ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 3456
Скачиваний: 14
§
6
.
Группы перестановок
47
9. 12 мальчиков, каждый из которых бросает мяч всегда одному и тому же
партнеру, перебрасываются разноцветными мячами, все мячи бросаются
одновременно, и никакие два мальчика не бросают мяч одному игроку.
Через какое наименьшее число ходов игры все мячи окажутся в руках
тех же мальчиков, что и в начале ?
10. Рассмотрим два множества
A
n
=
{
a
1
, . . . , a
n
}
и
{
1
, . . . , n
}
.
Пусть
a
:
{
1
, . . . , n
} →
A
n
– биективное отображение, определенное равенствами
a
(
j
) =
a
j
,
1
≤
j
≤
n.
Докажите, что отображение
Φ :
S
(
A
n
)
→
S
n
,
определенное формулой
Φ(
ϕ
) =
a
−
1
◦
ϕ
◦
a,
является изоморфизмом
групп, при этом имеют место следующие свойства
1)
sign
(Φ(
ϕ
)) =
signϕ
∀
ϕ
∈
S
(
A
n
)
;
2)
Φ(
ϕ
)
−
цикл
⇐⇒
ϕ
−
цикл
;
3) порядки перестановок
Φ(
ϕ
)
и
ϕ
совпадают.
11. Рассмотрим группу
G
перестановок из
S
4
вида
1 2 3 4
1 2 3 4
,
1 2 3 4
2 1 3 4
,
1 2 3 4
1 2 4 3
,
1 2 3 4
2 1 4 3
,
называемую
группой Клейна
и группу
G
1
, определенных на
R
\ {
0
}
со
значениями в
R
\ {
0
}
функций вида
f
1
(
x
) =
x, f
2
(
x
) =
−
x, f
3
(
x
) = 1
/x, f
4
(
x
) =
−
1
/x
с операцией суперпозиций функций. Докажите, что обе группы абелевы
и изоморфны.
12. Докажите, что любая бесконечная циклическая группа
G
изоморфна
группе
Z
,
а конечная циклическая группа
G
изоморфна группе
Z
m
,
где
m
=
|
G
|
.
13. Докажите, что каждая подгруппа циклической группы является цикли-
ческой.
14. Пусть
|
G
|
– простое число. Докажите, что
G
– циклическая группа.
В следующих двух упражнениях восстанавливаются некоторые элемен-
ты доказательства теоремы Кэли, при этом используются обозначения
из этого доказательства.
15. Пусть
g
∈
G
. Докажите, что
Φ(
g
)
– перестановка множества
G.
48
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
16. Докажите, что отображение
Φ :
G
→
S
(
G
)
является гомоморфизмом
групп.
§
7. Кольца, тела, алгебры, поля
Как мы видели, множества
R
и
Z
являются группами (по сложению).
Однако на
R
и
Z
есть еще одна алгебраическая операция: умножение чисел.
Указанные в заголовке алгебраические структуры как раз являются алгеб-
раическими структурами, на которых существует несколько алгебраических
операций.
Определение 1.
Кольцом
называется множество
A
с двумя алгебраи-
ческими операциями, называемыми соответственно сложением (с аддитивной
формой записи операции) и умножением (с мультипликативной формой за-
писи операции), удовлетворяющими следующим условиям:
1)
A
- абелева группа относительно первого закона композиции;
2) имеют место равенства
a
(
bc
) = (
ab
)
c,
(
a
+
b
)
c
=
ac
+
bc, c
(
a
+
b
) =
ca
+
cb
∀
a, b, c,
∈
A
;
3)
0
6
=
e,
если
A
содержит
единицу
e
(т.е. элемент
e
∈
A
со свойством
ae
=
ea
∀
a
∈
A
)
.
Определение 2.
Если кольцо
A
содержит единицу
e
, то кольцо
A
на-
зывается
кольцом с единицей
.
Пример 1.
Множества
R
, Z
и
Q
являются кольцами с алгебраическими
операциями сложения и умножения чисел. Все эти кольца содержат единицу
e
= 1
.
Пример 2.
Множество
{
0
,
1
}
является кольцом. Операция сложения
была определена в примере 10 из
§
5
.
Вторая операция есть операция умно-
жения чисел.
Пример 3.
Множество
S
всевозможных подмножеств множества
X
яв-
ляется кольцом относительно алгебраических операций симметрической раз-
ности и пересечения.
Все эти кольца являются коммутативными в смысле следующего оп-
ределения.
Определение 3.
Кольцо
A
называется
коммутативным
, если любая
пара элементов из
A
перестановочна относительно операции умножения.
Определение 4.
Элемент
a
из кольца
A
с единицей называется
обра-
тимым
, если существует элемент
b
из
A
такой, что
ab
=
ba
=
e.
