м а 2.
Если
f, ϕ
:
C
→
C
– дифференцируемые функ-
ции, то дифференцируемыми будут функции
f
+
ϕ, f ϕ
и
(
f
+
ϕ
)
0
=
f
0
+
ϕ
0
,
(
f ϕ
)
0
=
f ϕ
0
+
f
0
ϕ.