Элемент
b
называется
обратным
к
a
и обозначается символом
a
−
1
.
§
7
.
Кольца, тела, алгебры, поля
49
Отметим, что если
a b
- обратимые элементы из кольца
A
, то элемент
ab
обратим и
(
ab
)
−
1
=
b
−
1
a
−
1
.
Произведение
n
одинаковых элементов кольца
A
обозначается символом
a
n
, a
∈
A.
Определение 5.
Пусть
A
и
B
- два кольца. Отображение
f
:
A
→
B
называется
гомоморфизмом
колец, если выполнены следующие условия:
1)
f
(
a
+
b
) =
f
(
a
) +
f
(
b
);
2)
f
(
ab
) =
f
(
a
)
f
(
b
);
a, b
∈
A
;
3)
f
(
e
A
) =
e
B
, если
A
и
B
– кольца с единицами
e
A
∈
A, e
B
∈
B.
Рассмотрим еще один пример кольца.
Пример 3.
Символом
C
[
a, b
]
обозначим множество непрерывных
функций
f
: [
a, b
]
→
R
,
определенных на отрезке
[
a, b
]
со значениями в
R
(т.е.
элементами множества
C
[
a, b
]
служат непрерывные функции). Следующие
формулы определяют две алгебраические операции на
C
[
a, b
]
(сложения и
умножения функций):
1)
(
f
+
g
)(
t
) =
f
(
t
) +
g
(
t
)
, t
∈
[
a, b
]
, f, g
∈
C
[
a, b
];
2)
(
f g
)(
t
) =
f
(
t
)
g
(
t
)
, t
∈
[
a, b
]
, f, g
∈
C
[
a, b
]
.
Например, первую формулу
следует понимать следующим образом: суммой функций
f
и
g
называется
такая функция
f
+
g,
которая в каждой точке
t
∈
[
a, b
]
имеет значение, равное
сумме
f
(
t
) +
g
(
t
)
значений функций
f
и
g
в той же точке
t
. Нулевым элемен-
том является нулевая функция
0 : 0(
t
) = 0
∀ ∈
[
a, b
]
.
Кольцо
C
[
a, b
]
является
кольцом с единицей
e
, которая совпадает с функцией
e
(
t
) = 1
∀
t
∈
[
a, b
]
.
Пример 4.
Пусть
t
0
- некоторая точка из отрезка
[
a, b
]
.
Отображение
Φ
0
:
C
[
a, b
]
→
R
,
определенное формулой
Φ
0
(
ϕ
) =
ϕ
(
t
0
)
, ϕ
∈
C
[
a, b
]
,
является гомоморфизмом колец (ввиду равенств
Φ
0
(
ϕ
1
+
ϕ
2
) = (
ϕ
1
+
ϕ
2
)(
t
0
) =
ϕ
1
(
t
0
) +
ϕ
2
(
t
0
) =
Φ
0
(
ϕ
1
) + Φ
0
(
ϕ
2
)
,
Φ
0
(
ϕ
1
ϕ
2
) = (
ϕ
1
ϕ
2
)(
t
0
) =
ϕ
1
(
t
0
)
ϕ
2
(
t
0
) =
Φ
0
(
ϕ
1
)Φ
0
(
ϕ
2
)
,
Φ
0
(
e
) =
e
(
t
0
) = 1)
.
Определение 6.
Кольцо с единицей, в котором все ненулевые элементы
обратимы, называется
телом
.
Определение 7.
Коммутативное тело называется
полем.
R
и
Q
-поля,
но
Z
не является ни полем, ни телом. Кольцо
{
0
,
1
}
является полем. По
определению поле содержит, по крайней мере, два элемента, а именно 0 и 1.
Замечание.
Элементы поля будем называть числами, единица поля обо-
значается символом 1. Число вида
ab
−
1
обозначается символом
a/b
.
50
Глава 2. Алгебраические объекты; Алгебра многочленов
Определение 8.
Пусть
K
и
X
- два множества. Отображение
f
:
K
×
X
→
X
называется
внешним законом композиции
на
X
. Элемент
f
(
a, x
)
,
a
∈
K, x
∈
X
обычно обозначают символом
ax.
Определение 9.
Кольцо
A
называется
алгеброй
над полем
K
, если (на-
ряду с заданными двумя внутренними законами композиции) задан внешний
закон композиции
f
:
K
×
A
→
A
на кольце
A
, причем для любых
α, β
∈
K
и
a, b
∈
A
имеют место равенства
1)
(
α
+
β
)
a
=
αa
+
βa
; 2)
α
(
a
+
b
) =
αa
+
αb
; 3)
α
(
ab
) = (
αa
)
b
=
a
(
αb
);
4) (
αβ
)
a
=
α
(
βa
); 5) 1
a
=
a.
Пример 5.
Кольцо
C
[
a, b
]
является алгеброй над полем
R
.
Внешний
закон композиции задается равенствами
(
αϕ
)(
t
) =
αϕ
(
t
)
, α
∈
R
, ϕ
∈
C
[
a, b
]
, t
∈
[
a, b
]
.
Кольца
R
и
Q
можно рассматривать как алгебры над полями
R
и
Q
соответственно.
Определение 10.
Пусть
A
и
B
- две алгебры над полем
K
. Отобра-
жение
f
:
A
→
B
называется
гомоморфизмом алгебр,
если
f
- гомоморфизм
колец
A
и
B
и
f
(
αa
) =
αf
(
a
)
∀
α
∈
K
∀
a
∈
A.
Гомоморфизм
Φ
0
из примера 4 является гомоморфизмом алгебры
C
[
a, b
]
в алгебру
R
.
Определение 11.
Гомоморфизм
f
:
A
→
B
алгебр (колец)
A
и
B
называется
изоморфизмом алгебр (колец)
(или
алгебраическим изоморфиз-
мом
), если он является биективным отображением (т.е. обратим). Если для
заданных алгебр (колец)
A
1
и
A
2
существует изоморфизм
ϕ
:
A
1
→
A
2
,
то
алгебры (кольца)
A
1
и
A
2
называются
изоморфными
.
Определение 12.
Если
A
- одна из рассматриваемых нами алгебраи-
ческих структур (для определенности пусть кольцо), то подмножество
A
0
из
A
называется
подкольцом
, если элементы
a
−
b
и
ab
принадлежат
A
0
для
любых элементов
a, b
∈
A
0
, т.е.
A
0
- самостоятельное кольцо.
Аналогичным образом дается определение подалгебры и подполя.
Упражнения к § 7
1. Пусть
f
:
A
→
B
- гомоморфизм колец
A
и
B
. Докажите, что множество
Ker f
=
{
a
∈
A
:
f
(
a
) = 0
}
обладает свойствами:
если
a, b
∈
Ker f,
то
a
−
b, ab
∈
Ker f,
т.е.
Ker f
– подкольцо.
2. Докажите, что для любых элементов
x, y
из кольца
A
имеют место сле-
дующие равенства
1) 0
x
= 0;
2) (
−
x
)
y
=
−
xy.
§
8
.
Поле комплексных чисел
51
3. Докажите, что множество
G
(
A
)
всех обратимых элементов кольца
A
с
единицей образует группу.
4. Докажите, что для любого числа
α
из поля
K
и любого элемента
a
из
алгебры
A
над полем
K
имеют место равенства
1)
α
(
−
a
) =
−
αa
;
2) (
−
1)
a
=
−
a.
5. Пусть
f
:
A
→
B
– гомоморфизм алгебр (колец)
A
и
B
, причем
f
– биек-
тивное отображение. Докажите, что обратное отображение
f
−
1
:
B
→
A
также является гомоморфизмом алгебр (колец).
6.
Z
/m
Z
=
Z
m
- поле тогда и только когда
m
- простое число (операция
умножения в
Z
m
определяется формулой
(
k
+
Z
)(
`
+
Z
) =
k`
+
Z
)
.
7. Докажите, что множество чисел вида
{
m
+
√
2
n
;
m, n
∈
Z
}
j образует
подкольцо из
R
.
8. Пусть
S
(
X
)
- множество всех подмножеств множества
X
. Доказать, что
оно является кольцом с единицей относительно алгебраических операций
симметрической разности и пересечения, рассматриваемых как сложение
и умножение соответственно.
9. Докажите, что в поле
Z
p
(
p
- простое число) выполняется равенство
p
−
1
P
k
=1
k
−
1
= 0
,
если
p >
2
.
§
8. Поле комплексных чисел
Пусть
K
=
R
– поле вещественных чисел. Уравнение
x
2
+ 1 = 0
не имеет решений в поле
R
,
так как отсутствует в поле
R
число
a
такое, что
его квадрат равен -1.
В этом параграфе мы построим поле комплексных чисел
C
, содержащее
R
в качестве подполя и такое, в котором это уравнение будет иметь решение.
Поле комплексных чисел
C
как множество совпадает с множеством
R
2
упорядоченных пар вещественных чисел. Наделим
R
2
структурой абелевой
группы (см.пример 4 из
§
5
). Напомним, что операция сложения в
R
2
опре-
деляется соотношениями
x
+
y
= (
x
1
+
y
1
, x
2
+
y
2
)
, x
= (
x
1
, x
2
)
, y
= (
y
1
, y
2
)
∈
R
2
.